Речь пойдет о следующей задаче из «Сборника задач по аналитической механике» (Е. С. Пятницкий, Н. М. Трухан, Ю. И. Ханукаев, Г. Н. Яковенко; под редакцией Е. С. Пятницкого. — 4-е изд. — Москва, МФТИ, 2018):

Ответ, приводимый в сборнике, поистине ужасает:

Кстати, не очень понятно, почему функция $\mu\ne 0$ , удовлетворяющая данному условию, вообще должна существовать.

В этой статье мы приведем авторское решение, то есть решение, предложенное автором задачи:

O. Bolza. Lectures on the Calculus of Variations. University of Chicago Press (1904).

Не вдаваясь в подробности о современном состоянии обратной задачи вариационного счисления, поставим вопрос чуть более формально.

Всякое ли скалярное уравнение второго порядка

$\ddot x=f(t,x,\dot x)$

эквивалентно уравнению Лагранжа

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0,\quad L=L(t,x,\dot x),$

в том смысле, что если -- решение первого уравнения, то оно является решением и второго, и наоборот?

Чтобы не углубляться в детали, скажем, что функция является гладкой во всем $\mathbb{R}^3=\{(t,x,\dot x)\}$ .

Ответ на поставленный вопрос звучит так: да, в малой окрестности любой точки $(t_0,x_0,\dot x_0)$ существует функция Лагранжа $L(t,x,\dot x)$ , такая, что соответствующее уравнение Лагранжа эквивалентно исходному уравнению второго порядка.

Действительно, перепишем уравнение Лагранжа в явном виде:

$L_{\dot x\dot x}\ddot x+L_{\dot x x}\dot x+L_{\dot x t}-L_x=0,$

и подставим в него $\ddot x$ из исходного уравнения (нижние индексы здесь и далее обозначают частные производные):

$L_{\dot x\dot x}f+L_{\dot x x}\dot x+L_{\dot x t}-L_x=0.\qquad (1)$

Вот из этого уравнения в частных производных нам и надо найти функцию .

Введем обозначение

$u(t,x,\dot x)=L_{\dot x\dot x}(t,x,\dot x)\qquad(2)$

и продифференцируем уравнение (1) по $\dot x:$

$u_{\dot x}f+uf_{\dot x}+u_x\dot x+u_t=0.\qquad (3)$

Снабдим это уравнение начальным условием, смысл которого разъяснится ниже:

$u\mid_{t=t_0}=1.\qquad(4)$

Задача Коши (3)-(4) имеет единственное решение $u=u(t,x,\dot x),$ определенное в достаточно малой окрестности точки $(t_0,x_0,\dot x_0)$ . Это следует из метода характеристик. При этом найти функцию в виде явной формулы мы, вообще говоря, не можем.

Функция находится по формуле (2) двукратным интегрированием функции по $\dot x$ . Однако, поскольку мы дифференцировали уравнение (1) по $\dot x$ , мы не можем утверждать, что данная функция удовлетворяет (1); она удовлетворяет уравнению

$L_{\dot x\dot x}f+L_{\dot x x}\dot x+L_{\dot x t}-L_x=\psi$

с некоторой функцией $\psi(t,x)$ .

А вот функция $\tilde L=L+\int \psi dx$ уже удовлетворяет уравнению (1).

Заметим, что в силу (4) выполнено равенство $\tilde L_{\dot x\dot x}\mid_{t=t_0}=1.$ Следовательно, в малой окрестности точки $(t_0,x_0,\dot x_0)$ имеем $\tilde L_{\dot x\dot x}\ne 0$ .

В силу уравнения (1) получаем:

$\tilde L_{\dot x\dot x}(f-\ddot x)+\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde L}{\partial \dot x}-\frac{\partial \tilde L}{\partial x}=0.$

Это и завершает доказательство.

Об одной задаче из физтеховского задачника Пятницкого по аналитической механике