Неевклидова геометрия. Основы / Habr

Зачем?

На протяжении 2000 лет люди считали геометрию Евклида единственно возможной. Казалось очевидным, что через точку можно провести только одну параллельную прямую. Но в XIX веке это изменилось. Лобачевский (и независимо от него Бойяи) построил геометрию, где через точку проходит бесконечно много параллельных прямых - и она оказалась непротиворечивой. Позже Риман создал общий язык для описания искривленных пространств любой природы, что открыло дверь к целому зоопарку геометрий.

И отвечая на вопрос “зачем?”, можно сказать: GPS и навигация работают благодаря сферической геометрии - кратчайшие маршруты самолётов идут не по прямым на карте, а по дугам на поверхности Земли. Теория относительности Эйнштейна использует псевдориманову геометрию - обобщение римановой, где пространство и время объединены в единое четырёхмерное пространство-время. В отличие от обычной римановой геометрии, здесь метрика допускает не только пространственные, но и временные расстояния — со своим знаком. Массивные объекты искривляют это пространство-время, и именно эта кривизна проявляется как гравитация.

Какие бывают типы геометрии?

В этой статье мы рассмотрим три основных случая — геометрии нулевой, положительной и отрицательной кривизны.

Гиперболическая геометрия

Гиперболическая геометрия - это геометрия пространств с постоянной отрицательной кривизной. Интуитивно её можно представить через поверхность седла или чипсы: в каждой точке поверхность изгибается вверх в одном направлении и вниз в другом. Это лишь аналогия - настоящее гиперболическое пространство нельзя целиком "уложить" в привычное трёхмерное пространство, но локально оно ведёт себя примерно так.

Почему бесконечно много параллельных прямых?

Возьмите прямую и точку вне её. В обычной геометрии через эту точку проходит ровно одна параллельная. В гиперболическом пространстве - бесконечно много.

Причина в том, что пространство здесь расширяется быстрее, чем на плоскости. Представьте бесконечное седло: линии, которые выходят из одной точки под чуть разными углами, расходятся всё быстрее по мере удаления - и ни одна из них не встретит исходную прямую. Таких направлений бесконечно много.

Среди всех этих параллельных особую роль играют две предельные - они идут всё ближе и ближе к исходной прямой, но никогда её не достигают, как бы долго вы ни шли. Все остальные параллельные расходятся с исходной прямой и уходят всё дальше.

Сумма углов треугольника < 180°

В гиперболическом пространстве треугольники словно «сжимаются». Если нарисовать треугольник на седловидной поверхности, его углы окажутся меньше, чем на плоскости.

Пример треугольника и параллельных прямых на седловидной поверхности

Почему так? Пространство изогнуто «отрицательно» - оно расширяется во все стороны. Когда мы соединяем три точки кратчайшими путями (геодезическими), эти линии «выгибаются наружу» из-за кривизны. Углы при вершинах становятся острее.

Интересный факт: чем больше треугольник, тем меньше сумма его углов! Для огромных треугольников сумма может приближаться к 0°. А по разнице (180° − сумма углов) можно вычислить площадь треугольника.

Длина окружности / диаметр >

На плоскости отношение длины окружности к диаметру всегда равно $\pi$ . В гиперболическом пространстве оно больше - и тем больше, чем крупнее окружность.

Почему? Всё дело в том, как пространство расширяется. Представьте сложные проценты в банке: каждый год вы получаете проценты не только на начальную сумму, но и на уже накопленные. Сумма растёт всё быстрее - это и есть экспоненциальный рост. На графике это выглядит как резко уходящая вверх кривая вида : сначала почти незаметный рост, потом стремительный взлёт.

Это хорошо можно показать:

$\frac{C}{d} = 2\pi \frac{sinh(r)}{2r} = \pi \frac{sinh(r)}{r}$

Где гиперболический синус:

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

Как можно увидеть из графика: для маленьких окружностей отношение $\frac{C}{d} ≈ π$ - почти как на плоскости. Но чем больше окружность, тем сильнее пространство "разбегается" - и отношение уходит в бесконечность. Это означает, что в гиперболическом пространстве большие окружности оказываются куда длиннее, чем мы привыкли ожидать.

Риманова геометрия

Риманова геометрия - раздел дифференциальной геометрии, изучающий пространства, в каждой точке которых задана метрика - способ измерять расстояния и углы. В отличие от евклидовой геометрии, где пространство везде одинаково плоское, риманова геометрия позволяет работать с пространствами произвольной и переменной кривизны.

Частным случаем, который мы будет рассматривать является эллиптическая геометрия - геометрия пространств с постоянной положительной кривизной.

Классический пример - поверхность сферы, где «прямыми» являются большие окружности (экватор, меридианы), параллельных линий не существует, а сумма углов треугольника больше 180°.

Интуитивно можно подумать, что другие широты или тропики параллельны экватору, но это не так. Параллели широты (кроме экватора) - это малые окружности, плоскость которых не проходит через центр сферы. Они не являются геодезическими, то есть не дают кратчайшего расстояния между точками. Поэтому в римановой геометрии они считаются кривыми, а не прямыми линиями.

Геодезические линии в Римановой геометрии

Почему сумма углов треугольника > 180°

Представьте треугольник на глобусе: начните от Северного полюса, спуститесь по меридиану до экватора, пройдите вдоль экватора на четверть окружности, и вернитесь обратно к полюсу по другому меридиану.

Что получилось? Треугольник с тремя прямыми углами — сумма 270°!

Почему так? На сфере «прямые линии» изгибаются вместе с поверхностью. Когда мы соединяем точки кратчайшими путями, кривизна как бы «выталкивает» стороны наружу - и углы в вершинах оказываются шире, чем на плоскости. Чем больше треугольник, тем сильнее этот эффект.

Длина окружности / диаметр <

На плоскости это отношение всегда равно $\pi$ ≈ 3.14. Но на сфере всё иначе.

Нарисуйте окружность вокруг Северного полюса (например, полярный круг). Её диаметр — это расстояние через полюс от края до края, измеренное по поверхности сферы. Из-за кривизны этот путь длиннее, чем если бы мы мерили «напрямик» сквозь сферу.

Получается: диаметр увеличивается быстрее, чем длина окружности. Поэтому отношение $\frac{C}{d}$ меньше .

Предельный случай: окружность вокруг всей сферы (экватор). Её «диаметр» по поверхности —

это путь через полюс, равный половине окружности сферы. Тогда $\frac{C}{d} = 2$ !

Итоги

Параметр	Евклидова	Риманова	Гиперболическая
Поверхность	Плоскость	Сфера	Седловидная поверхность
Кривизна	0 (плоская)	Положительная (+)	Отрицательная (−)
Модель	Обычная плоскость	Поверхность шара	Диск Пуанкаре, полуплоскость Лобачевского
Прямые линии	Обычные прямые	Большие окружности	Геодезические (дуги в диске Пуанкаре)
Параллельные прямые через точку вне прямой	Ровно 1	0 (нет)	(бесконечно много)
Сумма углов треугольника
Отношение C/d
Формула длины окружности			$C > 2\pi r$
Рост окружности	Линейный	Медленнее линейного	Экспоненциальный
Площадь круга			$S > \pi r^2$
Аксиома параллельности	Через точку вне прямой проходит одна параллельная	Параллельных нет	Через точку проходит бесконечно много параллельных
Примеры в реальном мире	Чертёж на бумаге, малые расстояния	Поверхность Земли, GPS-навигация	Пространство-время около чёрных дыр, некоторые кристаллы
Применения	Архитектура, инженерия	Космология, навигация, теория относительности	Нейросети, визуализация графов, квантовая физика