Альтернативный способ задать дифференциал в геометрической алгебре / Habr

Привет, Хабр!

В геометрической алгебре достаточно абстрактно введен дифференциал, здесь предлагается наглядный численный метод — выразить дифференциал через ориентированный объём и геометрическое произведение.

Это даёт возможность интерполировать значения функции вне сетки и отдельно учитывать параллельную и ортогональную составляющие приращения.

Написана статья с целью собрать мнения специалистов о достоинствах и недостатках такого подхода. В общем буду рад комментариям.

1. Обозначения

Δ — конечные приращения на сетке (шаги Δx,Δy,Δz и разности функции fΔxf,Δyf,Δzf).
δ — изменяемые приращения для произвольной точки в окрестности узла.
σ1,σ2,σ3 — орты осей в матричном представлении (матрицы Паули):
$σ _1 =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad σ _2 =\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad σ _3 =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}.$

Умножение с точкой ⋅ — матричное (геометрическое).
Умножение с крестиком × — векторное.
I=σ1⋅σ2⋅σ3 — псевдоскаляр (аналог мнимой единицы в ГА).

Вектор в таком базисе записывается как

Обратите внимание: σ3 соответствует оси — x, σ2 — y, σ1 — z. Так сделано по мотивам моей предыдущей статьи Давайте объединим линейную и геометрическую алгебры. На простом примере. Часть 1. В разделе "6. Базис Клиффорда для матриц 2х2" можно видеть, что расположение осей несколько иное, чем в декартовых координатах. Так же такое расположение еще делает привычнее некоторые представления, напишу как нибудь.

2. Ориентированный объём и вектор конечных разностей

Ориентированный объём, образованный площадями граней ячейки и смещениями δx,δy,δz:

$ΔS_x =Δy⋅Δz,\quad ΔS_y =Δx⋅Δz, \quad ΔS_z =Δx⋅Δy$

Разделив на объём ячейки Δv=ΔxΔyΔz, получим относительный ориентированный объём:

$δV ^′ = \frac {δV} {Δv} = \frac {Δx}{δx} ⋅ σ _3 + \frac {Δy}{δy} ⋅ σ _2 + \frac {Δz}{δz} ⋅ σ _1 .$

Как то так как на обложке статьи будет это выглядеть

Вектор конечных разностей (Аналог градиента, но без нормировки на шаги. Знак умножения буду пропускать, так как уже объяснил его смысл, и вообще геометрическое произведение пишется без знака):

$\Delta(f) = \Delta_x f\,\sigma_3 + \Delta_y f\,\sigma_2 + \Delta_z f\,\sigma_1$ $\Delta_x f = f(x+\Delta x,y,z)-f(x,y,z),\quad$ $\Delta_y f = f(x,y+\Delta y,z)-f(x,y,z)$ $\Delta_z f = f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$

3. Скалярное и обобщённое приращения

Скалярное приращение (классический дифференциал, аппроксимированный конечными разностями) — это скалярная часть геометрического произведения δV′ и Δ(f):

$\delta f_{\|} = \frac{\Delta_x f}{\Delta x}\,\delta x + \frac{\Delta_y f}{\Delta y}\,\delta y + \frac{\Delta_z f}{\Delta z}\,\delta z$

При

$\Delta x,\Delta y,\Delta z\to0 \quad и \quad \delta x,\delta y,\delta z\to0$

это выражение стремится к обычному дифференциалу df.

Полное геометрическое произведение даёт обобщённый дифференциал — сумму скалярной и бивекторной частей:

$\delta_g f = \delta f_{\|} + I\;\delta f_{\perp}$ $\delta f_{\perp} = \left( \Delta_y(f) \; \frac{\delta z}{\Delta z} - \Delta_z(f) \; \frac{\delta y}{\Delta y} \right) \; \sigma_3 + \left( \Delta_x(f) \; \frac{\delta z}{\Delta z}-\Delta_z(f) \; \frac{\delta x}{\Delta x} \right) \; \sigma_2 + \left( \Delta_x(f) \; \frac{\delta y}{\Delta y} - \Delta_y(f) \; \frac{\delta x}{\Delta x} \right) \cdot \sigma_1$

Бивекторная часть δf⊥ равна нулю тогда и только тогда, когда вектор относительного объёма δV′ параллелен вектору конечных разностей Δ(f) — то есть когда смещение (δx,δy,δz) коллинеарно градиенту. Когда бивекторная часть не равна нулю происходит следующее:

Бивекторная часть кодирует нормаль к плоскости перемноженных векторов. Плоскость в которой расположены компоненты диффенциала. Так же она кодирует объект в этой плоскости, ортогональный вектору на который происходит проецирование.
Скалярная часть ортогональна бивекторной части и нормали к плоскости.
Вместе они образуют аналог комплексного числа в этой плоскости.

4. Зачем это нужно

Интерполяция вне сетки. Зная в узле сетки значения Δxf,Δyf,Δzf (например, из численного решения), можно вычислить приращение δgfдля любого смещения (δx,δy,δz) в окрестности узла. Никакой дополнительной сетки не требуется.
Разделение параллельной и ортогональной составляющих. Скалярная часть δf∥ — классическое изменение вдоль направления смещения. Бивекторная часть δf⊥ — мера того, насколько смещение отклоняется от градиента.
Выделение траекторий, где обобщённый дифференциал совпадает с классическим. Если потребовать δf⊥=0, получим условия коллинеарности, которые задают прямые, параллельные Δ(f). Вдоль таких траекторий δgf=δf∥.

5. Пример применения

Пусть в узле сетки (0,0,0)(0,0,0) известны:

$\Delta x = 0.1,\; \Delta y = 0.1,\; \Delta z = 0.1$ $\Delta_x f = 0.2,\; \Delta_y f = 0.3,\; \Delta_z f = 0.4$

Это соответствует частным производным: 2,3,4.

Требуется найти значение функции в точке (δx,δy,δz)=(0.02,0.03,0.04) — внутри ячейки.

Вычисляем скалярное приращение:

$\delta f_{\|} = \frac{0.04}{0.1}\cdot0.3 + \frac{0.3}{0.1}\cdot0.03 + \frac{0.4}{0.1}\cdot0.04 = 0.29$

Вычисляем бивекторную часть (коэффициенты при σ3,σ2,σ1):

$c_3 = 0.3\cdot\frac{0.04}{0.1} - 0.4\cdot\frac{0.03}{0.1} =0$ $c_2 = 0.4\cdot\frac{0.02}{0.1} - 0.2\cdot\frac{0.04}{0.1} =0$ $c_1 = 0.2\cdot\frac{0.03}{0.1} - 0.3\cdot\frac{0.02}{0.1} = 0$

Здесь смещение оказалось точно параллельным вектору конечных разностей, поэтому бивекторная часть обнулилась. Обобщённый дифференциал совпал с классическим: δgf=0.29

Если взять смещение (δx,δy,δz)=(0.03,0.02,0.04), то:

Скалярное приращение:

$\delta(f) = 2\cdot0.03 + 3\cdot0.02 + 4\cdot0.04 = 0.28$

Бивекторные коэффициенты:

$c_3 = 0.3\cdot0.4 - 0.4\cdot0.2 = 0.04$ $c_2 = 0.4\cdot0.3 - 0.2\cdot0.4 =0.04$ $c_1 = 0.2\cdot0.2 - 0.3\cdot0.3 = -0.05$

Бивекторная часть не равна нулю — смещение не параллельно градиенту. Полное приращение δgf будет содержать как скалярную, так и бивекторную компоненту, что позволяет оценить степень «неградиентности» направления.

6. Итог

Предложен способ выразить обобщённый дифференциал через конечные разности и геометрическое произведение.
Формулы работают непосредственно с сеточными данными и позволяют интерполировать значения функции в произвольную точку.
Бивекторная часть даёт дополнительную информацию — меру отклонения направления смещения от градиента.
Для вычислений достаточно скалярных арифметических операций, матрицы не требуются (если не считать исходного определения σ).

Такой подход может быть полезен в численных методах, особенно при адаптивных сетках и когда нужно оценивать изменение функции вдоль произвольных направлений без перестроения аппроксимации.

Пишите ваши комментарии!

Only registered users can participate in poll. Log in, please.

50%Полезно4

100%Интересно8

12.5%Поучаствовал бы в развитии идеи1

8 users voted. Nobody abstained.