Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 39
Приятно видеть такие статьи на хабре. Отчасти жалко, что имея диплом по гидравлике, я ушел все же в IT. Но такова судьба в России.
Мне кажется для хабра было бы лучше, если давать статьи по смежной теме: связка контроллеров и гидро/пневмосистемы, или применение вычислительных мощностей для расчета работы гидросистем (устойчивость ГС и пр.)
Мне кажется для хабра было бы лучше, если давать статьи по смежной теме: связка контроллеров и гидро/пневмосистемы, или применение вычислительных мощностей для расчета работы гидросистем (устойчивость ГС и пр.)
Сколько я не видел статей о гидро- и газо-динамике, ни один автор не переводил формулы вроде "
" на математический язык (div(v) в данном случае). Без такой расшифровки, уравнения — лишь бессмысленный набор символов, поскольку физики не следуют никакой строгой системе при назначении смысла подобным выражениям.
" на математический язык (div(v) в данном случае). Без такой расшифровки, уравнения — лишь бессмысленный набор символов, поскольку физики не следуют никакой строгой системе при назначении смысла подобным выражениям.
Со строгостью вопрос интересный. Но такие обозначения, как: ∇∙ — дивергенция, ∇x — ротор, ∇² — лапласиан, выглядят вполне устоявшимися, хотя типичными в большей мере для западной литературы. Не менее часто пишут операторы и как div, rot и Δ, однако противоречия это вызывает редко.
Извините, а разве набла — это не математический язык? Дивергенция и скалярное умножение на набла суть одно и то же, разве нет? По крайней мере, при заданной системе координат.
Нет, ∇ — просто символ не имеющий сам по себе никакого математического смысла. Попробуйте объяснить как он свободно превращается из градиента в дивергенцию.
Имеющий, и вполне определенный смысл: (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z).
Он имеет смысл векторного оператора дифференцирования.
А почему «в общем случае»? Вроде бы вообще не является. Зато является ковектором (или формой, если так привычнее). И, пока система координат фиксирована, мало чем отличается от обычного вектора.
Да, это я понимаю. Но вектор и ковектор являются объектами, независимыми от того, в какой системе координат мы их рассматриваем. Фраза «градиент скалярной функции в общем случае вектором не является» (заметьте, что в ней нет ни слова про систему координат) подразумевает, что при некоторых ограничениях на участвующие в ней объекты градиент все же будет вектором. А это не так, поскольку чтобы градиент выглядел (вел себя) как вектор, нужно зафиксировать класс систем координат, а система координат не относится к числу объектов, фигурирующих в этой фразе. Так что проблема была в словах «вообще говоря», правильнее было бы «только иногда выглядит как вектор» :)
если система координат фиксирована, то как понять, вектор это или ещё что-то?
Если система координат фиксирована, то вектор — это просто набор из n чисел.
чем же всё-таки отличается?
Тем, что в имеющих смысл формулах он участвует как вектор-столбец, т.е. для скалярного произведения при соблюдении матричной нотации приходится писать xTy.
И в-третьих, какой объект отличается не мало?
«Не мало» отличается объект другой валентности, например, матрица :)
Может все же стоит сначала выучить математику за пределами технарского курса «высшей математики»? А то в нем половина фактов и методов не объясняются нормально и выглядят черной магией. Начать с общей алгебры, разобраться, почему векторное произведение вводят только в пространстве R3, потом понять, что такое внешнее произведение, дифференциальные формы. Тогда может и с операторами в голове прояснится.
У меня нет проблем с пониманием дифференциальных форм. Все операции с ними четко сформулированы на математическом языке.
От «четко сформулированы» до «понимания» довольно далеко и в случае понимания Вы вряд ли написали бы
Потому что нет никаких дивергенций и градиентов, а есть одно внешнее дифференцирование, которое превращается в один из этих операторов по сути в зависимости от интерпретации его аргумента (элемент касательного пространства или форма). Ну а оператор «звезда Ходжа» позволяет формализовать те правила, которые в случае оператора набла кажутся магией.
Попробуйте объяснить как он свободно превращается из градиента в дивергенцию.
Потому что нет никаких дивергенций и градиентов, а есть одно внешнее дифференцирование, которое превращается в один из этих операторов по сути в зависимости от интерпретации его аргумента (элемент касательного пространства или форма). Ну а оператор «звезда Ходжа» позволяет формализовать те правила, которые в случае оператора набла кажутся магией.
Можно и в R7: en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product
Оператор набла — векторная величина. В зависимости от того, на какую функцию он действует — он является либо градиентом, либо дивергенцией. При действии на скалярную функцию получаем то, что называется градиентом этой функции, при действии на векторную функцию(скалярном умножении) — получаем дивергенцию, скалярную величину.
Вообще говоря, вполне можно рассматривать ее как внешний дифференциал…
Так что все просто — это «превращение» заложено в сам оператор, но де-факто не имеет места, ибо для скаляра это всегда градиент, а для вектора — всегда дивергенция.
Вообще говоря, вполне можно рассматривать ее как внешний дифференциал…
Так что все просто — это «превращение» заложено в сам оператор, но де-факто не имеет места, ибо для скаляра это всегда градиент, а для вектора — всегда дивергенция.
Определите понятие «действует». Скалярное умножение по определению умножает два вектора в одном векторном пространстве и выдает число. А операторы и векторные функции одному пространству не принадлежат.
Действует = является отображением.
Поскольку векторный оператор набла есть отображение одного векторного пространства на другое с заданным скалярным произведением (без коммутативности), то я не вижу, в чем проблема.
Поскольку векторный оператор набла есть отображение одного векторного пространства на другое с заданным скалярным произведением (без коммутативности), то я не вижу, в чем проблема.
Если объект является отображением, то у него есть область определения и область значений. Чему равны эти области? Скалярным функциям или векторным? Скалярное произведение на каком пространстве вы имеете в виду (область определения ∇, область значений ∇, область значений векторных функций?) и что по вашему не коммутативно? Скалярное произведение коммутативно по определению.
Тут не скалярное умножение — нет точки между ними. Это просто применение оператора. Но как именно его нужно применять к тензорам второго порядка я не знаю.
Здесь написана дивергенция тензора, т.е. вектор вида \nabla_{j} T_{ij}, содержащий также d компонент. Или, можно сказать по-иному, однократная свёртка оператора набла с тензором.
Могу быть заминусован, но…
В свое время я халатно относился к алгебре, геометрии, высшей математике. Какие книги можно почитать (желательно с упражнениями), чтобы увеличить уровень знания области? И если область дискретной математики более менее понятна, то линейная алгебра, в особенности интегралы с производными, повергают меня в интеллектуальный шок.
В свое время я халатно относился к алгебре, геометрии, высшей математике. Какие книги можно почитать (желательно с упражнениями), чтобы увеличить уровень знания области? И если область дискретной математики более менее понятна, то линейная алгебра, в особенности интегралы с производными, повергают меня в интеллектуальный шок.
а для кого статья?
для тех, кто знает, что такое гамильтониан?
и когда набла это градиент, а когда дивергенция?
для тех, кто знает, что такое гамильтониан?
и когда набла это градиент, а когда дивергенция?
У Ладыженской дан хороший математический анализ вопросам существования единственности решения в уравнениях Навье-Стокса, как для ламинара, так и для турбулента. Кстати, именно у неё есть доказанная теорема о том, что при ламинаре и стационарности во внутренних задачах есть единственное решение. Получается, что если труба гофрированная и возмущения (амплитуда геометрии образующей) малы, то ряд сходится. Задачи со свободной поверхностью представляют большой интерес (геометрия дюн, барханов, поверхности кожи дельфинов, ...), поведение пристеночного слоя плюс стратификация. Пишите так же доступно как начали. Жду продолжения.
Спасибо за комментарий о доступности изложения. Надеюсь, следующие посты пойдут чаще. Пока выведу уравнение переноса тепла в идеальной и вязкой жидкости (примерно подобно тому, как тут описано), а в дальнейшем уже перейду к конкретным задачкам, и, возможно, CFD.
А строгость изложения… Всё же я — физик, скорее даже вычислитель, и дискуссия в комментариях выше по поводу того, чем же является набла, от меня совершенно далека.
А строгость изложения… Всё же я — физик, скорее даже вычислитель, и дискуссия в комментариях выше по поводу того, чем же является набла, от меня совершенно далека.
Вы будете смеяться, но я, хоть и математик, но совершенно прикладной, занимаюсь вычислительными задачами, причем в основном в области физики (Фурье-оптика, оптика электронных пучков, обратные задачи электроимпедансной томографии и т.п.). Но в какой-то момент меня утомило то, что векторное произведение и ротор определены только в трехмерном пространстве и я выучил соответствующий кусок теории. Не скажу, чтобы очень помогло в работе, но некоторая приятная ясность возникает :)
Теперь я понимаю, что чувствуют люди с физическим образованием читая на хабре статью о препарирование очередного трояна!
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Кратко о гидродинамике: уравнения движения