Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 67
Если кому-то ещё интересна эта тема чисел, то вот ещё видео в двух частях про математические проблемы того времени.
Видео очень интересные, правда они только на английском.
Видео очень интересные, правда они только на английском.
Я что-то не понял — в первом видео она говорит дважды, что я не смогу угол разделить на три равных угла. Но она при этом дает полный инструментарий для этого?!?? Я что-то не так понимаю, что она говорит?
Of course you can trisect some angles, like a right angle or a 45 degree
angle, but there is no general procedure using straight edge and compass
that will trisect any arbitrary angle.
Что за фигня???? Что значит trisect? Разделить на три равных угла? Я могу это сделать используя только линейку и циркуль.
angle, but there is no general procedure using straight edge and compass
that will trisect any arbitrary angle.
Что за фигня???? Что значит trisect? Разделить на три равных угла? Я могу это сделать используя только линейку и циркуль.
that is already addressed in the comment; the three new angles that you derive from that process will not be equal, the middle angle will be larger.
Все равно фигня, хоть и обидно :-)
Все равно фигня, хоть и обидно :-)
Нельзя при помощи линейки и циркуля разделить произвольный угол на три равных.
Если можете — алгоритм в студию.
Если можете — алгоритм в студию.
Да-да, тоже мне интересно =)
Несмотря на доказанную неразрешимость проблемы в общем случае, в прессе время от времени публикуются некоторые неверные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой
— ru.wikipedia.org/wiki/Трисекция_угла
Поучительная история. И далекая.
У меня есть менее поучительная на эту тему — зато недавняя.
Моему приятелю на вступительном экзамене по математике (мех-мат МГУ) задали вопрос: -Что такое рациональное число?
Он ответил, как автор статьи
За этот ответ он получил двойку и ушел поступать в МАИ. Поступил, кстати, теперь директор крупной логистической компании.
У меня есть менее поучительная на эту тему — зато недавняя.
Моему приятелю на вступительном экзамене по математике (мех-мат МГУ) задали вопрос: -Что такое рациональное число?
Он ответил, как автор статьи
которое можно представить как отношение двух целых чисел, то бишь в виде дроби
За этот ответ он получил двойку и ушел поступать в МАИ. Поступил, кстати, теперь директор крупной логистической компании.
А какой ответ от него ждали?
Отношение целого к натуральному.
Почему это определение не равносильно тому, что выше?
Возможны тонкости формулировок. Если он ответил «рациональные числа — это все отношения двух целых чисел», то это некорректно из-за нуля в знаменателе, как тут отметили ниже. Если он ответил «рациональные числа — это те, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел», то это корректное определение. Возможно, оно не считается стандартным или общепринятым, но оно им равносильно, что с лёгкостью доказывается.
рациональные числа — это те, которые можно представить в виде отношения двух целых чиселВот в этом и проблема. Таким образом нельзя определить понятие рациональных чисел. Вы понимаете «можно представить» как «существует число, эквивалентное данному», подразумевая, что уже есть какие-то числа, эквивалентные рациональным. То есть рациональные числа здесь определяются через самих себя.
Поэтому «можно представить» в определении следует заменить на «по определению является». Тогда вы получите желаемое противоречение, что числа с нулевым знаменателем являются рациональными.
эквивалентные рациональнымЭто неверно, достаточно, чтобы они включали в себя рациональные (например, взять множество действительных чисел). Да, традиционно множества определяются от меньших к большим, но никто не запрещает действовать как-нибудь по-другому, лишь бы это не вызывало противоречий.
Но согласен с вами, что «можно представить» звучит недостаточно строго. В строгой форме оно должно звучать как-нибудь так: «Действительное число x называется рациональным, если существуют целые числа p и q, такие что x = p/q». Соответственно, нам нужно определение действительных чисел, операция равно и операция деления двух целых чисел. Вроде как, это всё можно ввести, не используя рациональные числа. Хотя проще, разумеется, просто запретить 0 в знаменателе)
Так ведь и сам вопрос «что такое рациональное число» можно прочитать двояко — «какие действительные числа являются рациональными» и «как определить рациональные числа через целые/натуральные». В первом случае «те, которые можно представить...» — правильный ответ (и ни про нуль в знаменателе, ни про несократимость говорить не нужно), во втором — дать полное определение поля частных для кольца целых чисел (множество пар с таким-то ограничением, таким-то отношением эквивалентности и так-то определёнными операциями).
Чтобы за пропущенное слово «несократимый» ставили двойку, не очень верится. Скорее всего, абитуриент ещё в чём-то провинился. Например, неправильной записью в графе «национальность», если дело было в начале 80-х.
Чтобы за пропущенное слово «несократимый» ставили двойку, не очень верится. Скорее всего, абитуриент ещё в чём-то провинился. Например, неправильной записью в графе «национальность», если дело было в начале 80-х.
По вашему определению 3 и 2,5 — не рациональные числа.
Вы понимаете «можно представить» как «существует число, эквивалентное данному», подразумевая, что уже есть какие-то числа, эквивалентные рациональным. То есть рациональные числа здесь определяются через самих себя.Не эквивалентные, а они же. Число и его представление — это разные вещи. 2,5 = 2½ = 5/2 = 150 / 60 = √6.25— это всё одно и то же число. Не «эквивалентные», а одно и то же.
2,5 = 2½ = 5/2 = 150 / 60 = √6.25 — это всё одно и то же число.
Так, а 3-адическое число ...111121 — это то же самое число? Оно равно 5/2, но большинство 3-адических чисел аналога в действительных числах не имеют. И, скажем, sqrt(5/2) в этих полях уже не будут иметь между собой ничего общего. Так что говорить, что рациональное, действительное и 3-адическое 5/2 это одно и то же — не совсем правильно. Просто существует канонический гомоморфизм из Q в R.
Вы ещё скажите, что мнимая единица и кватернион i это одно и то же число :) Да, кватернионы a+i*b ведут себя точно так же, как комплексные числа. Но так же ведут себя a+j*b, и a+(0.8*j+0.6*k)*b… И кто из них мнимая единица?
Так, а 3-адическое число ...111121 — это то же самое число?Не знаю, что вы обозначаете как «адические числа», но если оно строго равно, то да, то же самое. Те, что не имеют «аналогов» — те не рациональные. Что вы вообще вот этим
большинство 3-адических чисел аналога в действительных числах не имеют.хотите доказать? Большинство даже действительных чисел «не имеют аналогов в рациональных». Называются иррациональными, если что.
3-адические числа — частный случай p-адических, при p=3. Это бесконечные ряды a0+a1*3+a2*3^2+a3*3^3+..., где цифры a0, a1,… принимают значения 0,1,2. Кроме того, число может иметь конечное число разрядов с отрицательными степенями троек.
Эти числа образуют поле, включающее в себя все целые, а следовательно, и все рациональные числа. Оно, как и действительные числа, континуально, но «пересекается» с действительными только по рациональным числам. И говорить, что эквиваленты рациональных чисел в этих полях — одни и те же числа, опасно. Потому что операции, выходящие за пределы арифметики, ведут себя по-разному. Как тот же квадратный корень — он может существовать в одном поле и не существовать в другом, а если есть и там, и там — то выглядит совершенно по-разному. И является пределом совершенно других последовательностей.
Эти числа образуют поле, включающее в себя все целые, а следовательно, и все рациональные числа. Оно, как и действительные числа, континуально, но «пересекается» с действительными только по рациональным числам. И говорить, что эквиваленты рациональных чисел в этих полях — одни и те же числа, опасно. Потому что операции, выходящие за пределы арифметики, ведут себя по-разному. Как тот же квадратный корень — он может существовать в одном поле и не существовать в другом, а если есть и там, и там — то выглядит совершенно по-разному. И является пределом совершенно других последовательностей.
Оно, как и действительные числа, континуально, но «пересекается» с действительными только по рациональным числам.
А не пересекаюттся по каким? То есть иррациональных там нет?
Есть, но там свой набор иррациональных чисел, и они не имеют аналога в действительных. Это тоже числа с непериодической записью, но цифры продолжаются влево, а не вправо. Например, 7-адическое число sqrt(2) выглядит как ...16213 (можете проверить — если его возвести в квадрат в 7-ричной системе, получится ...00002). В 3-адических и 5-адических числах sqrt(2) не существует, зато есть 5-адическое sqrt(-1)=...31212 (его квадрат равен ...44444)
Это тоже числа с непериодической записью, но цифры продолжаются влево, а не вправо.То есть это бесконечные числа? Или это другая запись иррационального числа? Всегда думал, что действительные числа включают в себя ВСЕ иррациональные. И еще интересно получается, как одна и та же операция для по сути одного и того же числа но в другом представлении дает другой результат.
То есть это бесконечные числа?
В некотором смысле, да. Это числа, в которых младшие разряды важнее, чем старшие. Числа считаются тем ближе друг к другу, чем на большую степень числа p делится их разность. Так, расстояние от 1000 до 2000 меньше, чем от 1000 до 1001 (считаем, что числа записаны в p-ричной системе). Последовательность чисел в троичной записи 1, 21, 121, 1121, 11121,… сходится к бесконечному числу ...111121, которое целым не является. Но если мы умножим все числа в последовательности на 2, то получим 2, 112, 1012, 10012, 100012,… которая сходится к целому числу 12 (т.е. 5 в десятичной системе). Поэтому, ...111121=5/2.
p-адические числа удобны тем, что при арифметических операциях с ними не теряется точность: сколько младших разрядов было известно у операндов, столько же осталось у суммы и произведения. Применяются они, например, в некоторых алгоритмах разложения многочленов на множители: разложение выполняется в конечном поле, результат «поднимается» в p-адические числа, после чего ищутся комбинации множителей, дающие произведение с целочисленными коэффициентами. Проделывать то же с вещественными числами сложнее из-за потери точности.
В некотором смысле, да. Это числа, в которых младшие разряды важнее, чем старшие.
Спасибо за разъяснение. С представлением понятно. Я имел ввиду бесконечные в смысле значения, а не представления. Так что множество p-адических не пересекаются с множеством действительных, так как все действительные конечные по значению, а p-адические нет. Как например уходит в бесконечность предел деления на ноль, так? Или там при переводе корень из отрицательных и они подмножество комплексных?
В p-адических и действительных числах разные метрики. Поэтому разное понятие бесконечности. Например, в действительных числах последовательность 1, 11, 111, 1111,… уходит в бесконечность. В p-адических она сходится к числу -1/(p-1). И наоборот, последовательность 0, 0.1, 0.11, 0.111,… в действительных числах стремится к 1/(p-1), а в p-адических — к бесконечности: чем больше в числе знаков после точки, тем дальше оно от нуля.
Казалось бы, достаточно развернуть знаки в записи числа, чтобы из действительных чисел получить p-адические и наоборот, но это не так. Во-первых, разряды при сложении и умножении переносятся не в ту сторону. Во-вторых (и это следствие первого), в действительных числах последовательность 0.9, 0.99, 0.999,… стремится к 1.0000, а в p-адических такой трюк не работает: если последние цифры стабилизировались, они уже не изменятся. И последовательность 5-адических чисел 0, 40, 440, 4440, 44440,… стремится вовсе не к ...00001, а к числу ...4444440, которое, кстати, является конечным целым (и равно -5).
Казалось бы, достаточно развернуть знаки в записи числа, чтобы из действительных чисел получить p-адические и наоборот, но это не так. Во-первых, разряды при сложении и умножении переносятся не в ту сторону. Во-вторых (и это следствие первого), в действительных числах последовательность 0.9, 0.99, 0.999,… стремится к 1.0000, а в p-адических такой трюк не работает: если последние цифры стабилизировались, они уже не изменятся. И последовательность 5-адических чисел 0, 40, 440, 4440, 44440,… стремится вовсе не к ...00001, а к числу ...4444440, которое, кстати, является конечным целым (и равно -5).
рациональные числа — это те, которые можно представить в виде отношения двух целых чиселТонкость этого определения в том, что здесь неявно используется третье множество, скрытое под «те» — некоторое более общее множество "чисел". Поэтому надо четко оговорить, что это за множество (действительные, комплексные, какие-то ещё), и убедиться, что мы сможем это множество (и нужные нам от него свойства) определить, не пользуясь понятием рациональных чисел.
Является ли ноль натуральным числом — этот вопрос в разных школах (не общеобразовательных, а научных) решается по-разному:)
Можно сказать «отношение целого к положительному целому». Но я в любом случае сомневаюсь, что ответ «отношение двух целых» заслуживает двойки на _вступительных_ экзаменах.
Можно сказать «отношение целого к положительному целому». Но я в любом случае сомневаюсь, что ответ «отношение двух целых» заслуживает двойки на _вступительных_ экзаменах.
Он забыл слово несократимой
То есть, сократимая дробь — не рациональное число?
вот это уж точно не принципиально.
Я не буду спорить. Спорьте сами с классиками математического анализа — у них все четко определено, лишних слов нет.
Типа два срока. Подряд.
Типа два срока. Подряд.
В математике нет авторитетов. Утверждение либо верное, либо неверное, независимо от мнения классиков математического анализа. В данном случае двойку поставили за совершенно верное определение.
Еще легко отделался. Всего лишь двойка. Гиппаса вон утопили… несмотря на правоту.
Сборище двоечников вместо хабра? Если не следовать правильному определению, то доказать иррациональность корня из 2 невозможно.
Согласно Вашему определению любое рациональное число можно представить бесконечным числом пар. Вы вляпались в слово бесконечность, а значит никогда не сможете сократить дробь до состояния четное/нечетное. Ведь делить на 2 Вам придется бесконечное число. Таким образом, не исключено, что в бесконечном представлении рационального числа есть искомый корень из 2.
Согласно Вашему определению любое рациональное число можно представить бесконечным числом пар. Вы вляпались в слово бесконечность, а значит никогда не сможете сократить дробь до состояния четное/нечетное. Ведь делить на 2 Вам придется бесконечное число. Таким образом, не исключено, что в бесконечном представлении рационального числа есть искомый корень из 2.
Согласно Вашему определению любое рациональное число можно представить бесконечным числом пар. Вы вляпались в слово бесконечность, а значит никогда не сможете сократить дробь до состояния четное/нечетное. Ведь делить на 2 Вам придется бесконечное число.
Существует бесконечное число чисел, являющихся натуральными степенями двойки. Возьмём произвольную степень двойки. Будем делить на 2, пока число чётное. Значит ли слово «бесконечное» в начале комментария, что к единице мы никогда не придём?
Количество разных представлений одного и того же числа действительно бесконечное, но числитель и знаменатель каждого из представлений конечны, значит, и сокращать нужно будет лишь конечное число раз.
Согласно Вашему определению любое рациональное число можно представить бесконечным числом пар. Вы вляпались в слово бесконечность, а значит никогда не сможете сократить дробь до состояния четное/нечетное. Ведь делить на 2 Вам придется бесконечное число.
С чего это вдруг? Да, сокращать нам придётся каждую из бесконечного множества дробей. Но у каждой из них p и q будут конечными, и делить на 2 бесконечное число совсем не нужно.
Конечно, неплохо было бы понять, доказана ли у нас к этому моменту единственность представления в виде несократимой дроби. Если нет — придётся указать, что для всех несократимых представлений p/q одного и того же числа чётность чисел p одинакова (и чётность чисел q тоже), доказывается это элементарно.
Делите, Шура, делите — я не против.
Кстати, в случае неправильного определения нельзя доказать что множество рациональных чисел — счетное.
Ладно, это школьники невежи, я тебе хочу задачку на эту тему из всероссийской олимпиады загадать из далеких 70-х годов
Может ли иррациональное число возведенное в иррациональную степень быть рациональным?
На Олимпиаде ее решило только 60 процентов участников.
Кстати, в случае неправильного определения нельзя доказать что множество рациональных чисел — счетное.
Ладно, это школьники невежи, я тебе хочу задачку на эту тему из всероссийской олимпиады загадать из далеких 70-х годов
Может ли иррациональное число возведенное в иррациональную степень быть рациональным?
На Олимпиаде ее решило только 60 процентов участников.
(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) что ли? Было такое. И 60% для такой задачи не так уж мало.
А множество дробей останется счётным, даже если мы сохраним несократимые дроби: это N^2, которое эквивалентно N. Потом воспользуемся теоремой, что бесконечное подмножество счётного множества счётно — насколько я понимаю, она аксиомы выбора не требует.
А множество дробей останется счётным, даже если мы сохраним несократимые дроби: это N^2, которое эквивалентно N. Потом воспользуемся теоремой, что бесконечное подмножество счётного множества счётно — насколько я понимаю, она аксиомы выбора не требует.
Всё-таки это мехмат МГУ, так что вполне возможно, что вопрос был с подвохом. Возможно, экзаменаторы хотели услышать ответ вида «Рациональным числом называется элемент поля частных над кольцом целых чисел», что показало бы общую осведомленность экзаменующегося об алгебре, теории множеств, современной математике, дало бы почву для дальнейшего обсуждения. Лично знал школьников, которые поступали на мехмат и уже ориентировались в общей алгебре.
От абитуриентов они этого слышать не хотели. То, что есть школьники, знающие программу первых двух курсов мехмата, не означает, что принимать нужно только таких.
Они вполне могли бы хотеть такое услышать, но это уже «добивающий вопрос на пятёрку с плюсом», а не отсеивающий вопрос на двойку. Впрочем, полагаться на воспоминания очевидца, к тому же морально заинтересованного — последнее дело (а тем более — в пересказе третьего лица). Факт в том, что он получил двойку, а за что конкретно — мог бы сказать только экзаменатор. С некоторой натяжкой можно ещё допустить, что ему на экзамене задали _какой-то_ вопрос про рациональные числа, но какая была _точная_ формулировка этого вопроса, и, тем более, что он _в точности_ на него ответил — мы не знаем.
За этот ответ он получил двойку и ушел поступать в МАИ. Поступил, кстати, теперь директор крупной логистической компании.
Ну так на ноль делить нельзя.
В знаменателе конечно же натуральное.
А разве определение «которое можно представить как отношение двух целых чисел» разрешает где-либо делить на ноль? Ни у какого числа, которое можно так представить, нуля в знаменателе не окажется.
Ноль относится к множеству целых чисел.
Ну и что это меняет? Все рациональные числа можно представить в виде отношения двух целых, при этом ноль в знаменателе ни в каком из этих представлений не встретится.
Для МАИ, видимо, ничего не меняет. А вот на мехмат МГУ с такими рассуждениями не берут. :-)
Определение предполагает отношение эквивалентности, а у вас здесь только вложенность одного множества в другое. Проще говоря, это все равно, что дать определение «квадрат — это прямоугольник». Как утверждение оно верно (любой квадрат является прямоугольником), но определением множества квадратов, очевидно, не является.
А так пойдет? — Рациональные — подмножество действительных, которые можно представить отношением двух целых.
По аналогии — квадрат — это прямоугольник, у которого стороны равны.
По аналогии — квадрат — это прямоугольник, у которого стороны равны.
Смотрите ветку чуть выше habrahabr.ru/post/246963/#comment_8202017
Позволю себе усомниться, что вашего приятеля не приняли в МГУ именно по этой причине.
Теперь я знаю, откуда взят эпизод с экзаменом по математике в «Космических рейнджерах».
Вообще, статья не плохая, но мне её объяснили на лекции мат. анализа на первом курсе. Хотя нам не говорили, что первого усомнившегося утопили :)
Клево-клево! А можно также про то, почему есть числа, не представляемые в виде нуля какого-либо многочлена? =)
Не, ну это совсем просто.
Пусть есть какой-то многочлен P(x) степени n с целыми коэффициентами. Тогда все его корни лежат на некотором отрезке |x|<C, и его производная ограничена числом M. Если мы подставим в этот многочлен рациональное число p/q, то значением будет число a/q^n, где a — целое. И если x — корень многочлена, то |x-p/q|>(|a|/M)/q^n>1/(M*q^n).
Значит, если мы подберём такое иррациональное x, что для любых M,n найдётся такое p/q, что |x-p/q|<1/(M*q^n), то x не может быть алгебраическим. Нам подходит x=sum(((-1)^k)/(2^(k!)))=-1/2+1/4-1/64+… Частичная сумма этого ряда от 1 до m равна p/q, где q=2^(m!), и |x-p/q|<1/(2^((m+1)!))=1/q^(m+1). Взяв m такое, что m>n, 2^(m!)>M, получим, что |x-p/q|<1/(M*q^n), что и требовалось.
Доказательство ненамного длиннее, чем для sqrt(2) :)
Пусть есть какой-то многочлен P(x) степени n с целыми коэффициентами. Тогда все его корни лежат на некотором отрезке |x|<C, и его производная ограничена числом M. Если мы подставим в этот многочлен рациональное число p/q, то значением будет число a/q^n, где a — целое. И если x — корень многочлена, то |x-p/q|>(|a|/M)/q^n>1/(M*q^n).
Значит, если мы подберём такое иррациональное x, что для любых M,n найдётся такое p/q, что |x-p/q|<1/(M*q^n), то x не может быть алгебраическим. Нам подходит x=sum(((-1)^k)/(2^(k!)))=-1/2+1/4-1/64+… Частичная сумма этого ряда от 1 до m равна p/q, где q=2^(m!), и |x-p/q|<1/(2^((m+1)!))=1/q^(m+1). Взяв m такое, что m>n, 2^(m!)>M, получим, что |x-p/q|<1/(M*q^n), что и требовалось.
Доказательство ненамного длиннее, чем для sqrt(2) :)
Очень хорошо, но как-то мало.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
О диагонали квадрата