Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 129
Теплый ламповый BMP :)
Я правильно понял, что разгадка ваша? Какие горизонты в науке и технике открывает эта разгадка?
Вы правильно поняли. Если в статье всё верно, то это ведёт к пересмотру основ спектрального анализа.
Сам по себе вывод «сигнал, спектр которого искажается преобразованием разложения в спектр» звучит диковато.
Но конкретно для преобразования Фурье это не новость, а обыденная реальность — достаточно засунуть в преобразование Фурье сигнал с разрывами (ступеньками, выколотыми точками и т.п.). Формально, в момент разрыва у такого сигнала будет бесконечная мощность, и «теоретически» так как бы и не бывает. Но на практике, например, если сигнал дан нам в виде напряжения, то в момент перехода напряжения через ноль «теоретическая» мгновенная мощность сигнала может быть любой, в т.ч. сколь угодно близкой к бесконечности.
А дальше преобразование пытается разложить этот скачок в виде суммы синусоид… и обламывается, потому что как синусоиды не суммируй — они остаются непрерывными функциями и дать скачок не могут. И возникает то самое искажение спектра. Если преобразовать такой порченный сигнал назад — вместо честного разрыва получится довольно далёкая от правды кривая с выбросами. Всем известные артефакты jpeg-сжатия имеют как раз эту же природу.
Это одна из причин широкого применения вейвлетов вместо старого доброго Фурье. Так что Америку вы не открыли, при всём уважении.
А квантовые шумы действительно могут давать подобные артефакты, так как по своей природе являются прерывистыми.
Но конкретно для преобразования Фурье это не новость, а обыденная реальность — достаточно засунуть в преобразование Фурье сигнал с разрывами (ступеньками, выколотыми точками и т.п.). Формально, в момент разрыва у такого сигнала будет бесконечная мощность, и «теоретически» так как бы и не бывает. Но на практике, например, если сигнал дан нам в виде напряжения, то в момент перехода напряжения через ноль «теоретическая» мгновенная мощность сигнала может быть любой, в т.ч. сколь угодно близкой к бесконечности.
А дальше преобразование пытается разложить этот скачок в виде суммы синусоид… и обламывается, потому что как синусоиды не суммируй — они остаются непрерывными функциями и дать скачок не могут. И возникает то самое искажение спектра. Если преобразовать такой порченный сигнал назад — вместо честного разрыва получится довольно далёкая от правды кривая с выбросами. Всем известные артефакты jpeg-сжатия имеют как раз эту же природу.
Это одна из причин широкого применения вейвлетов вместо старого доброго Фурье. Так что Америку вы не открыли, при всём уважении.
А квантовые шумы действительно могут давать подобные артефакты, так как по своей природе являются прерывистыми.
Мне кажется вы слишком категоричны. Преобразование Фурье удобно как раз потому, что позволяет учесть «инерцию» объектов и в таком концепте анализировать сигналы. Т.к. безинерциальных объектов мы пока не имеем, то и преобразование работает корректно. Поднятый автором вопрос (насколько я понял) состоит в способе формализации объекта для приложения к нему преобразования Фурье. Это важно и правильно. Просто не надо забывать, что многие (очень многие) математические методы ограниченно пригодны для применения в инженерных задачах именно в силу того, что нужно четко понимать физический смысл этих методов. В самой же математике понятие «физический смысл» отсутствует в принципе, отсюда и рождается замеченная автором проблема.
А касательно самого фликер-шума, указанная проблема существует только в головах математиков и теоретиков от инженерии. Всем практикам всегда было ясно — хочешь уменьшить шум, уменьшай количество помех от окружающего электронного хаоса. Не будешь уменьшать — получишь белый шум, уменьшишь — получишь фликер. Этот факт сам по себе является доказательством всей приведенной математики, только, в отличие от теоретиков, он понятен любому школьнику впервые собравшему суперрегенераторный приемник на одной лампе. Что, кстати, отнюдь не уменьшает ценности анализа.
А касательно самого фликер-шума, указанная проблема существует только в головах математиков и теоретиков от инженерии. Всем практикам всегда было ясно — хочешь уменьшить шум, уменьшай количество помех от окружающего электронного хаоса. Не будешь уменьшать — получишь белый шум, уменьшишь — получишь фликер. Этот факт сам по себе является доказательством всей приведенной математики, только, в отличие от теоретиков, он понятен любому школьнику впервые собравшему суперрегенераторный приемник на одной лампе. Что, кстати, отнюдь не уменьшает ценности анализа.
Но на практике, например, если сигнал дан нам в виде напряжения, то в момент перехода напряжения через ноль «теоретическая» мгновенная мощность сигнала может быть любой, в т.ч. сколь угодно близкой к бесконечности.
Вы пишете бред, извините. Ни один реальный сигнал «данный нам в виде напряжения» не меняется мгновенно, это азы знакомые любому работающему с сколь-либо высокочастотными сигналами, ибо это создает массу проблем когда этих переходов в секунду нужно уложить достаточно много.
Причем история знает и примеры когда время изменения напряжения было велико даже при частотах порядка герц (первые телеграфные кабели под Атлантикой) — там тоже безграмотные граждане решили что в телеграфе нет ничего сложного, как замкнул цепь — так напряжение сразу изменилось :).
А спектральную плотность мощности по периоду вы сами придумали, или это известная практика? Очень интересный подход, нигде не встречал, поиграюсь на досуге.
Придумал сам (может кто-то уже и придумывал, но я не слышал). Наиболее близкое понятие — спектральная плотность по длине волны ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA_%D0%B8%D0%B7%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F
Думаю, что интереснее рассматривать спектральную плотность мощности по логарифму частоты.
Думаю, что интереснее рассматривать спектральную плотность мощности по логарифму частоты.
Можно собрать схему из генераторов, приведённую в статье, частоты должны быть в соответствии с формулой (24). Сигнал на выходе такой схемы будет похож на фликкер-шум.
Такие измерения были проведены неоднократно, в том числе вашим покорным слугой :).
Берёте любой усилитель, лучше на батарейках, и подключаете ко входу высокоомное сопротивление. Записываете выходной сигнал и раскладываете его быстрым преобразованием Фурье.
Берёте любой усилитель, лучше на батарейках, и подключаете ко входу высокоомное сопротивление. Записываете выходной сигнал и раскладываете его быстрым преобразованием Фурье.
Мандельброт, кажется, этой проблемой занимался, только с другой стороны зашел.
Как проявляется сабж при разливе рек?
Я не автор, но уверен, что в форме берегов после разлива. Это в случае если ланшафт был создан при условиях удовлетворяющих возникновению фликер-шума. Тут кстати, может родится великолепное применение описанного метода для анализа происхождения геоструктур.
Что-то я не понял. Если сабж — результат математической операции над данными, то как его можно наблюдать в природе? Речь о том, что операция производится над формой русла как источником данных? Или о рендеринге виртуальных ландшафтов, в которых русла рек получаются изрезанными?
По Вашему выходит, что математические модели неприменимы в реальной социологии или психологии и вообще в реальном мире?)
Вероятность тоже можно рассматривать, как результат математических опреаций, произведенных над данными.
Вероятность тоже можно рассматривать, как результат математических опреаций, произведенных над данными.
Смысл вот в чем:
Любой шум — это помеха.
Допустим мы хотим нарисовать разметку на дороге длинной прямой белой линией. Тогда если вместо прямой линии мы получим линию, которая через каждый примерно 1см отклоняется от идеальной прямой на ± мощность помехи (такой крюк в сантиметрах), то это будет белый шум (помеха одинакова на всех частотах Т.е. водитель засыпает очень часто или просто все время спит...).
Если мы получим линию, которая только через каждый примерно 1км отклоняется от идеальной прямой — это розовый шум, называемый в народе фликкер-шумом (помеха уменьшается с частотой, т.е водитель засыпает редко). В этом и есть смысл фликер-шума — помеха встречается редко (с малой частотой).
А вот в чем смысл фразы «Загадка фликкер-шума разгадана», я честно говоря так и не понял. Наверно в том, что автор открыл механизм возникновения фликкер-шума: Если водитель будет редко засыпать и еще реже заглядываться на барышень в коротких юбках вдоль дороги, то сумма этих двух редких «помех» даст нам фликер-шум (т.е. одну общую редко возникающую помеху состоящую из нескольких периодически возникающих помех).
Но неужели в этом и была загадка 90 летней давности? ;)
Я думаю, что никакой загадки нет, точнее она есть в головах у тех, кто пытается найти теоретическое обоснование помехи не рассматривая ее физическую природу.
P.S. Но поразмыслить на эту тему было интересно, за что автору отдельный респект.
Любой шум — это помеха.
Допустим мы хотим нарисовать разметку на дороге длинной прямой белой линией. Тогда если вместо прямой линии мы получим линию, которая через каждый примерно 1см отклоняется от идеальной прямой на ± мощность помехи (такой крюк в сантиметрах), то это будет белый шум (помеха одинакова на всех частотах Т.е. водитель засыпает очень часто или просто все время спит...).
Если мы получим линию, которая только через каждый примерно 1км отклоняется от идеальной прямой — это розовый шум, называемый в народе фликкер-шумом (помеха уменьшается с частотой, т.е водитель засыпает редко). В этом и есть смысл фликер-шума — помеха встречается редко (с малой частотой).
А вот в чем смысл фразы «Загадка фликкер-шума разгадана», я честно говоря так и не понял. Наверно в том, что автор открыл механизм возникновения фликкер-шума: Если водитель будет редко засыпать и еще реже заглядываться на барышень в коротких юбках вдоль дороги, то сумма этих двух редких «помех» даст нам фликер-шум (т.е. одну общую редко возникающую помеху состоящую из нескольких периодически возникающих помех).
Но неужели в этом и была загадка 90 летней давности? ;)
Я думаю, что никакой загадки нет, точнее она есть в головах у тех, кто пытается найти теоретическое обоснование помехи не рассматривая ее физическую природу.
P.S. Но поразмыслить на эту тему было интересно, за что автору отдельный респект.
Вас не смущает, что Фурье-преобразование взаимооднозначно и обратимо и ничего не может исказить в принципе?
См. мой коммент выше. Преобразование Фурье (и что хуже, не только интегральное, но и все его виды) взаимооднозначно и обратимо только в идеальном мире розовых единорогов и математиков (сарказм).
Как только в сигнале появляются а) разрывы любого рода; б) бесконечные мощности; в) шумы, в том числе бесконечно малые; г) сигнал небесконечен по оси времени или чего там (а, открою тайну, все реальные сигналы конечны, так как пока никто не прожил период лет от минус до плюс бесконечности) — так сразу вся эта взаимооднозначность и обратимость летит к чёрту.
Например, возьмите обратное Фурье от Фурье от {f=sin(x), x!=0; undef, x==0} (синус с выколотой точкой в нуле) — ну как, обратимо?
Даже теоретически, вычисление преобразования Фурье — существенно некорректно поставленная задача, если вы понимаете о чём я.
На практике, численное преобразование Фурье ещё и мерзко неустойчиво. Банально, если у вас на входе сигнал имеет разрядность 8 бит (один байт — один отсчёт), и вы считаете ДПФ «в лоб» по школьной формуле и не используете всякие модные БПФ, то для восстановления сигнала вам нужно хранить спектр в типе double (точнее даже complex<double>). Обычного complex<float> уже не хватает. Другими словами, на один байт точности сигнала вам нужно 16 байт на хранение спектра — если возьмёте меньше, вы не сможете восстановить сигнал из-за ошибок округления.
Как только в сигнале появляются а) разрывы любого рода; б) бесконечные мощности; в) шумы, в том числе бесконечно малые; г) сигнал небесконечен по оси времени или чего там (а, открою тайну, все реальные сигналы конечны, так как пока никто не прожил период лет от минус до плюс бесконечности) — так сразу вся эта взаимооднозначность и обратимость летит к чёрту.
Например, возьмите обратное Фурье от Фурье от {f=sin(x), x!=0; undef, x==0} (синус с выколотой точкой в нуле) — ну как, обратимо?
Даже теоретически, вычисление преобразования Фурье — существенно некорректно поставленная задача, если вы понимаете о чём я.
На практике, численное преобразование Фурье ещё и мерзко неустойчиво. Банально, если у вас на входе сигнал имеет разрядность 8 бит (один байт — один отсчёт), и вы считаете ДПФ «в лоб» по школьной формуле и не используете всякие модные БПФ, то для восстановления сигнала вам нужно хранить спектр в типе double (точнее даже complex<double>). Обычного complex<float> уже не хватает. Другими словами, на один байт точности сигнала вам нужно 16 байт на хранение спектра — если возьмёте меньше, вы не сможете восстановить сигнал из-за ошибок округления.
Что такое undef?
Перевод: f = sin(x) для всех x кроме x == 0 и не определена в точке x == 0.
Если функция не определена, то и фурье-преобразование не определено, так может быть каким угодно. Если там какая-то константа, то F[f] = delta(0) + C
Ну хорошо, пусть там будет «какая-то константа», допустим, 1.
То есть, f(x) = sin(x) для любого х, кроме 0, а f(0) = 1
Возьмите прямое фурье от такой f(x).
Потом возьмите обратное фурье от того, что получится.
Вы получите исходную f(x)?
То есть, f(x) = sin(x) для любого х, кроме 0, а f(0) = 1
Возьмите прямое фурье от такой f(x).
Потом возьмите обратное фурье от того, что получится.
Вы получите исходную f(x)?
Если там просто 1, то Фурье её просто сгладит и всё, но это некорректная физическая постановка задачи, если вам нужен бесконечно короткий всплеск, то будет так f[x] = e^ix + 1* delta(0), F[f] = delta(0) + 1.
Да не будет там дельты (0), там будет дельта +-1, и коэффициенты всякие вы потеряли (i делить на корень из пи, вот это всё).
Пример некорректен физически, потому что это синтетический пример для младшего дошкольного возраста о том, как преобразование Фурье теряет информацию («просто сгладит и всё», ага. А потом самолёты падают).
Хотите физический пример? Их есть у меня. На практике мы не знаем f(x) на всём диапазоне от минус до плюс бесконечности. А знаем только кусочек от 0 до T. Что мы делаем? Правильно, объявляем f(x) периодической с периодом Т, получаем линейчатый спектр и вообще обратный интеграл превращается в сумму (ряд Фурье). Вот только совсем не обязательно, что f(0)=f(T). И тут получается упс — уже не просто потеря информации в особой точке, но полноценное разрушение формы сигнала на границе отрезка.
Так вот, пример. Берём всё ту же f(x)=sin(x). Но с периодом, допустим, 0.8Pi. Т.е. f(x)=sin(x mod 0.8), где mod — взятие остатка после целочисленного деления. Ну вот так у неё жизнь сложилась, не спрашивайте, почему. На практике и не такое бывает сплошь и рядом. И вот тут Фурье себя проявит во всей красе.
Пример некорректен физически, потому что это синтетический пример для младшего дошкольного возраста о том, как преобразование Фурье теряет информацию («просто сгладит и всё», ага. А потом самолёты падают).
Хотите физический пример? Их есть у меня. На практике мы не знаем f(x) на всём диапазоне от минус до плюс бесконечности. А знаем только кусочек от 0 до T. Что мы делаем? Правильно, объявляем f(x) периодической с периодом Т, получаем линейчатый спектр и вообще обратный интеграл превращается в сумму (ряд Фурье). Вот только совсем не обязательно, что f(0)=f(T). И тут получается упс — уже не просто потеря информации в особой точке, но полноценное разрушение формы сигнала на границе отрезка.
Так вот, пример. Берём всё ту же f(x)=sin(x). Но с периодом, допустим, 0.8Pi. Т.е. f(x)=sin(x mod 0.8), где mod — взятие остатка после целочисленного деления. Ну вот так у неё жизнь сложилась, не спрашивайте, почему. На практике и не такое бывает сплошь и рядом. И вот тут Фурье себя проявит во всей красе.
На практике мы не знаем f(x) на всём диапазоне от минус до плюс бесконечности. А знаем только кусочек от 0 до T. Что мы делаем? Правильно, объявляем f(x) периодической с периодом Т
Классический подход состоит в том чтобы просто доопределить f(x) нулем вне отрезка [0,T]. Часто используют и другие оконные функции. Зачем объявлять f(x) периодической с периодом которого у неё явно нет и удивляться потом что результат не такой который хотелось бы?!?!
Вот только совсем не обязательно, что f(0)=f(T). И тут получается упс — уже не просто потеря информации в особой точке, но полноценное разрушение формы сигнала на границе отрезка.
«Разрушение формы сигнала» будет только если Вы оборвете ряд Фурье конечным числом слагаемых. Чем больше оторвете, тем хуже будет результат, чем больше слагаемых — тем меньше будут различия. Бесконечный ряд отлично восстановит исходную форму за исключением, естественно, точки разрыва
Если взять прямоугольное окно из двух хэвисайдов (т.е., как вы пишете, доопределить функцию нулём вне [0,T]), и f(0)!=0, f(T)!=0, то мы получим не одну точку разрыва, а две. Не знаю, откуда вы взяли про «классический» подход, но это чуть ли не худшее, что вообще можно сделать в данной ситуации.
Если уж зашла речь про оконные преобразования Фурье, то с ними вообще нужно работать очень осторожно, потому что любое окно обрезает не только сигнал, но и его спектр. Причём форма окна в спектральной области будет, скорее всего, весьма внезапной, с соответствующим геморроем для последующего анализа и особенно модификации спектра. Уж лучше сразу брать вейвлеты.
Бесконечный ряд Фурье может и «отлично» восстановит исходный сигнал, только вот работать с членами именно ряда Фурье то ещё удовольствие — что аналитически, что численно. Как ни крути, а преобразование Фурье от хэвисайда это натягивание совы на глобус, попытка аппроксимировать разрыв непрерывными функциями.
Если уж зашла речь про оконные преобразования Фурье, то с ними вообще нужно работать очень осторожно, потому что любое окно обрезает не только сигнал, но и его спектр. Причём форма окна в спектральной области будет, скорее всего, весьма внезапной, с соответствующим геморроем для последующего анализа и особенно модификации спектра. Уж лучше сразу брать вейвлеты.
Бесконечный ряд Фурье может и «отлично» восстановит исходный сигнал, только вот работать с членами именно ряда Фурье то ещё удовольствие — что аналитически, что численно. Как ни крути, а преобразование Фурье от хэвисайда это натягивание совы на глобус, попытка аппроксимировать разрыв непрерывными функциями.
Если взять прямоугольное окно из двух хэвисайдов (т.е., как вы пишете, доопределить функцию нулём вне [0,T]), и f(0)!=0, f(T)!=0, то мы получим не одну точку разрыва, а две.
Верно. И?
Не знаю, откуда вы взяли про «классический» подход, но это чуть ли не худшее, что вообще можно сделать в данной ситуации.
Почему?
Если уж зашла речь про оконные преобразования Фурье, то с ними вообще нужно работать очень осторожно, потому что любое окно обрезает не только сигнал, но и его спектр
Если у Вас есть функция [0,T], то ее спектр уже обрезан (а точнее не обрезан, а искажен) и в этом виновато не окно а то что ф-я известна лишь на ограниченном итервале и без дополнительной информации восстановить, соответственно, Вы ее тоже можете лишь на этом интервале
Причём форма окна в спектральной области будет, скорее всего, весьма внезапной, с соответствующим геморроем для последующего анализа и особенно модификации спектра.
Какую хотите форму, такую и берите, в этом весь смысл использования окон. Что удобно для анализа / модификации — то и используйте.
особенно модификации спектра. Уж лучше сразу брать вейвлеты.
Смотря какой модификации. Смотря какие задачи. Преобразование Фурье не виновато в том что оно не серебрянная пуля для всех случаев жизни
Например, возьмите обратное Фурье от Фурье от {f=sin(x), x!=0; undef, x==0} (синус с выколотой точкой в нуле) — ну как, обратимо?
Оно прекрасно себе обратимо в смысле функционального анализа который рассматривает ф-и в интегральном смысле, т.е. считая, к примеру, что две ф-и отличающиеся на множестве меры ноль являются одной и той же функцией.
Ваш пример именно из этой серии.
Вас должен был смутить тот факт, что (во всех реализациях), при преобразовании Фурье (к негармоническому сигналу) младшие члены ряда отбрасываются.
Будучи физиком по образованию, когда я увидел график «спектр мощности фликкер-шума», сразу его узнал: «Это же белый шум!».
Спасибо за тщательный разбор «феномена».
Во введении стоило указать, что «фликкер-шум» виден только в результатах преобразования Фурье и высказать гипотезу, что это погрешность преобразования.
Ну и маленький вопрос: почему же эта статья размещена не на гиктайме?
Спасибо за тщательный разбор «феномена».
Во введении стоило указать, что «фликкер-шум» виден только в результатах преобразования Фурье и высказать гипотезу, что это погрешность преобразования.
Ну и маленький вопрос: почему же эта статья размещена не на гиктайме?
Уточнение по «виден только в результатах преобразования Фурье» — речь о форме восстановленного сигнала.
Добавлю к вопросу о форме спектра шума.
«Белый шум» по определению из Википедии (существуют и другие определения): «сигнал с равномерной спектральной плотностью на всех частотах и дисперсией, равной бесконечности». В таком определении белый шум в природе не существует, поскольку энергия (мощность) такого сигнала бесконечна (и это упомянуто в той же Википедии, там белый шум всегда ограничен некоторой полосой).
Физически осмысленный белый шум — это как раз фликкер-шум, причём на пологой горизонтальной части кривой, вырезав маленький участок, получим распределение, близкое к определению белого шума из Википедии.
Добавлю к вопросу о форме спектра шума.
«Белый шум» по определению из Википедии (существуют и другие определения): «сигнал с равномерной спектральной плотностью на всех частотах и дисперсией, равной бесконечности». В таком определении белый шум в природе не существует, поскольку энергия (мощность) такого сигнала бесконечна (и это упомянуто в той же Википедии, там белый шум всегда ограничен некоторой полосой).
Физически осмысленный белый шум — это как раз фликкер-шум, причём на пологой горизонтальной части кривой, вырезав маленький участок, получим распределение, близкое к определению белого шума из Википедии.
del
Переход от (12) к (13) — это чушь которую автор побоялся обосновывать :)
Если у Вас есть n равномощных генераторов с частотами f1, f2,… fn то мощность в полосе частот от 0 до f равна Ps(f) = \sum_{i: fi<=f} P0.
Это ступенчатая функция и если уж Вам так неймётся её продифференцировать, то dPs = \sum_i P0 delta(fi) df. P0 здесь конечно можно заменить на ET(f)f, но нафига? Это все равно будет та же самая константа P0. Ваша формула (13) не получается никак.
Если смотреть предельный случай с равномерным распределением генераторов по частоте, то в силу того что Ps(f) = {число генераторов с частотой меньше f} * {мощность одного генератора}, где первое слагаемое в пределе пропорционально f, а второе является просто константой, в пределе Ps(f) = p0 * f. Отсюда со всей неизбежностью dP = p0 = const. То бишь сумма большого числа генераторов равной мощности и случайной частоты, как и ожидалось, дает белый сум
Непризнанные, блин, гении. Может все же стоит лучше проверять свои выкладки при получении «сенсационных результатов»?
Если у Вас есть n равномощных генераторов с частотами f1, f2,… fn то мощность в полосе частот от 0 до f равна Ps(f) = \sum_{i: fi<=f} P0.
Это ступенчатая функция и если уж Вам так неймётся её продифференцировать, то dPs = \sum_i P0 delta(fi) df. P0 здесь конечно можно заменить на ET(f)f, но нафига? Это все равно будет та же самая константа P0. Ваша формула (13) не получается никак.
Если смотреть предельный случай с равномерным распределением генераторов по частоте, то в силу того что Ps(f) = {число генераторов с частотой меньше f} * {мощность одного генератора}, где первое слагаемое в пределе пропорционально f, а второе является просто константой, в пределе Ps(f) = p0 * f. Отсюда со всей неизбежностью dP = p0 = const. То бишь сумма большого числа генераторов равной мощности и случайной частоты, как и ожидалось, дает белый сум
Непризнанные, блин, гении. Может все же стоит лучше проверять свои выкладки при получении «сенсационных результатов»?
Здесь тоже чушь?
edu.sernam.ru/book_scin.php?id=72
edu.sernam.ru/book_scin.php?id=72
Конкретизируйте вопрос. На первый взгляд там все верно. Обратите только сразу внимание на то что модель Найквиста (постоянный ЭДС случайной длительности) кардинально отличается от Вашей (равная мощность случайной частоты).
Спрашиваю конкретно: переход от формулы (11.14) к формуле (11.15) указанной книги тоже чушь?
Там все ОК, но к чему Вы это спрашиваете? В Вашей формуле переход совершенно иной, обратите внимание на то что l и c в цитируемом учебнике — это константы
После формулы (14) я добавил рисунок. Может так будет понятнее.
Да, формула (13) и предложение перед ней неправильны.
Формула (14) и все следующие из неё выводы точно так же неверна.
В формуле (12) Вы берете мощность генератора «в точке f». Чтобы перейти от неё к «мощности в полосе частот от 0 до f» эту формулу следует просуммировать (проинтегрировать) от 0 до f. А дальнейшее дифференцирование этого интеграла как несложно догадаться просто вернет нас обратно, с оговорками на то что в не-предельном случае дискретная сумма превратится в сумму дельта-функций
В формуле (12) Вы берете мощность генератора «в точке f». Чтобы перейти от неё к «мощности в полосе частот от 0 до f» эту формулу следует просуммировать (проинтегрировать) от 0 до f. А дальнейшее дифференцирование этого интеграла как несложно догадаться просто вернет нас обратно, с оговорками на то что в не-предельном случае дискретная сумма превратится в сумму дельта-функций
Если мощность в полосе частот определяется как интеграл P = интеграл(ET(f) * df), то мощность в полосе df равна dP = ET(f) * df, то есть получается формула (14).
Мощность Ps(f) в полосе частот от 0 до f равна сумма(ET(fi)*fi).
Даже если перейти к плотности то это будет интеграл(ET(f)*f*df)
Даже если перейти к плотности то это будет интеграл(ET(f)*f*df)
Формула «интеграл(ET(f)*f*df)» неправильна по размерности — Вт*Гц
ET(f) в сумме — это работа одного периода источника, Дж
ET(f) в интеграле — это другая величина, спектральная плотность работы одного периода, Дж/Гц
ET(f) в интеграле — это другая величина, спектральная плотность работы одного периода, Дж/Гц
Кажется речь шла о мощности в полосе частот, размерность которой должна быть Вт.
Дж/Гц — размерность действия, она тут причём?
Дж/Гц — размерность действия, она тут причём?
Еще раз: при переходе к интегралу от суммы мы заменяем величину на ее плотность
Изначальная сумма величин выражаемых в ваттах превращается в интеграл от плотности выражаемой в Вт/Гц
Поэтому интеграл(ET(f)*f*df) имеет размерность Вт, а величина ET(f) в интеграле является «работой на единицу частоты» и измеряется в Дж/Гц.
Изначальная сумма величин выражаемых в ваттах превращается в интеграл от плотности выражаемой в Вт/Гц
Поэтому интеграл(ET(f)*f*df) имеет размерность Вт, а величина ET(f) в интеграле является «работой на единицу частоты» и измеряется в Дж/Гц.
В статье ET(f) — имеет размерность мощности, делённой на частоту в соответствии с формулой (12) и является функцией частоты. Если я помещаю её под знак интеграла, то я должен менять её размерность?
Конечно. Интеграл функции f(t) условно говоря есть сумма f(t) * dt. Сумма f(t) и интеграл f(t) таким образом заведомо имеют разные размерности. Естественно что если Вы заменяете сумму на интеграл, то под интегралом оказывается отнюдь не исходная ф-я, а некий предел имеющий другую размерность.
Возможно более наглядное объяснение: исходная сумма есть сумма отдельных слагаемых ET(f)*f.
Каждое из этих слагаемых можно рассматривать как интеграл ET(f)*f = \int_{f-df}^{f+df} et(f)*f df над очень маленьким отрезком [f-df, f+df] при df -> 0. ET — это работа, а et — это плотность работы. Переход от суммирования к интегрированию получается объединением этих маленьких интегральчиков в интеграл над всем отрезком. А так как для отдельной точки et(f) = ET(f)/2df то наглядно видно что размерность et(f) измеряется в Дж/Гц
Возможно более наглядное объяснение: исходная сумма есть сумма отдельных слагаемых ET(f)*f.
Каждое из этих слагаемых можно рассматривать как интеграл ET(f)*f = \int_{f-df}^{f+df} et(f)*f df над очень маленьким отрезком [f-df, f+df] при df -> 0. ET — это работа, а et — это плотность работы. Переход от суммирования к интегрированию получается объединением этих маленьких интегральчиков в интеграл над всем отрезком. А так как для отдельной точки et(f) = ET(f)/2df то наглядно видно что размерность et(f) измеряется в Дж/Гц
Непонятно тогда, каким образом ET(f) будет связана с формулой (12), если её размерность будет Дж/Гц? Это будет уже функция не имеющая никакого отношения к данной статье.
Почему именно по частоте интегрировать? Можно по периоду, тогда размерность будет Дж/с и форма функции ET(f) будет тогда иной. То есть форма функции ET(f) будет зависеть от формулы, в которую она помещается. У меня же в статье рассматривается ET(f), которая имеет конкретную форму.
Сама модель с генераторами была введена, чтобы уйти от плотности и не привязываться к равномерному шагу по частоте.
Почему именно по частоте интегрировать? Можно по периоду, тогда размерность будет Дж/с и форма функции ET(f) будет тогда иной. То есть форма функции ET(f) будет зависеть от формулы, в которую она помещается. У меня же в статье рассматривается ET(f), которая имеет конкретную форму.
Сама модель с генераторами была введена, чтобы уйти от плотности и не привязываться к равномерному шагу по частоте.
А Вы никак не запихнете заданную в отдельных точках ET(f) в интеграл.
Я Вам же написал уже — хотите работать с ET(f) — придется брать сумму, а не интеграл.
Сумма тоже отлично дифференцируется, правда результат будет отличен от Вашего.
Для перехода же к интегралу ET(f) придется заменить на плотность et(f) — это тоже допустимый подход, но там тоже будет иной результат.
Я Вам же написал уже — хотите работать с ET(f) — придется брать сумму, а не интеграл.
Сумма тоже отлично дифференцируется, правда результат будет отличен от Вашего.
Для перехода же к интегралу ET(f) придется заменить на плотность et(f) — это тоже допустимый подход, но там тоже будет иной результат.
Я рассматриваю только непрерывные функции. Для понимания статьи широкой публикой придумана модель с генераторами, под схемой расписано, что за процесс здесь рассматривается.
Давайте на уровне школьной программы, если по другому не понимаете.
Представим что Вы считаете расстояние пройденное автомобилем. Здесь 1 км проехал, здесь 500 м, здесь 2 км, здесь 4 км. Это сумма.
Представим что Вы захотели от суммы расстояний перейти к интегрированию по времени. Что уйдет под знак интеграла? Расстояние? Ничего подобного — под интеграл уйдет скорость автомобиля! И эта скорость будет пределом «пройденное расстояние / затраченное время» при время->0.
Так же и здесь. Под интеграл уходит не ET(f), а плотность et(f) по df. Что дает Ps(f) = интеграл(ef(f)*f*df) и правильную формулу 14 которая запишется как dP = p0*df, а не ту хрень что у Вас указана.
Все что из формулы 14 Вами затем выводится — это ошибка.
Представим что Вы считаете расстояние пройденное автомобилем. Здесь 1 км проехал, здесь 500 м, здесь 2 км, здесь 4 км. Это сумма.
Представим что Вы захотели от суммы расстояний перейти к интегрированию по времени. Что уйдет под знак интеграла? Расстояние? Ничего подобного — под интеграл уйдет скорость автомобиля! И эта скорость будет пределом «пройденное расстояние / затраченное время» при время->0.
Так же и здесь. Под интеграл уходит не ET(f), а плотность et(f) по df. Что дает Ps(f) = интеграл(ef(f)*f*df) и правильную формулу 14 которая запишется как dP = p0*df, а не ту хрень что у Вас указана.
Все что из формулы 14 Вами затем выводится — это ошибка.
Чтобы размерности совпадали, необходимо, чтобы дифференциал был безразмерным. Этому требованию удовлетворяет дифференциал логарифма частоты. Тогда интеграл в полосе частот будет равен P = интеграл(ET(f) * f * d(ln(f)), если перейти к дифференциалу по частоте, то получим P = интеграл(ET(f) * f * (df/f)), частоты в числителе и знаменателе сократятся и получим P = интеграл(ET(f) * df).
Еще раз: Вы смешиваете две разных ET(f) — «точечную», стоящую в сумме и измеряемую в джоулях и «плотность» стоящую в интеграле и измеряемую в джоулях на герц. Все банально и не требует никаких танцев с размерностью дифференциала
Откуда Вы вообще взяли логарифм? Вы что, выдумываете формулы по принципу кажущегося (ибо Вы ошиблись с размерностью ET(f)) совпадения размерности?
Откуда Вы вообще взяли логарифм? Вы что, выдумываете формулы по принципу кажущегося (ибо Вы ошиблись с размерностью ET(f)) совпадения размерности?
Я ничего не смешиваю, у меня в статье одна единственная ET(f) с конкретной размерностью мощности, делённой на частоту.
Не понял, с чем я ошибся?
Если найти мощность в полосе частот по формуле P = интеграл(ET(f) * f * d(ln(f)), то результат будет неверным?
Не понял, с чем я ошибся?
Если найти мощность в полосе частот по формуле P = интеграл(ET(f) * f * d(ln(f)), то результат будет неверным?
Вы эту формулу с логарифмом откуда взяли? Чем ее обосновываете?
Результат не просто будет неверным, он вообще у Вас такое впечатление что взят с потолка
Результат не просто будет неверным, он вообще у Вас такое впечатление что взят с потолка
Я эту формулу привёл в качестве примера того, что и подынтегральная функция и результат интегрирования могут быть одной размерности.
При интегрировании по безразмерной величине могут, но как тезис «в качестве примера» соотносится с Вашими утверждениями из предыдущих комментариев, цитирую по списку озвученного
1. Этому требованию удовлетворяет дифференциал логарифма частоты. Тогда интеграл в полосе частот будет равен… то получим P = интеграл(ET(f) * f * (df/f))
2. Если найти мощность в полосе частот по формуле P = интеграл(ET(f) * f * d(ln(f)), то результат будет неверным?
3. Не понял, с чем я ошибся?
1. Этому требованию удовлетворяет дифференциал логарифма частоты. Тогда интеграл в полосе частот будет равен… то получим P = интеграл(ET(f) * f * (df/f))
2. Если найти мощность в полосе частот по формуле P = интеграл(ET(f) * f * d(ln(f)), то результат будет неверным?
3. Не понял, с чем я ошибся?
Суть в том, что автор статьи наглядно демонстрирует физический смысл контанты «К» в формуле спектра мощности (1).
Именно поэтому он вывел формулу (12), все части которой равны константе, получил из неё формулу (14) и уже её привёл к виду формулы 1.
Именно поэтому он вывел формулу (12), все части которой равны константе, получил из неё формулу (14) и уже её привёл к виду формулы 1.
Это ступенчатая функция
Ключевое тут — бесконечное количество «n».
Автор описал это аналогично тому, как в школе излагают теорию интегралов.
То бишь сумма большого числа генераторов равной мощности и случайной частоты, как и ожидалось, дает белый сум
Не понимаю, что вызвало возмущение. Автор именно что демонстрирует: шум можно представить как сумму сигналов бесконечного количества генераторов синусоидального сигнала одинаковой мощности.
Ключевое тут — бесконечное количество «n».
*устало* интегралы — это не просто бесконечное количество n. Предельный переход использованный автором фундаментально некорректен и видимо по этой причине не описан. Поскольку тут похоже представления многих людей реально ограничиваются школькой программой, то привожу школьный пример
habrahabr.ru/post/262015/#comment_8491803
Не понимаю, что вызвало возмущение. Автор именно что демонстрирует: шум можно представить как сумму сигналов бесконечного количества генераторов синусоидального сигнала одинаковой мощности.
Белый шум можно, но это не будет фликкер-шумом.
Согласен, формула (14) некорректна. Всё переделал, результат поместил в приложение в конце статьи.
Я сейчас матом начну ругаться, ей-богу.
В формуле А.1 величина P(f) есть мощность в диапазоне от 0 до f.
Из этого очевидно следует что упомянутая в формуле A.1 величина ET(f) плотностью не является и являться заведомо не может
Давайте теперь пойдем с обратной стороны. Пусть спектральная плотность мощности равномерна. Как тогда выглядит функция P(f) показывающая общую мощность в полосе шириной f? Правильный ответ тривиален: P(f) = p0*f. То бишь gamma=0. Чем больше полоса — тем больше мощность. А чем же тогда является случай gamma=1? Несложно заметить что он соответствует случаю P(f)=P0 — то есть ситуации в которой общая мощность сигнала в полосе частот от 0 до f не зависит от выбора f и является некоторой константой. Давайте теперь попробуем угадать, какая же мощность приходится на произвольную полосу частот от f1 до f2? Очевидно P(f1,f2) = P(f2)-P(f1) = P0-P0 = 0. Ой. То есть случай gamma = 1 соответствует отсутствию мощности у любых частот отличных от нуля. Дальше продолжать?
Хватит пытаться доказать бредовую идею разлагая константу на два множителя (!) и дифференцируя их по частям (!!!!). Дифференциал константы — это ноль. ВСЕГДА НОЛЬ. Независимо от того на какие множители Вам взбредет его разложить.
В формуле А.1 величина P(f) есть мощность в диапазоне от 0 до f.
Из этого очевидно следует что упомянутая в формуле A.1 величина ET(f) плотностью не является и являться заведомо не может
Давайте теперь пойдем с обратной стороны. Пусть спектральная плотность мощности равномерна. Как тогда выглядит функция P(f) показывающая общую мощность в полосе шириной f? Правильный ответ тривиален: P(f) = p0*f. То бишь gamma=0. Чем больше полоса — тем больше мощность. А чем же тогда является случай gamma=1? Несложно заметить что он соответствует случаю P(f)=P0 — то есть ситуации в которой общая мощность сигнала в полосе частот от 0 до f не зависит от выбора f и является некоторой константой. Давайте теперь попробуем угадать, какая же мощность приходится на произвольную полосу частот от f1 до f2? Очевидно P(f1,f2) = P(f2)-P(f1) = P0-P0 = 0. Ой. То есть случай gamma = 1 соответствует отсутствию мощности у любых частот отличных от нуля. Дальше продолжать?
Хватит пытаться доказать бредовую идею разлагая константу на два множителя (!) и дифференцируя их по частям (!!!!). Дифференциал константы — это ноль. ВСЕГДА НОЛЬ. Независимо от того на какие множители Вам взбредет его разложить.
P(f) — зависимость мощности реализации процесса от частоты. Каждая реализация у рассматриваемого процесса состоит из одной гармоники. P(f) не привязана ни к какой полосе частот.
Аналогия с координатой и скоростью:
— спектральная плотность мощности по частоте Sf(f) – это скорость V(t);
— мощность в полосе частот P = интеграл(Sf(f)df) – это расстояние, пройденное за интервал времени S = интеграл(V(t)dt);
— зависимость мощности от частоты P(f) – это зависимость координаты от времени x(t).
Соответственно, если найти производную зависимости координаты от времени x’(t), то получим скорость V(t), если найти производную от P(f) по частоте P’(f), то получим спектр мощности по частоте Sf(f). Можно ещё найти производную от P(f) по периоду, то получим спектр мощности по периоду.
Если следовать Вашей логике, то x(t) не существует в принципе, а есть только скорость и расстояние, пройденное за интервал времени.
Я в чём-то ошибаюсь?
— спектральная плотность мощности по частоте Sf(f) – это скорость V(t);
— мощность в полосе частот P = интеграл(Sf(f)df) – это расстояние, пройденное за интервал времени S = интеграл(V(t)dt);
— зависимость мощности от частоты P(f) – это зависимость координаты от времени x(t).
Соответственно, если найти производную зависимости координаты от времени x’(t), то получим скорость V(t), если найти производную от P(f) по частоте P’(f), то получим спектр мощности по частоте Sf(f). Можно ещё найти производную от P(f) по периоду, то получим спектр мощности по периоду.
Если следовать Вашей логике, то x(t) не существует в принципе, а есть только скорость и расстояние, пройденное за интервал времени.
Я в чём-то ошибаюсь?
Аналогия с координатой и скоростью:
Аналогия совершенно верная
зависимость мощности от частоты P(f) – это зависимость координаты от времени x(t).
Просто зависимость координаты x(t) от времени (считая скорость неотрицательной) есть пройденный путь за время 0...t. Если мы, к примеру, прошли в момент t1 путь l1, затем в t2 l2, затем в t3 l3 и t1<t2<t3<t то x(t)=l1+l2+l3.
Так же и с мощностью — то что Вы дифференцируете должно быть суммой мощностей приходящихся на диапазон 0...f.
Давайте попробуем вернуться к азам теории интегрирования и дифференцирования. Возьмем три функции, которые я назову для простоты p1, p2 и p3
* p1(f) = первообразная, общая мощность приходящаяся на диапазон частот [0,f]
* p2(f) = dp1/df = lim_{df->0} (p1(f+df)-p1(f))/df — спектральная плотность мощности для частоты f
* p3(f) = p1(f+0)-p1(f-0) = lim_{df->0} (p1(f+df)-p1(f-df)) — мощность в частоте f
Это три разные функции — интеграл по мощности, плотность мощности, и ф-я показывающая «величину разрыва» интеграла по мощности в точке. Обратите внимание что заведомо p3 != p1 и p3 != p2.
Так вот, в Вашей исходной модели с генераторами P(f) — это p3(f), величина разрыва. Это не плотность и не первообразная. Вы же на разные лады пытаетесь подменить p3(f) на p1(f) и перейти к p2(f), что приведет к домножению p1 на 1/f и даст желаемый Вами «фликкер-шум». Так вот, такую подмену делать нельзя. p1(f) можно представить только в виде суммы из p3(f), но там ничего хорошего, как я Вам давным-давно написал, не получается.
Зависимость координаты x(t) от времени – это координата точки в момент времени t. Если в момент времени 0 координата x(0) = 1, а в момент времени t, координата не изменилась x(t) = 1, то пройденный путь равен 1? Чтобы найти пройденный путь по x(t) необходимо использовать формулу длины кривой:
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B9
Спектральная плотность мощности показывает скорость изменения мощности в точке f. Если эта скорость не равна нулю, то мощность сигнала в точке f будет отличаться от мощности в точке f+df. Соответственно, если спектральная плотность мощности отлична от нуля и равна константе, то это свидетельствует о росте мощности с увеличением частоты.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B9
Спектральная плотность мощности показывает скорость изменения мощности в точке f. Если эта скорость не равна нулю, то мощность сигнала в точке f будет отличаться от мощности в точке f+df. Соответственно, если спектральная плотность мощности отлична от нуля и равна константе, то это свидетельствует о росте мощности с увеличением частоты.
Соответственно, если спектральная плотность мощности отлична от нуля и равна константе, то это свидетельствует о росте мощности с увеличением частоты.
Все верно, если p2(f)=const то это свидетельствует о росте мощности с увеличением частоты.
Но Вы-то утверждаете что p1(f)=const, а в этом случае p2(f) = 0
Случай же p2(f)=const соответствует p1(f)=p0*f
Вы рассматриваете p1(f) как определённый интеграл в полосе частот от 0 до f.
Это всё равно, что рассматривать интеграл от скорости за время от 0 до t. Такой интеграл даст путь, пройденный за время t. Если брать неопределённый интеграл, то в точке t он будет равен координате, из которой вычтена константа. Можно и так сказать – производная от x(t) даёт функцию скорости V(t), соответственно неопределённый интеграл от скорости даёт зависимость положения от времени с вычтенной константой.
Если перейти к спектрам, то неопределённый интеграл от спектральной плотности мощности будет равен зависимости мощности от частоты и никакого отношения к какой-либо полосе частот она не будет иметь. Проблема в том, что такая зависимость никем никогда не применялась, хотя бы потому, что непонятен её физический смысл. Чтобы придать ей смысл, я и придумал процесс, каждая реализация которого состоит только из одной гармоники.
Если сигнал обладает равномерным спектром, то его производная (хоть по частоте, хоть по периоду) должна быть равна нулю. Этой производной как раз и является спектральная плотность мощности.
Это всё равно, что рассматривать интеграл от скорости за время от 0 до t. Такой интеграл даст путь, пройденный за время t. Если брать неопределённый интеграл, то в точке t он будет равен координате, из которой вычтена константа. Можно и так сказать – производная от x(t) даёт функцию скорости V(t), соответственно неопределённый интеграл от скорости даёт зависимость положения от времени с вычтенной константой.
Если перейти к спектрам, то неопределённый интеграл от спектральной плотности мощности будет равен зависимости мощности от частоты и никакого отношения к какой-либо полосе частот она не будет иметь. Проблема в том, что такая зависимость никем никогда не применялась, хотя бы потому, что непонятен её физический смысл. Чтобы придать ей смысл, я и придумал процесс, каждая реализация которого состоит только из одной гармоники.
Если сигнал обладает равномерным спектром, то его производная (хоть по частоте, хоть по периоду) должна быть равна нулю. Этой производной как раз и является спектральная плотность мощности.
Если перейти к спектрам, то неопределённый интеграл от спектральной плотности мощности
Поэтому я и не хочу брать неопределенный интеграл, а предпочитаю конкретную его реализацию определенную соотношением p1(0)=0.
никакого отношения к какой-либо полосе частот она не будет иметь
При указанном мною выборе реализации неопределенного интеграла это будет мощность в полосе частот от 0 до f. Вы вправе выбрать другую реализацию, но я не вижу причин не использовать именно эту — она равносильна любой другой и удобна в интерпретации
Проблема в том, что такая зависимость никем никогда не применялась, хотя бы потому, что непонятен её физический смысл
Я Вам уже раза четыре наверное сказал про физический смысл и он тривиален — мощность в полосе частот от 0 до f
Чтобы придать ей смысл, я и придумал процесс, каждая реализация которого состоит только из одной гармоники.
Еще раз, медленно, p1 != p3. Это черт возьми две совершенно разных вещи, хотя и с одинаковой размерностью
Если сигнал обладает равномерным спектром, то его производная (хоть по частоте, хоть по периоду) должна быть равна нулю
Производная чего? Спектра? Что является спектром? Обычно вообще-то спектром называют спектральную плотность p2(f) и «равномерный спектр» соответствует p2(f)=const.
Этой производной как раз и является спектральная плотность мощности.
Спектральная плотность мощности является производной кумулятивной ф-и распределения (первообразной) и последняя может быть константой только в случае если спектральная плотность мощности тождественно равна 0.
Поэтому я и не хочу брать неопределенный интеграл, а предпочитаю конкретную его реализацию определенную соотношением p1(0)=0.
Вы вправе не хотеть, на мою статью это не влияет.
При указанном мною выборе реализации неопределенного интеграла это будет мощность в полосе частот от 0 до f. Вы вправе выбрать другую реализацию, но я не вижу причин не использовать именно эту — она равносильна любой другой и удобна в интерпретации
Причину я много раз говорил — нужно уйти от мощности в полосе частот.
Я Вам уже раза четыре наверное сказал про физический смысл и он тривиален — мощность в полосе частот от 0 до f
Я Вам в который раз говорю, что неопределённый интеграл — это не мощность полосы от 0 до f.
Еще раз, медленно, p1 != p3. Это черт возьми две совершенно разных вещи, хотя и с одинаковой размерностью
У Вас p1(f) — это определённый интеграл, естественно, он не равен p3(f). Если p1(f) — неопределённый интеграл, то он будет являться мощностью реализации процесса с частотой f. Я, вроде, и аналогию с координатой точки привел, как ещё объяснять?
Производная чего? Спектра? Что является спектром? Обычно вообще-то спектром называют спектральную плотность p2(f) и «равномерный спектр» соответствует p2(f)=const.
Это уже хороший вопрос! Сигналом с равномерным спектром по определению является сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности, то есть сигнал, у которого на одинаковые полосы частот приходятся одинаковые мощности. У меня и возник вопрос, почему сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности по частоте является равномерным, если с тем же успехом можно по определению приравнять броуновский шум к сигналам с равномерным спектром, так как его спектральная плотность мощности по периоду равномерна. У частоты над периодом есть какое-то преимущество? Все привыкли использовать только равномерный шаг по частоте, так как он используется в преобразовании Фурье и все свои рассуждения привязывают к полосе частот.
Используя неопределённый интеграл, я ухожу от полос частот и получаю в итоге, что сигнал с равномерным спектром не является равномерным ни по частоте, ни по периоду, а по некоторой «средней» спектральной координате — натуральному логарифму частоты, который, кстати, равен по модулю натуральному логарифму периода.
Спектральная плотность мощности является производной кумулятивной ф-и распределения (первообразной) и последняя может быть константой только в случае если спектральная плотность мощности тождественно равна 0.
Причём здесь функция распределения?
У Вас p1(f) — это определённый интеграл, естественно, он не равен p3(f). Если p1(f) — неопределённый интеграл, то он будет являться мощностью реализации процесса с частотой f.
Послушайте, хватит фигней страдать. Неопределенный интеграл — это семейство функций вида f(x)+c где c — произвольная константа. У неопределенного интеграла НЕ БЫВАЕТ ВЫЧИСЛИМОГО ЗНАЧЕНИЯ В ТОЧКЕ. Потому что это СЕМЕЙСТВО ФУНКЦИЙ, блин. Потому он и НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ.
Вычислить же можно только определенный интеграл. Например последовав моему предложению.
Я, вроде, и аналогию с координатой точки привел, как ещё объяснять?
Ваша аналогия с координатой верна — напомню:
«соответственно неопределённый интеграл от скорости даёт зависимость положения от времени с вычтенной константой.»
Только, блин, чему равна эта константа? Ау? И понимаете ли вы что фиксирование этой константы определенным образом превращает неопределенный интеграл в определенный?
Это уже хороший вопрос! Сигналом с равномерным спектром по определению является сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности
Но Вы я так понимаю используете другое определение :D?
У частоты над периодом есть какое-то преимущество?
С частотой работать удобнее. Но вообще Вы страдаете здесь хренью, потому как задаетесь вопросом «почему сигнал спектральная плотность мощности которого равна константой называют сигналом с равномерным спектром». Да вот потому что назвали его так. Хоть картошкой могли бы назвать, хоть кактусом, название — это просто ярлычок привязанный к строго конкретному виду сигналов и единственная функция этого ярлычка — дать двум разным людям понять о чем конкретно идет речь. Вы же пытаетесь здесь прилепить ярлычок от одного процесса к заведомо другому потому что Вам так больше нравится. У Вас могут быть причины считать что так будет лучше, но подобный подход фундаментально противоречит назначению ярлычка — давать возможность разным людям понимать друг друга.
Используя неопределённый интеграл, я ухожу от полос частот и получаю в итоге, что сигнал с равномерным спектром не является равномерным ни по частоте, ни по периоду
Под «сигналом с равномерным спектром» здесь понимается «предел сигнала получаемого сложением N сигналов от генераторов со случайной частотой и одинаковой мощностью при N->inf». Так вот, еще раз, медленно и по буквам: предел этого сигнала имеет равномерный спектр по частоте — см. картинку:
Вы же берете p3(f), выдаете за p1(f) (!), дифференцируете ее (!!!) и получившийся результат выдаете за p2(f)
Что мешает просто взять и сопоставить спектральной плотности мощности некоторую непрерывную зависимость мощности от частоты P(f) (прошу заметить, что это не мощность в полосе от 0 до f, а именно зависимость мощности от частоты), производная от которой будет равна спектральной плотности мощности?
Если функция p1(f) в полосе частот от 0 до f равна const != 0 в каждой точке, то спектральная плотность мощности будет всюду равна нулю, при этом мощность самого сигнала будет равна const, которая может быть какой угодно, хоть бесконечной. Что это за сигнал такой, что обладает ненулевой мощностью и при этом его СПМ всюду равна нулю? Никакой ступеньки в нуле нет, поэтому нельзя сказать, что СПМ будет иметь дельта-функцию в нуле.
Можно обойтись без слов типа «фигней страдать», «Ау» и прочее, неприятно такое читать!
Если функция p1(f) в полосе частот от 0 до f равна const != 0 в каждой точке, то спектральная плотность мощности будет всюду равна нулю, при этом мощность самого сигнала будет равна const, которая может быть какой угодно, хоть бесконечной. Что это за сигнал такой, что обладает ненулевой мощностью и при этом его СПМ всюду равна нулю? Никакой ступеньки в нуле нет, поэтому нельзя сказать, что СПМ будет иметь дельта-функцию в нуле.
Можно обойтись без слов типа «фигней страдать», «Ау» и прочее, неприятно такое читать!
1. Любой определенный интеграл спектральной плотности p2(f) является суммой мощностей в соответствующем диапазоне частот. (тривиальные основы интегрального исчисления, заставляющие меня эмоционально выражаться насчет фигни)
2. (менее тривиально, функциональный анализ) Допустим что Вы взяли функцию p3(f) которая «просто равна мощности в точке f». Эта функция хорошо определена для конечной суммы источников сигнала. Возникает однако вопрос: если f не является ни одной из ранее выбранных частот, то чему равно p3(f)? Очевидно нулю (см. график выше). Но тогда p3(f)=0 почти всюду и более того, p3(f)=0 в любом из функциональных пространств. Поэтому при n->inf ф-я p3(f) сходится к нулю почти всюду и не может превратиться в ф-ю вида p3(f)=c
3. Если мы не собираемся оперировать отрицательными частотами, то все p1(f)=p2(f)=p3(f)=0 для любого f<0. Это естественно подразумевает ступеньку в нуле для p1(f) и дельта-функцию для p2(f)
2. (менее тривиально, функциональный анализ) Допустим что Вы взяли функцию p3(f) которая «просто равна мощности в точке f». Эта функция хорошо определена для конечной суммы источников сигнала. Возникает однако вопрос: если f не является ни одной из ранее выбранных частот, то чему равно p3(f)? Очевидно нулю (см. график выше). Но тогда p3(f)=0 почти всюду и более того, p3(f)=0 в любом из функциональных пространств. Поэтому при n->inf ф-я p3(f) сходится к нулю почти всюду и не может превратиться в ф-ю вида p3(f)=c
3. Если мы не собираемся оперировать отрицательными частотами, то все p1(f)=p2(f)=p3(f)=0 для любого f<0. Это естественно подразумевает ступеньку в нуле для p1(f) и дельта-функцию для p2(f)
Следует различать СПМ процесса и СПМ реализации процесса. Я рассматриваю процесс с непрерывным спектром, однако каждая реализация этого процесса обладает дискретным спектром, состоящим только из одной гармоники. Ближайший распространённый аналог – процесс, каждая реализация которого состоит из гармонического сигнала со случайной начальной фазой.
P(0 Гц) – мощность реализации с частотой 0 Гц, P(10 Гц) – мощность реализации с частотой 10 Гц и так далее. P(f) – мощность реализации процесса с частотой f, при этом сама P(f) является непрерывной функцией, так как мною изначально задано, что частота может принимать любое значение от нуля до бесконечности.
Спектральную плотность мощности неэргодического случайного процесса определяют усреднением по СПМ множества реализаций. Если рассмотреть мощность моего процесса в полосе частот от 0 до конечной f, то она будет равна средней мощности данной полосы всех реализаций, то есть равна нулю, так как в полосу частот от 0 до f попадает в бесконечное число раз меньшее количество гармоник, чем в полосу от f до бесконечности. Мощность в полосе частот от 0 до бесконечности равна P0, так как в этот диапазон частот попадают все реализации (мощность каждой реализации равна P0). Получается, что p1(f) рассматриваемого процесса равна нулю всюду, но имеет ступеньку на бесконечной частоте. Соответственно СПМ такого процесса также всюду равна нулю и обладает дельта-функцией на бесконечной частоте. Таким образом, рассматриваемый мною процесс обладает Sf(f) = 0, при этом его мощность равна P0.
Вы же думаете, что я рассматриваю сигнал, содержащий бесконечное число гармоник на всех частотах. Такой сигнал обладает либо бесконечной мощностью в любой полосе частот, либо все его гармоники должны обладать нулевой амплитудой.
P(0 Гц) – мощность реализации с частотой 0 Гц, P(10 Гц) – мощность реализации с частотой 10 Гц и так далее. P(f) – мощность реализации процесса с частотой f, при этом сама P(f) является непрерывной функцией, так как мною изначально задано, что частота может принимать любое значение от нуля до бесконечности.
Спектральную плотность мощности неэргодического случайного процесса определяют усреднением по СПМ множества реализаций. Если рассмотреть мощность моего процесса в полосе частот от 0 до конечной f, то она будет равна средней мощности данной полосы всех реализаций, то есть равна нулю, так как в полосу частот от 0 до f попадает в бесконечное число раз меньшее количество гармоник, чем в полосу от f до бесконечности. Мощность в полосе частот от 0 до бесконечности равна P0, так как в этот диапазон частот попадают все реализации (мощность каждой реализации равна P0). Получается, что p1(f) рассматриваемого процесса равна нулю всюду, но имеет ступеньку на бесконечной частоте. Соответственно СПМ такого процесса также всюду равна нулю и обладает дельта-функцией на бесконечной частоте. Таким образом, рассматриваемый мною процесс обладает Sf(f) = 0, при этом его мощность равна P0.
Вы же думаете, что я рассматриваю сигнал, содержащий бесконечное число гармоник на всех частотах. Такой сигнал обладает либо бесконечной мощностью в любой полосе частот, либо все его гармоники должны обладать нулевой амплитудой.
Уважаемый TVS, начнем с того что общеизвестно что белый шум имеет бесконечно большую мощность. Физически такого процесса не бывает, это просто математическое приближение которое аппроксимирует реальный шум. Дабы сразу пресечь попытки закричать «вы тут какую-то хрень изобрели, а мой шум физичен», замечу что мощность фликкер-шума точно так же бесконечна, а прекрасным сколь угодно близким физическим приближением белого шума является шум с равномерной спектральной плотностью в диапазоне [0,f] для достаточно большого f, равный нулю вне этого спектрального диапазона (для фликкер-шума подобное приближение, кстати, построить сложнее). К той же серии относится наблюдение что стационарные процессы вообще не физичны (любой стационарный процесс конечной мощности утилизирует бесконечно большую энергию :))
Перейдем, однако, к Вашей модели. Давайте попробуем для начала прикинуть каково будет распределение плотности вероятности встретить встретить процесс с моночастотой f? Но внезапно такой простой вопрос остается без ответа, поскольку распределение-то это должно быть равномерным по f, а интеграл от плотности по всем возможным частотам должен давать единицу. То есть плотность вероятности p(f) встретить частоту f, очевидно, в рамках озвучивавшейся Вами логики, тождественно равна нулю всюду, но интеграл по этой плотности «на бесконечности» дает единицу :). В этом месте Вам по идее должно бы начать приходить в голову что наблюдаемые странные проблемы со «спектральной мощностью» как-то связаны с тем что у используемого процесса есть некоторые проблемы с определением плотности вероятности по частоте :)
Едем однако дальше. Вторая бросающаяся в глаза странность состоит в том, что Ваш подход подразумевает что любое реальное измерение подобного шума должно будет показывать именно синусоиду, поскольку измерение случайного процесса должно давать одну из его реализаций. Но давайте попробуем выкрутиться и рассмотрим, скажем случайный процесс получающийся разбиением временной оси на случайные интервалы времени и взятием на каждом из этих интервалов своей собственной реализации описанного моносинусоидального процесса. Эдакий моногенератор фиксированной мощности с плавающей частотой скачкообразно меняющейся случайным образом в случайные моменты времени. Будет правда не совсем понятно почему именно подобная штука должна что-то хорошо аппроксимировать, но допустим на минуту что какая-то физическая модель хорошо описывается именно таким образом.
Попробуем теперь все-таки вычислить спектр нашего процесса. Первое наблюдение которое бросается в глаза состоит в том что нам неизвестны ни спектральная плотность p(f) процесса, ни плотность вероятности по частоте, ни первообразная по частоте. Почему Вы решили что можно взять не являющуюся даже вероятностью функцию P(f) и использовать её в качестве первообразной, дифференцирование которой даст спектральную мощность лично для меня — загадка. Как Вы верно заметили, наивный подход к усреднению просто приведет к плотности вероятности по частоте тождественно равной нулю и, следовательно, такому же тождественно нулевому спектру мощности.
Я опущу более строгое доказательство, но можно строго прийти к точно такому же результату рассматривая указанную модель со случайной ступенчатой перестройкой по частоте как предел некоторой последовательности конечных сигналов. Идея там вращается вокруг того что мощность любого сигнала конечной длительности в пределе оказывается равной нулю, а в рамках выбранной модели спектральные пики для отдельных частот перекрываться практически не будут.
Перейдем, однако, к Вашей модели. Давайте попробуем для начала прикинуть каково будет распределение плотности вероятности встретить встретить процесс с моночастотой f? Но внезапно такой простой вопрос остается без ответа, поскольку распределение-то это должно быть равномерным по f, а интеграл от плотности по всем возможным частотам должен давать единицу. То есть плотность вероятности p(f) встретить частоту f, очевидно, в рамках озвучивавшейся Вами логики, тождественно равна нулю всюду, но интеграл по этой плотности «на бесконечности» дает единицу :). В этом месте Вам по идее должно бы начать приходить в голову что наблюдаемые странные проблемы со «спектральной мощностью» как-то связаны с тем что у используемого процесса есть некоторые проблемы с определением плотности вероятности по частоте :)
Едем однако дальше. Вторая бросающаяся в глаза странность состоит в том, что Ваш подход подразумевает что любое реальное измерение подобного шума должно будет показывать именно синусоиду, поскольку измерение случайного процесса должно давать одну из его реализаций. Но давайте попробуем выкрутиться и рассмотрим, скажем случайный процесс получающийся разбиением временной оси на случайные интервалы времени и взятием на каждом из этих интервалов своей собственной реализации описанного моносинусоидального процесса. Эдакий моногенератор фиксированной мощности с плавающей частотой скачкообразно меняющейся случайным образом в случайные моменты времени. Будет правда не совсем понятно почему именно подобная штука должна что-то хорошо аппроксимировать, но допустим на минуту что какая-то физическая модель хорошо описывается именно таким образом.
Попробуем теперь все-таки вычислить спектр нашего процесса. Первое наблюдение которое бросается в глаза состоит в том что нам неизвестны ни спектральная плотность p(f) процесса, ни плотность вероятности по частоте, ни первообразная по частоте. Почему Вы решили что можно взять не являющуюся даже вероятностью функцию P(f) и использовать её в качестве первообразной, дифференцирование которой даст спектральную мощность лично для меня — загадка. Как Вы верно заметили, наивный подход к усреднению просто приведет к плотности вероятности по частоте тождественно равной нулю и, следовательно, такому же тождественно нулевому спектру мощности.
Я опущу более строгое доказательство, но можно строго прийти к точно такому же результату рассматривая указанную модель со случайной ступенчатой перестройкой по частоте как предел некоторой последовательности конечных сигналов. Идея там вращается вокруг того что мощность любого сигнала конечной длительности в пределе оказывается равной нулю, а в рамках выбранной модели спектральные пики для отдельных частот перекрываться практически не будут.
В конце статьи я добавил ещё одно приложение, интересно услышать Ваше мнение.
Построение остроумное, но не полное (технически если следовать описанию то будет лишь одна гармоника — f=T=1) к реальному шуму не имеющее никакого отношения — Вы просто неким произвольным образом выбрасываете гармоники.
но не полное
Более подробно в приложении В.
Возьмем непрерывное преобразование Фурье C(f) = \int_{-\inf}^{+\inf}s(t)exp(-j*ft)dt (здесь еще надо домножить на константу, ну не суть важно).
Доопределим теперь s1(t) = s(t) * I(t) где I(t) — это интервальная функция, равная 1 на (-T/2,T/2) и нулю вне этого интервала. C(s1)(f) = \int_{-T/2}^{+T/2}s(t)exp(-j*ft)dt — у такой функции интеграл уже определен на конечном отрезке
Наконец указанные Вами коэффициенты ряда Фурье Ck = C(k*w0), k=0,1,....- просто значения этой функции C(s1) в наборе равномерно распределенных точек
Почему вообще вычисляют Ck? Дело в том что для T-периодической функции s, C(s)(f) = C(s1)(f)*delta(x-f) для f=k*w0 и C(s)(f)=0 для всех остальных f. То есть спектр f состоит из набора дельта-функций стоящих с шагом k*w0 и этот спектр можно посчитать через подсчет C(s1) с интегрированием на конечном отрезке. Или что то же самое, f представима в виде суммы (ряда) Фурье с коэффициентами Ck.
Идея откуда и зачем возникают коэффициенты Ck понятна? Заметьте что шаг по частоте в выбранном спектре не случаен и тесно завязан на то что функция является T-периодической. В общем случае если периодичность не гарантирована интеграл придется брать на (-\inf,+inf). Коэффициенты Ck там впрочем тоже представляют интерес, но уже в силу теоремы Найквиста. Но там тоже нужна специальная функция (с ограниченным спектром), а метод восстановления оригинала по Ck совершенно иной — никакого ряда с коэффициентами Ck там уже не возникает
Едем теперь к Вашему примеру с дельта-функцией. И сходу замечаем два тривиальных соображения — дельта-функция не является ни периодической, ни обладает ограниченным спектром. Хотя при этом конечно C(delta)(f)=1 и C(delta * I)(f) = 1, так что формальный подсчет Ck даст для любого k единицу (константу). Но вот только, увы, ряд Фурье с этими коэффициентами \sum_k 1 * exp(-jwk) к дельта-функции, увы, не сойдется. Облом номер один
Далее пытаемся перейти к пределу с непрерывным спектром. Но здесь нас ждет облом номер два — у T-периодической функции спектр сосредоточен в точках с частотой k/T где k — целое число и это k/T ну никак, странным образом, на произвольную частоту f странным образом не обобщается. Шаг между соседними частотами строго равен 1/T где T-это период функции. Как Вы предлагаете от разрывного спектра лежащего на сетке со строго определенным шагом жестко заданным периодом функции перейти к непрерывному?
Далее делается еще более забавная вещь. Вместо того чтобы считать C(k*w0) Вы начинаете считать C(w0/k). Ну ок, Вы посчитаете C(f) в странно выбранном наборе точек, и что дальше? Это все равно будет спектр по частоте, просто посчитанный не в точках вида k*w0 а в точках вида w0/k. И естественно этот спектр отличается от «спектра по периоду», да :).
Дальше Вы довольно разумным образом рассуждаете про дискретные периодические функции, а затем… применяете эти выкладки к дельта-функции. Но, простите, дельта-функция НЕ является периодической. Вообще. Вот гребенка Дирака будет периодической, но вот только спектр гребенки Дирака уже не является константой как у одиночной дельта-функции :)
Далее там идет попытка все же взять гребенку Дирака, и сказать что
а) ее спектр состоит лишь из частот w0*k
б) соответствующие периоды это 1/(w0*k)
в) но гребенка Дирака периодична только с периодами вида k/w0
г) значит валидны только такие k для которых 1/(w0*k1) == k2/w0 для каких-то k1, k2.
Здесь однако Вы, как я уже сказал, упускаете то небольшое обстоятельство что w0 тут как ни крути сокращается и следовательно единственно возможные k1=k2=1 и стало быть гребенка Дирака — это то же что обычная синусоида :). Шутка. В реальности, как наверное Вы уже догадываетесь, эта логика не работает и причина тому довольно банальна: наличие в спектре функции частоты f не делает функцию 1/f-периодической и наоборот, у T-периодической функции может отсутствовать в спектре частота 1/T. К примеру функция sin(2x)+sin(3x) является 2pi-периодической, но не имеет в своем спектре частотной гармоники 1/2pi, зато имеет гармонику 3/2pi, хотя 2pi/3-периодической не является. Другими словами из б) и в) никак не следует г).
Утомился я с Вами, извините. Это неплохая разминка для ума, но она начала мне слегка надоедать в силу того что отнимает приличное количество времени
Доопределим теперь s1(t) = s(t) * I(t) где I(t) — это интервальная функция, равная 1 на (-T/2,T/2) и нулю вне этого интервала. C(s1)(f) = \int_{-T/2}^{+T/2}s(t)exp(-j*ft)dt — у такой функции интеграл уже определен на конечном отрезке
Наконец указанные Вами коэффициенты ряда Фурье Ck = C(k*w0), k=0,1,....- просто значения этой функции C(s1) в наборе равномерно распределенных точек
Почему вообще вычисляют Ck? Дело в том что для T-периодической функции s, C(s)(f) = C(s1)(f)*delta(x-f) для f=k*w0 и C(s)(f)=0 для всех остальных f. То есть спектр f состоит из набора дельта-функций стоящих с шагом k*w0 и этот спектр можно посчитать через подсчет C(s1) с интегрированием на конечном отрезке. Или что то же самое, f представима в виде суммы (ряда) Фурье с коэффициентами Ck.
Идея откуда и зачем возникают коэффициенты Ck понятна? Заметьте что шаг по частоте в выбранном спектре не случаен и тесно завязан на то что функция является T-периодической. В общем случае если периодичность не гарантирована интеграл придется брать на (-\inf,+inf). Коэффициенты Ck там впрочем тоже представляют интерес, но уже в силу теоремы Найквиста. Но там тоже нужна специальная функция (с ограниченным спектром), а метод восстановления оригинала по Ck совершенно иной — никакого ряда с коэффициентами Ck там уже не возникает
Едем теперь к Вашему примеру с дельта-функцией. И сходу замечаем два тривиальных соображения — дельта-функция не является ни периодической, ни обладает ограниченным спектром. Хотя при этом конечно C(delta)(f)=1 и C(delta * I)(f) = 1, так что формальный подсчет Ck даст для любого k единицу (константу). Но вот только, увы, ряд Фурье с этими коэффициентами \sum_k 1 * exp(-jwk) к дельта-функции, увы, не сойдется. Облом номер один
Далее пытаемся перейти к пределу с непрерывным спектром. Но здесь нас ждет облом номер два — у T-периодической функции спектр сосредоточен в точках с частотой k/T где k — целое число и это k/T ну никак, странным образом, на произвольную частоту f странным образом не обобщается. Шаг между соседними частотами строго равен 1/T где T-это период функции. Как Вы предлагаете от разрывного спектра лежащего на сетке со строго определенным шагом жестко заданным периодом функции перейти к непрерывному?
Далее делается еще более забавная вещь. Вместо того чтобы считать C(k*w0) Вы начинаете считать C(w0/k). Ну ок, Вы посчитаете C(f) в странно выбранном наборе точек, и что дальше? Это все равно будет спектр по частоте, просто посчитанный не в точках вида k*w0 а в точках вида w0/k. И естественно этот спектр отличается от «спектра по периоду», да :).
Дальше Вы довольно разумным образом рассуждаете про дискретные периодические функции, а затем… применяете эти выкладки к дельта-функции. Но, простите, дельта-функция НЕ является периодической. Вообще. Вот гребенка Дирака будет периодической, но вот только спектр гребенки Дирака уже не является константой как у одиночной дельта-функции :)
Далее там идет попытка все же взять гребенку Дирака, и сказать что
а) ее спектр состоит лишь из частот w0*k
б) соответствующие периоды это 1/(w0*k)
в) но гребенка Дирака периодична только с периодами вида k/w0
г) значит валидны только такие k для которых 1/(w0*k1) == k2/w0 для каких-то k1, k2.
Здесь однако Вы, как я уже сказал, упускаете то небольшое обстоятельство что w0 тут как ни крути сокращается и следовательно единственно возможные k1=k2=1 и стало быть гребенка Дирака — это то же что обычная синусоида :). Шутка. В реальности, как наверное Вы уже догадываетесь, эта логика не работает и причина тому довольно банальна: наличие в спектре функции частоты f не делает функцию 1/f-периодической и наоборот, у T-периодической функции может отсутствовать в спектре частота 1/T. К примеру функция sin(2x)+sin(3x) является 2pi-периодической, но не имеет в своем спектре частотной гармоники 1/2pi, зато имеет гармонику 3/2pi, хотя 2pi/3-периодической не является. Другими словами из б) и в) никак не следует г).
Утомился я с Вами, извините. Это неплохая разминка для ума, но она начала мне слегка надоедать в силу того что отнимает приличное количество времени
Чтобы Вас сильно не утомлять, я прокомментирую только самый важный пункт Вашего ответа.
Фактически, Вы соглашаетесь с тем, что периодический дискретный во временной области сигнал обладает логарифмической сеткой частот:
— Спектр периодического сигнала определён только в точках
fn = Δf * n, где n – целое число, Δf – частотный шаг.
— Спектр дискретного сигнала определён только в точках
fm = (1 / Tm) = (1 / (Δt * m)), где m – целое число, Δt – шаг дискретизации.
— Спектр дискретного периодического сигнала определён только в точках fn == fm или (Δf * n) == 1 / (Δt * m).
Если Δf = 1, Δt = 1, то n = 1; m = 1.
Если Δf = 0,5, Δt = 0,5, то n = 1, 2, 4; m = 4, 2, 1.
Если Δf = 0,25, Δt = 0,25, то n = 1, 2, 4, 8, 16; m = 16, 8, 4, 2, 1.
Если Δf -> 0, Δt -> 0, то n и m принимают бесконечное число значений с равномерным логарифмическим шагом:
n = (2 ^ x), где x = 0, 1, 2, 3,… inf,
m = (2 ^ y), где y = inf, … 3, 2, 1, 0.
Устремляя Δf и Δt к нулю, мы переходим от дискретного периодического сигнала к непрерывному непериодическому сигналу, при этом частотный шаг остаётся логарифмическим.
Дальше Вы довольно разумным образом рассуждаете про дискретные периодические функции
Фактически, Вы соглашаетесь с тем, что периодический дискретный во временной области сигнал обладает логарифмической сеткой частот:
— Спектр периодического сигнала определён только в точках
fn = Δf * n, где n – целое число, Δf – частотный шаг.
— Спектр дискретного сигнала определён только в точках
fm = (1 / Tm) = (1 / (Δt * m)), где m – целое число, Δt – шаг дискретизации.
— Спектр дискретного периодического сигнала определён только в точках fn == fm или (Δf * n) == 1 / (Δt * m).
Если Δf = 1, Δt = 1, то n = 1; m = 1.
Если Δf = 0,5, Δt = 0,5, то n = 1, 2, 4; m = 4, 2, 1.
Если Δf = 0,25, Δt = 0,25, то n = 1, 2, 4, 8, 16; m = 16, 8, 4, 2, 1.
Если Δf -> 0, Δt -> 0, то n и m принимают бесконечное число значений с равномерным логарифмическим шагом:
n = (2 ^ x), где x = 0, 1, 2, 3,… inf,
m = (2 ^ y), где y = inf, … 3, 2, 1, 0.
Устремляя Δf и Δt к нулю, мы переходим от дискретного периодического сигнала к непрерывному непериодическому сигналу, при этом частотный шаг остаётся логарифмическим.
Фактически, Вы соглашаетесь с тем, что периодический дискретный во временной области сигнал обладает логарифмической сеткой частот:
Любой периодический во временной области сигнал обладает сеткой частот вида k/T где T — это период. Значения вне этой сетки равны нулю, на сетке _могут_ быть не-нулевыми. Что такое «логарифмическая сетка частот»?
Δf – частотный шаг.
Неверно. Δf = 1/T где T — это период. Причем это соотношение не говорит что в значениях частоты kΔf что-то будет для всех k, только что _вне_ этих частот точно ничего не будет. Поэтому хотя T конечно можно домножать на любую константу, «устремляя Δf к нулю», но смысла в этом никакого — ненулевые значения все равно определяются максимально жесткой сеткой, а она соответствует минимально возможному T.
Спектр дискретного сигнала определён только в точках
fm = (1 / Tm) = (1 / (Δt * m)), где m – целое число, Δt – шаг дискретизации
Это абсолютно неверный тезис. Дискретный сигнал может (и обычно будет) обладать непрерывным спектром. Дискретный периодический сигнал как и любой периодический будет иметь дискретный спектр, да, но шаг между не-нулевыми значениями в этом спектре будет определен периодом функции T и «устремить его к нулю» не удастся
Это абсолютно неверный тезис.
Известно, что если дискретный сигнал обладает частотой дискретизации fd, то он может содержать в себе любые частоты от 0 до fd/2. Значит, если сигнал имеет частоту дискретизации 10 Гц, то он может содержать в себе любые частоты от 0 до 5 Гц. Теперь, если Вас не затруднит, нарисуйте, пожалуйста, дискретный периодический сигнал с частотой 1,5 Гц и частотой дискретизации fd = 10 Гц и докажите, что его частота 1,5 Гц.
Чего там рисовать? Это синус и будет sin(3pi*x) дискретизованный с шагом 0.1. Вы не очень удачную частоту для своего примера выбрали, сигнал там будет каждые 30 отсчетов повторяться, все скучно. Возьмите что-нибудь трансцедентное если хотите интересный пример, например частоту в e герц (e=2.73...). Получившийся дискретный сигнал никогда не будет повторяться (все отчеты будут разными) и в то же время он будет иметь частоту в e герц
Получившийся дискретный сигнал никогда не будет повторяться (все отчеты будут разными) и в то же время он будет иметь частоту в e герц
Если сигнал никогда не повторяется, то он непериодический и его частота 0 Гц, или я что-то не так понимаю?
А с чего Вы взяли что дискретизованная синусоида будет периодическим сигналом :)?
Дискретизованный с частотой df сигнал синусоиды с частотой f помимо основных частот f и -f имеет в спектре так же бесконечную серию частотных копий вида f + n*df и -f * n*df где n — целое число. Два пика непрерывного спектра дискретизация сигнала копирует бесконечное число раз по спектру. Один из простых способов понять почему это так состоит в простом наблюдении что при частоте дискретизации df два разных исходных сигнала с частотами f и f + df дискретизуются в идентичный дискретизованный сигнал. Смотрите: мы меряем сигнал в точках t = n/df где n — целое число, исходные функции выглядят как
a) sin( 2pi*f*t) и b) sin( 2pi*(f+df)*t )
Подставляем t, раскрываем скобки:
a_n = sin( 2pi*(f/df)*n )
b_n = sin( 2pi*(f/df+1)*n ) = sin( 2pi*(f/df)*n +2pi*n ) = sin( 2pi*(f/df)*n ) = a_n
А раз у нас в спектре не одна частота f, а целая серия, то период должен быть совпадающим для всех частот в этой серии. Для этого f*T должно быть целым числом и df*T тоже целым. В примере выше с f=1.5 Гц и df=10 Гц минимальным T удовлетворяющим этому условию является T=2, следовательно период у дискретизованного синуса будет равен 2 секундам или (df=10) 20 отсчетам (заметьте кстати что я выше по тексту ошибся :) )… В случае если df/f иррационально, такого Т не существует и ДИСКРЕТНАЯ версия синуса не периодична.
Дискретизованный с частотой df сигнал синусоиды с частотой f помимо основных частот f и -f имеет в спектре так же бесконечную серию частотных копий вида f + n*df и -f * n*df где n — целое число. Два пика непрерывного спектра дискретизация сигнала копирует бесконечное число раз по спектру. Один из простых способов понять почему это так состоит в простом наблюдении что при частоте дискретизации df два разных исходных сигнала с частотами f и f + df дискретизуются в идентичный дискретизованный сигнал. Смотрите: мы меряем сигнал в точках t = n/df где n — целое число, исходные функции выглядят как
a) sin( 2pi*f*t) и b) sin( 2pi*(f+df)*t )
Подставляем t, раскрываем скобки:
a_n = sin( 2pi*(f/df)*n )
b_n = sin( 2pi*(f/df+1)*n ) = sin( 2pi*(f/df)*n +2pi*n ) = sin( 2pi*(f/df)*n ) = a_n
А раз у нас в спектре не одна частота f, а целая серия, то период должен быть совпадающим для всех частот в этой серии. Для этого f*T должно быть целым числом и df*T тоже целым. В примере выше с f=1.5 Гц и df=10 Гц минимальным T удовлетворяющим этому условию является T=2, следовательно период у дискретизованного синуса будет равен 2 секундам или (df=10) 20 отсчетам (заметьте кстати что я выше по тексту ошибся :) )… В случае если df/f иррационально, такого Т не существует и ДИСКРЕТНАЯ версия синуса не периодична.
А с чего Вы взяли что дискретизованная синусоида будет периодическим сигналом :)?
Дискретные синусы и косинусы являются базисными функциями дискретного преобразования Фурье. Так как определяется спектр как функция частоты, то базисные функции должны быть периодическими.
Спектр – это зависимость некоторого параметра (например, амплитуды), являющегося коэффициентом разложения в ряд Фурье по некоторому базису от частоты базисной функции.
В случае дискретного преобразования Фурье базисными функциями являются дискретные синусы и косинусы. Частоты таких базисных функций могут принимать только значения, равные 1 / (n * Td), где Td – период дискретизации. Соответственно, спектр в базисе таких функций будет определён только в точках 1 / (n * Td).
Дискретные синусы и косинусы являются базисными функциями дискретного преобразования Фурье.
Верно
Так как определяется спектр как функция частоты, то базисные функции должны быть периодическими.
Тоже верно. Вы только одну мааааленькую деталь упускаете — базисные функции ДПФ являются не произвольными дискретными синусами и косинусами, а дискретными синусами и косинусами со строго определенными частотами согласованными с частотой дискретизации.
Сумма конечного количества подобных базисных функций тоже будет периодической, но вот для бесконечного ряда Фурье это уже неверно. Схожим образом последовательность рациональных чисел может сколь угодно точно приближать любое действительное число, но предел этой последовательности не обязательно будет рациональным.
Частоты таких базисных функций могут принимать только значения, равные 1 / (n * Td), где Td – период дискретизации. Соответственно, спектр в базисе таких функций будет определён только в точках 1 / (n * Td).
Неверно. Вы плохо понимаете что есть два РАЗНЫХ пространства:
1) функциональное пространство (ну, скажем, L2) где определены непрерывные во времени сигналы
2) пространство дискретизованных последовательностей (скажем l2 — эль-маленькое, в отличие от эль-большого)
Синусы-косинусы определены в пространстве (1) которое является в определенном смысле «большим» по размеру чем пространство (2). Дискретизацией пространство (1) можно спроецировать на пространство (2), но при этом разные функции могут проецироваться на одинаковые последовательности. В частности, как я Вам уже написал, sin( 2pi*f*t ) и sin( 2pi*(f+df*n)*t ) проецируются на одну и ту же последовательность для любого n. Из этого очевидно следует что понятие «частоты» для пространства (2) плохо определено, поскольку одной и той же последовательности можно сопоставить как частоту f, так и f+df*n. Это явление называется алиасингом и существует теорема, которая гласит что алиасинг — это единственная проблема мешающая по проекции (2) восстановить исходную функцию из пространства (1). Если неоднозначность которую порождает алиасинг разрешить по какому-то правилу (например классическому ограничению спектра половиной частоты дискретизации |f|<df/2), то удастся восстановить исходный сигнал.
Во-первых, Вы плохо понимаете что есть два РАЗНЫХ пространства
Покажите, пожалуйста, из чего конкретно Вы сделали такой вывод, я хочу знать, где я плохо понимаю.
В данном случае я рассматриваю только дискретные сигналы и дискретные пространства.
Это явление называется алиасингом и существует теорема, которая гласит что алиасинг
Причём здесь наложение спектров? Я говорю про то, что некоторые частоты невозможно получить при заданном шаге дискретизации (причём эти частоты меньше частоты Найквиста), а Вы мне про то, что частоты выше частоты Найквиста неправильно воспринимаются и восстановление сигналов, как это связано?
Как я понял, Вы не согласны с тем, что базисные функции ДПФ могут принимать только значения, равные 1 / (n * Td).
Допустим периодический дискретный сигнал имеет период T0 = 2 с и частоту дискретизации fd = 4 Гц. Так как сигнал дискретный, то его спектр ограничивается частотой 2 Гц. Так как сигнал при этом периодический, то его спектр дискретный и может состоять только из частот:
f = 0,5; 1; 1,5; 2 Гц.
Сигнал может содержать такие и только такие частоты по следующим причинам:
1) Разложение в ряд Фурье подразумевает разложение сигнала по ортогональному базису, то есть каждая спектральная составляющая несёт в себе уникальную информацию и взаимная мощность всех базисных функций равна нулю.
2) Рассматриваемый сигнал можно разложить по всем частотам от 0 до бесконечности, но базисные функции ДПФ только с частотами из ряда f будут ортогональными. Если, например, сказать что данный сигнал имеет в спектре частоту 5 Гц, так как fd + 1 Гц = 5 Гц, то это означает включение в базис неортогональной функции.
Когда Вы говорите про то, что дискретный сигнал содержит в спектре бесконечное множество копий спектра, то Вы говорите про непрерывный сигнал (полученный из дискретного с предположением, что между отсчётами сигнал принимает какое-то значение), спектр которого найден в базисе непрерывных тригонометрических функций. Одному дискретному сигналу можно сопоставить бесконечное множество различных непрерывных сигналов с различными спектрами и каждый из них будет правильным.
Если подставить частоты из ряда f в базисные функции ДПФ, то частоты базисных функций не будут совпадать со значениями из ряда f:
fбф = 0,5; 1; 0,5; 2 Гц.
В соответствии с определением, спектр – это зависимость некоторого параметра от частоты базисной функции, получается, что спектр рассматриваемого сигнала определён только на частотах 0,5; 1; 2 Гц. Получить частоту 1,5 Гц при данных условиях невозможно, как тогда можно утверждать, что спектр в базисе таких функций определён на частоте 1,5 Гц? Или я выбираю какую-то неправильную частоту дискретизации и период сигнала?
Почему неверно, я так и не увидел.
Допустим периодический дискретный сигнал имеет период T0 = 2 с и частоту дискретизации fd = 4 Гц. Так как сигнал дискретный, то его спектр ограничивается частотой 2 Гц.
Нет. Любой дискретный сигнал отличный от нуля имеет бесконечный спектр. Например 10-Гц дискретизация синуса с частотой 2 Гц дает сигнал в котором есть все частоты вида 10n±2 Гц для любого целого n. Там есть 8 Гц. Там есть 22 Гц. 38. -18.
Теорема Найквиста говорит не то что после дискретизации остаются частоты не выше f/2. Теорема говорит что ЕСЛИ ДО ДИСКРЕТИЗАЦИИ в сигнале были частоты не выше df/2, то по дискретизированному сигналу МОЖНО ВОССТАНОВИТЬ исходный сигнал. Вчитайтесь в эту формулировку до полного просветления. Причины почему эта теорема верна я Вам уже объяснил (алиасинг).
Так как сигнал при этом периодический, то его спектр дискретный и может состоять только из частот:
f = 0,5; 1; 1,5; 2 Гц.
… а так же. 2.5 Гц, 3 Гц и сколь угодно далеко далее по списку
Когда Вы говорите про то, что дискретный сигнал содержит в спектре бесконечное множество копий спектра, то Вы говорите про непрерывный сигнал
Неверно. Я говорю именно про дискретный сигнал. В исходном непрерывном-то как раз бесконечного множества копий не было, а вот в дискретизованном они появились. А «восстановление непрерывного сигнала» как раз и состоит в устранении лишних копий и возврату к сигналу с ограниченным спектром.
Техническое пояснение: дискретизация — это (поточечное) умножение исходной функции на гребенку Дирака в частотной области. На выходе получаем гребенку Дирака модулированную исходным сигналом — это и есть, с математической точки зрения, дискретизованный сигнал. В частотной эта же операция соответствует свертке исходного спектра с спектром гребенки Дирака, а поскольку этот спектр — это тоже гребенка Дирака, только с другим шагом, то подобная свертка порождает бесконечную серию копий исходного спектра.
Одному дискретному сигналу можно сопоставить бесконечное множество различных непрерывных сигналов с различными спектрами и каждый из них будет правильным.
Да, в силу алиасинга. А вот если у нас есть способ алиасинг разрешить (например знанием что исходный сигнал не содержит частот выше df/2), то дискретному сигналу будет соответствовать РОВНО ОДИН сигнал в исходном функциональном пространстве (и он, к слову, совершенно не обязан быть непрерывным). В том и прелесть.
Рассматриваемый сигнал можно разложить по всем частотам от 0 до бесконечности, но базисные функции ДПФ только с частотами из ряда f будут ортогональными.
Это неверно. Любые дискретизованные синусы ортогональны. Базис ДПФ отличается от базиса обычного ПФ только тем что в базисе ПФ будут все возможные частоты, а в ДПФ только частоты (до дискретизации) не выше df/2 и только потому что «синус 1 Гц» и «синус 5 Гц» из Вашего примера после дискретизации являются одной и той же дискретизованной функцией.
Ваши ключевые ошибки:
1) Вы рассматриваете определенный подкласс функций (в примере с рядом f — это функции с периодом T=2 сек), делаете относительно них какие-то верные предположения, а затем с чего-то вдруг начинаете эти утверждения применять к ЛЮБЫМ функциям.
2) Считаете что ортогональный базис ДПФ содержит только дискретизованные синусы с определенным рядом частот (кстати, какими?)
3) Считаете что дискретизованный сигнал содержит лишь частоты не выше df/2
4) Считаете что для дискретизованного сигнала вообще можно определить понятие «частоты»
5) Невнимательны в собственных выкладках — вначале у Вас «f = 0,5; 1; 1,5; 2 Гц.», а затем ожесточенно доказываете что 1.5 Гц там не может быть никак :)
В случае дискретного преобразования Фурье базисными функциями являются дискретные синусы и косинусы. Частоты таких базисных функций могут принимать только значения, равные 1 / (n * Td), где Td – период дискретизации
Перечитал свой предыдущий коммент и понял что в запале спора с Вами налажал :)
Заболтали Вы меня своей периодичностью :).
Уточняю
1. Базис ДПФ (точнее ДТПФ — дискретное по времени преобразование Фурье) содержит не только периодические функции
2. Апериодической дискретизованной функции прекрасно себе может быть сопоставлена периодическая непрерывная (и наоборот)
3. А вот базис дискретизированной функции которая осталась после дискретизации периодической (и следовательно до дискретизации тоже обладала определенными специальными свойствами) действительно будет иметь строго определенный вид. Это верно например для конечной последовательности («просто» ДПФ).
Так что
Так как определяется спектр как функция частоты, то базисные функции должны быть периодическими.
В корне неверно. Извините за ошибку.
1. Базис ДПФ (точнее ДТПФ — дискретное по времени преобразование Фурье) содержит не только периодические функции
Я с этим не спорю. Базис ДПФ может содержать непериодические функции, и частота этих функций равна нулю. Отсюда следует, что нулевой частоте может соответствовать несколько базисных функций, так же как и другим частотам могут соответствовать несколько базисных функций.
Я не понимаю, с чем именно Вы не согласны:
1) С тем, что спектр является зависимостью некоторого параметра от частоты базисной функции?
2) С тем, что частота базисной функции ДПФ принимает только значения
fб.ф. = 1 / (Td * n)?
3) С чем-то другим?
Я с этим не спорю. Базис ДПФ может содержать непериодические функции, и частота этих функций равна нулю.
Чего? Что за бред? Частота дискретной функции из базиса ДПФ = частота соответствующего непрерывного прообраза. Если Вы возьмете sin( e * x ), и дискретизуете его, то получите базисную функцию ДПФ с частотой e/2pi+df*n, а вовсе не ноль. Естественно пункт 2) неверен.
Далее, спектр — это просто результат преобразования Фурье, не больше и не меньше. Ему можно дать удобную трактовку через частоту, но не наоборот. Поэтому пункт 1) тоже неверен, хотя что Вы в нем хотели сказать я так до конца и не понял
Чего? Что за бред?
Бред – это расстройство мышления. Без оскорблений нельзя обойтись? Давайте я с Вами также разговаривать начну!
Частота дискретной функции из базиса ДПФ = частота соответствующего непрерывного прообраза.
Что за расстройство мышления? Ваше утверждение опровергается элементарно, достаточно просто сравнить частоту дискретной функции из базиса ДПФ и частоту соответствующей ей непрерывной функции, и они оказываются разными.
Если Вы возьмете sin( e * x ), и дискретизуете его, то получите базисную функцию ДПФ с частотой e/2pi+df*n, а вовсе не ноль.
Что за бред? Где обоснование? И что значит n? Я знаю, что Вы ответите: после дискретизации появляется бесконечное число копий и т.д. (всё это я прекрасно понимаю). Только это опять непрерывный сигнал, а не дискретный. Вы вообще понимаете, что представляя дискретный сигнал в виде суммы смещённых дельта-функций, Вы делаете его непрерывным? И кто из нас после этого плохо различает дискретные и непрерывные сигналы?
Естественно пункт 2) неверен.
Что такое «естественно»? Это такое универсальное слово, которое заменяет обоснование?
Далее, спектр — это просто результат преобразования Фурье, не больше и не меньше. Ему можно дать удобную трактовку через частоту, но не наоборот. Поэтому пункт 1) тоже неверен, хотя что Вы в нем хотели сказать я так до конца и не понял
Более подробно, что я хотел сказать – если вместо гармонических функций в качестве базисных используются другие функции, то аргументом спектра, получаемого в базисе таких функций является их частота, а не частота гармонических функций. Если в качестве базисной функции используются дискретные синусы, то в качестве аргумента должна использоваться частота дискретного синуса, а не частота какого-то там «прообраза».
Вообще замечательный принцип: «Я не понял о чём речь, но всё равно неправильно».
Ваше утверждение опровергается элементарно, достаточно просто сравнить частоту дискретной функции из базиса ДПФ и частоту соответствующей ей непрерывной функции, и они оказываются разными.
Одинаковыми с точностью до алиасинга. С чего Вы взяли обратное?
Что за бред? Где обоснование?
Исходная функция до дискретизации имела спектр с пиком на частоте e/2pi. После дискретизации этот пик останется.
И что значит n?
Любое целое число
Только это опять непрерывный сигнал, а не дискретный
Самый что ни на есть дискретный сигнал. Что по Вашему есть «дискретный сигнал»?
й. Вы вообще понимаете, что представляя дискретный сигнал в виде суммы смещённых дельта-функций, Вы делаете его непрерывным?
Дельта-функция не является непрерывной. В остальном я понимаю что Вы хотите сказать, но это неверно. Дельта-поезд это одно из равнозначных представлений дискретизованного сигнала, удобное тем что для него наглядно совпадают определение преобразование Фурье для непрерывного и дискретного времени — хорошо видно откуда собственно формулы для «фурье дискретного времени» возникают и какими свойствами соответствующее преобразование обладает
Более подробно, что я хотел сказать – если вместо гармонических функций в качестве базисных используются другие функции, то аргументом спектра, получаемого в базисе таких функций является их частота, а не частота гармонических функций
Я уже говорил что модель здесь тривиальна — «дискретные сигналы» можно рассматривать как подпространство непрерывных. Дискретизация есть оператор проецирования из непрерывного пространства на дискретное, с точностью до определенных ограничений на исходные функции существует и обратный оператор. Преобразование Фурье дискретного времени есть просто естественная проекция непрерывного преобразования Фурье на это подпространство. Точно так же можно спроецировать и базис и он останется «гармоническими функциями», только последние станут дискретизованными
Если в качестве базисной функции используются дискретные синусы, то в качестве аргумента должна использоваться частота дискретного синуса,
Что такое «частота дискретного синуса»? Вы изобрели какое-то свое определение? Ну так дайте же уже его тогда, потому как все известные мне до Вас люди понимали под «частотой дискретного синуса» частоту его непрерывного прообраза, что естественно в силу возможности рассмотрения ПФДТ как проекции ПФ на подпространство дискретизованных последовательностей.
а не частота какого-то там «прообраза»
При этом главная проблема Вашего определения — то что для него, естественно, не работает ни одно из свойств преобразования Фурье (ибо оно определено именно в том смысле о котором говорю я). Но Вы нимало не смущаясь применяете свойства определенные для обычного преобразования Фурье к спектру собственного изобретения
Вообще замечательный принцип: «Я не понял о чём речь, но всё равно неправильно».
Вообще замечательный принцип. «Я изобрету свое собственное определение частоты, не стану об этом говорить, возьму затем теорию которая создана для стандартного определения частоты, применю ее к собственному изобретению, получу хреновые результаты, а затем буду возмущаться что кто-то меня не понял и имел наглость сказать что я какую-то чушь использую в своих выкладках»
Если функция s(t) является периодической, то для неё можно записать следующее равенство:
s(t) = s(t + 1/f), где f – частота.
Вы знаете другое определение частоты функции?
Если функция является дискретной, то она определена только в точках t = Δt * m, где m – целое число, Δt – шаг дискретизации.
Базисные функции для непрерывного преобразования Фурье:
f1(t) = cos(2πft) + j * sin(2πft).
В данном случае f является частотой функции f1(t).
Базисные функции для дискретного во времени преобразования Фурье:
f2(t) = cos(2πf(Δt * m)) + j * sin(2πf(Δt * m)).
В данном случае параметр f уже не является частотой функции f2(t).
Если спектр найден в базисе функций f2(t), то он не является зависимостью коэффициента разложения от частоты, а является зависимостью от некоторого параметра f.
Никаких новых спектров я не изобретаю, а просто пытаюсь показать, что результат ДПФ не является частотным спектром дискретного во времени сигнала. С тем, что спектр (который не является частотным), полученный в результате ДПФ, совпадает с частотным спектром соответствующего непрерывного сигнала (при условии, что в нём нет частот выше частоты Найквиста), я не спорю.
Сам по себе дискретный сигнал не может иметь период, некратный периоду дискретизации в соответствии с определением периодической функции, так же как и дискретная базисная функция.
Я в чём-то ошибаюсь?
s(t) = s(t + 1/f), где f – частота.
Вы знаете другое определение частоты функции?
Если функция является дискретной, то она определена только в точках t = Δt * m, где m – целое число, Δt – шаг дискретизации.
Базисные функции для непрерывного преобразования Фурье:
f1(t) = cos(2πft) + j * sin(2πft).
В данном случае f является частотой функции f1(t).
Базисные функции для дискретного во времени преобразования Фурье:
f2(t) = cos(2πf(Δt * m)) + j * sin(2πf(Δt * m)).
В данном случае параметр f уже не является частотой функции f2(t).
Если спектр найден в базисе функций f2(t), то он не является зависимостью коэффициента разложения от частоты, а является зависимостью от некоторого параметра f.
Никаких новых спектров я не изобретаю, а просто пытаюсь показать, что результат ДПФ не является частотным спектром дискретного во времени сигнала. С тем, что спектр (который не является частотным), полученный в результате ДПФ, совпадает с частотным спектром соответствующего непрерывного сигнала (при условии, что в нём нет частот выше частоты Найквиста), я не спорю.
Сам по себе дискретный сигнал не может иметь период, некратный периоду дискретизации в соответствии с определением периодической функции, так же как и дискретная базисная функция.
Я в чём-то ошибаюсь?
Если функция s(t) является периодической, то для неё можно записать следующее равенство:
Проще говоря, Ваша частота — это частота ПОВТОРЕНИЯ сигнала.
Вы знаете другое определение частоты функции?
В контексте непрерывного преобразования Фурье, частота в чистом виде определена только для синусоидальных сигналов. Например последовательность прямоугольных импульсов может быть периодической, но при этом нельзя сказать что эта последовательность имеет частоту 1/T где T — период.
В контексте дискретного преобразования Фурье «чистой» частоты не бывает, но в определенных условиях дискретным сигналам можно взаимно-однозначно сопоставить непрерывные и в рамках этого сопоставления естественно сопоставить дискретизованной синусоиде частоту ее прообраза.
В данном случае параметр f уже не является частотой функции f2(t).
В рамках нехитрых ограничений прекрасно себе является. Причем Вы с чего-то вдруг дальше пытаетесь выводить что в базисе находятся только строго определенные f. Это не так — все разные f (с поправкой на алиасинг) дают разные базисные функции
Никаких новых спектров я не изобретаю, а просто пытаюсь показать, что результат ДПФ не является частотным спектром дискретного во времени сигнала.
Что такое «частотный спектр дискретного по времени сигнала»?
Я уже предлагал простенький пример: f(x)=sin(2pi*x)+sin(3pi*x)
Нетрудно проверить что период этого сигнала T=2 с
В рамках Вашего определения частоты, это «сигнал частоты 1/2 Гц». То есть надо полагать, Ваша версия спектра этого сигнала должна, как минимум, содержать в себе компоненту на частоте 1/2 Гц.
А в рамках определения которое используют все нормальные люди, спектр этого сигнала содержит в себе две частоты — 1 Гц и 1.5 Гц и не содержит никаких 1/2 Гц.
Причем насколько я понял, для непрерывных сигналов Вы таки эту идею понимаете.
Но почему-то вдруг считаете что если мы эту функцию дискретизуем, то там надо использовать уже Ваше определение и в силу этого там будет какой-то абсолютно иной спектр.
А в рамках стандартной теории — там будет ровно тот же спектр, с частотами 1 и 1.5 Гц.
Независимо, что характерно, от частоты дискретизации при условии что она будет выше 3 Гц.
Сам по себе дискретный сигнал не может иметь период, некратный периоду дискретизации
Не может. Но это не означает что у него будет «частота ноль» и что его спектр будет нулевым
Проще говоря, Ваша частота — это частота ПОВТОРЕНИЯ сигнала.
Это не моя частота, а стандартное её определение. Других определений частоты функции я никогда не слышал.
Например последовательность прямоугольных импульсов может быть периодической, но при этом нельзя сказать что эта последовательность имеет частоту 1/T где T — период.
Если есть период, то есть и частота, так как они связаны формулой f = 1/T.
В контексте дискретного преобразования Фурье «чистой» частоты не бывает, но в определенных условиях дискретным сигналам можно взаимно-однозначно сопоставить непрерывные и в рамках этого сопоставления естественно сопоставить дискретизованной синусоиде частоту ее прообраза.
Что значит ««чистой» частоты не бывает»? Если функция периодическая, то ей соответствует какая-то частота, если нет, то ей соответствует частота 0. Дискретной синусоиде сопоставляют частоту непрерывной синусоиды, так как определяют спектр непрерывного сигнала после дискретизации, а не спектр самой дискретной синусоиды. Сама по себе дискретная синусоида может иметь частоту, несовпадающую с непрерывной.
Причем Вы с чего-то вдруг дальше пытаетесь выводить что в базисе находятся только строго определенные f. Это не так — все разные f (с поправкой на алиасинг) дают разные базисные функции
Я не говорил, что в базисе есть только строго определённые f, и я согласен с тем, что f может принимать любое значение и с тем, что они дают разные базисные функции. Я говорил, что f уже не является частотой базисной функции при использовании стандартного определения частоты функции (Вы, почему-то, называете его моим определением).
Что такое «частотный спектр дискретного по времени сигнала»?
Частотный спектр дискретного во времени сигнала – спектр дискретного во времени сигнала как функция частоты.
Я уже предлагал простенький пример: f(x)=sin(2pi*x)+sin(3pi*x)
Нетрудно проверить что период этого сигнала T=2 с
В рамках Вашего определения частоты, это «сигнал частоты 1/2 Гц». То есть надо полагать, Ваша версия спектра этого сигнала должна, как минимум, содержать в себе компоненту на частоте 1/2 Гц.
Если сигнал обладает какой-то частотой, это не значит, что в его спектре есть эта частота (самый распространённый пример – амплитудная модуляция). Не понимаю, из чего Вы сделали такой вывод?
Причем насколько я понял, для непрерывных сигналов Вы таки эту идею понимаете.
Но почему-то вдруг считаете что если мы эту функцию дискретизуем, то там надо использовать уже Ваше определение и в силу этого там будет какой-то абсолютно иной спектр.
Для непрерывных сигналов, никаких противоречий со стандартным определением частоты (моим определением) нет, поэтому, как Вы говорите, я понимаю идею. Тоже самое определение я использую и для дискретных сигналов.
А в рамках стандартной теории — там будет ровно тот же спектр, с частотами 1 и 1.5 Гц.
Независимо, что характерно, от частоты дискретизации при условии что она будет выше 3 Гц.
Стандартная теория рассматривает дискретные сигналы только с точки зрения восстановления соответствующих им непрерывных сигналов, поэтому и приравнивает частоты непрерывного синуса и дискретного. Если не переходить от дискретного пространства к непрерывному и использовать дискретные базисные функции при разложении сигнала в обобщённый ряд Фурье, то частотный спектр, определённый в базисе таких функций будет дискретным с равномерным шагом по периоду.
Не может. Но это не означает что у него будет «частота ноль» и что его спектр будет нулевым
Если синусоида с ненулевой конечной частотой после дискретизации стала непериодической дискретной функцией, то её частота стала равной 0 в соответствии со стандартным определением (моим определением) частоты. Если представить её в виде суммы дельта-функций и найти спектр в базисе гармонических функций, то он покажет её исходную частоту, но это не делает частоту дискретной синусоиды ненулевой.
Если сигнал обладает какой-то частотой, это не значит, что в его спектре есть эта частота (самый распространённый пример – амплитудная модуляция).
Амплитудно-модулированный сигнал, как правило, апериодический. В рамках вашего определения «после модуляции сигнала у него стала частота ноль»
Давайте посмотрим на одно интересное следствие из вашего определения.
Вы там вовсю пытаетесь считать «спектр по периодам» и вам интуитивно кажется что у периодического сигнала с периодом nT будет соответствующее значение в спектре (n>0 целое)
Однако если мы посмотрим на приводившийся мною пример с T=2 сек, его «спектр по периодам» дает 0 для T=2 и не-ноль для T=1 и T=2/3. Если, конечно, пользоваться стандартными формулами для расчета спектра.
Вернемся теперь к исходной теории где вы берете «периодически продолженную дельта-функцию»
Таким образом, дискретный во времени сигнал может быть периодическим только с периодом, кратным шагу дискретизации Δt, и спектр такого сигнала может состоять только из периодов Tn = n * Δt, где n – целое число.
И — упс — понимаем что спектр такого сигнала может состоять далеко не только из периодов Tn = n * Δt
Все ваши выкладки сводятся к тому чтобы максимально запутать простые выкладки, использовать собственные нестандартные определения, а затем подставить в одно-два места либо теорему которая верна только для стандартного определения, либо вот подобную «очевидную» вещь.
Чисто из интереса — какой у вас ВУЗ?
Небольшой модельный пример:
f(x)=sin(7*2pi*x) + sin(5*2pi*x)
Период T = 1сек
Возьмем частоту дискретизации 3 Гц. Дискретизованный сигнал будет периодическим. В его спектре по частоте при этом будут частоты 5 и 7 Гц. В спектре по периоду соответственно 1/5 с и 1/7 с. Легко заметить что ни 1/5 ни 1/7 не кратны dt=1/3 с
f(x)=sin(7*2pi*x) + sin(5*2pi*x)
Период T = 1сек
Возьмем частоту дискретизации 3 Гц. Дискретизованный сигнал будет периодическим. В его спектре по частоте при этом будут частоты 5 и 7 Гц. В спектре по периоду соответственно 1/5 с и 1/7 с. Легко заметить что ни 1/5 ни 1/7 не кратны dt=1/3 с
Давайте посмотрим на одно интересное следствие из вашего определения.
Вы там вовсю пытаетесь считать «спектр по периодам» и вам интуитивно кажется что у периодического сигнала с периодом nT будет соответствующее значение в спектре (n>0 целое)
Я же как раз противоположенное говорил в предыдущем комментарии. Если сигнал обладает какой-то частотой, то это не значит, что она есть в его спектре. Никаких выводов я интуитивно не делаю.
И — упс — понимаем что спектр такого сигнала может состоять далеко не только из периодов Tn = n * Δt
Как мы это понимаем? Если представить дискретный сигнал в виде суммы дельта-функций и найти спектр в базисе гармонических функций, то не только из Tn = n * Δt. Если не переходить в базис непрерывных функций, то будет состоять только из Tn = n * Δt.
Все ваши выкладки сводятся к тому чтобы максимально запутать простые выкладки, использовать собственные нестандартные определения, а затем подставить в одно-два места либо теорему которая верна только для стандартного определения, либо вот подобную «очевидную» вещь.
Неужели именно так всё со стороны выглядит?
Чисто из интереса — какой у вас ВУЗ?
Пензенский ГУ
Небольшой модельный пример:
f(x)=sin(7*2pi*x) + sin(5*2pi*x)
Период T = 1сек
Возьмем частоту дискретизации 3 Гц. Дискретизованный сигнал будет периодическим. В его спектре по частоте при этом будут частоты 5 и 7 Гц. В спектре по периоду соответственно 1/5 с и 1/7 с. Легко заметить что ни 1/5 ни 1/7 не кратны dt=1/3 с
Странный пример, Вы берёте частоту дискретизации меньше, чем частоты спектральных составляющих сигнала, но так тоже можно. Естественно, что они не кратны, период дискретизации можно выбрать какой угодно и некратный в том числе. И что из этого следует? Такое чувство, что Вы вообще не понимаете, о чём я говорю.
Если в качестве базисных использовать какие-то дискретные функции, которые никак не связаны ни с гармоническими, ни с какими-либо другими непрерывными функциями, то частотный спектр в базисе таких функций будет функцией какого аргумента?
Неужели именно так всё со стороны выглядит?
Да. И это меня раздражает.
Странный пример, Вы берёте частоту дискретизации меньше, чем частоты спектральных составляющих сигнала, но так тоже можно.
Согласен, уже когда написал сообразил, но править было поздно :). Но на пример-то это никак не влияет, возьмите дискретизацию на 17 Гц — ничего не изменится.
И что из этого следует?
Это контпример к тезису «Таким образом, дискретный во времени сигнал может быть периодическим только с периодом, кратным шагу дискретизации Δt, и спектр такого сигнала может состоять только из периодов Tn = n * Δt, где n – целое число.». Я вам привел
1) дискретный во времени сигнал (дискретизуйте с dt=1/17)
2) периодический (T=1, дискретная версия повторяется каждые 17 отсчетов)
3) имеющий в рамках использованных вами формул для вычисления спектра, спектр на частотах (5+17n), (7+17n) для n>=0 — целого
4) транслирующийся в рамках вашего же определения в спектр по периодам 1/(5+17n) и 1/(7+17n)
5) ни один из указанных периодов не может быть представлен в виде Tn = n * Δt
Непрерывные функции здесь ни при чем. Этот пример полностью построен в рамках вашего «дискретного» определения.
3) имеющий в рамках использованных вами формул для вычисления спектра, спектр на частотах (5+17n), (7+17n) для n>=0 — целого
Уточните, пожалуйста, каких формул?
Ещё интересно услышать ваш ответ на вопрос в конце моего предыдущего комментария.
А у вас их, простите, что — много? До сих пор мне как-то не приходило в голову что вы можете использовать еще и свои собственные формулы для вычисления спектра. По тексту вон вполне стандартные формулы фигурировали, например B.1, и вы на следствия применимые именно к этим формулам ссылались (например «известно что периодический во временной области сигнал обладает дискретным спектром»).
Стандартная формула для ДПФ дискретного периодического сигнала заданного на своем периоде отсчетами a_k: k 0,.., N-1 с точностью до нормирующего коэффициента обыкновенно задается как
c_n = \sum (k=0...n-1) a_k * exp(-2pi*i*k*n/N)
Это банальная ортогональная проекция исходной дискретизованной последовательности на дискретизованную синусоиду из числа базисных функций и, согласитесь, не выходя из базиса из дискретизованных синусоид тут очень сложно придумать что-то иное.
В моем примере N=17, коэффициент c_k соответствует частоте k Гц mod 17.
Как я уже сказал, указанная мною функция имеет спектр на частотах ±5 mod 17 гц и ±7 mod 17 гц.
Или, другими словами, коэффициенты c_5, c_7, c_10 и c_12 будут не-нулевыми и равными по мощности.
Все остальные коэффициенты будут нулевыми.
Итого — в спектре «по частоте» есть частоты 5 и 7 Гц, в спектре «по периоду», соответственно, 1/5 и 1/7 сек, однако ни 1/5 ни 1/7 не являются кратными 1/17 Гц
Еще вопросы по контрпримеру?
Я не очень понимаю что такое «частотный спектр» в базисе каких-то функций которые никак не связаны с гармоническими. «Частотный спектр» по определению задан именно через гармонические функции или их дискретизованные версии. Вы конечно можете взять другой базис и посчитать там разложение, но это не будет «частотным» спектром. Тем более что никакого «другого базиса» Вы собственно пока и не формулировали.
Но эта часть дискуссии мне представляется тупиковой, мне не хочется опять начинать бесполезный спор об определениях. Вы вправе использовать любые свои определения при условии, конечно, что явно говорите об этом, и не применяете без доказательств к своим определениям формулы и теоремы доказанные для других определений. Я вам уже указал как минимум на одну фатальную ошибку в ваших рассуждениях, мне кажется что этого должно быть достаточно.
Стандартная формула для ДПФ дискретного периодического сигнала заданного на своем периоде отсчетами a_k: k 0,.., N-1 с точностью до нормирующего коэффициента обыкновенно задается как
c_n = \sum (k=0...n-1) a_k * exp(-2pi*i*k*n/N)
Это банальная ортогональная проекция исходной дискретизованной последовательности на дискретизованную синусоиду из числа базисных функций и, согласитесь, не выходя из базиса из дискретизованных синусоид тут очень сложно придумать что-то иное.
В моем примере N=17, коэффициент c_k соответствует частоте k Гц mod 17.
Как я уже сказал, указанная мною функция имеет спектр на частотах ±5 mod 17 гц и ±7 mod 17 гц.
Или, другими словами, коэффициенты c_5, c_7, c_10 и c_12 будут не-нулевыми и равными по мощности.
Все остальные коэффициенты будут нулевыми.
Итого — в спектре «по частоте» есть частоты 5 и 7 Гц, в спектре «по периоду», соответственно, 1/5 и 1/7 сек, однако ни 1/5 ни 1/7 не являются кратными 1/17 Гц
Еще вопросы по контрпримеру?
Ещё интересно услышать ваш ответ на вопрос в конце моего предыдущего комментария.
Я не очень понимаю что такое «частотный спектр» в базисе каких-то функций которые никак не связаны с гармоническими. «Частотный спектр» по определению задан именно через гармонические функции или их дискретизованные версии. Вы конечно можете взять другой базис и посчитать там разложение, но это не будет «частотным» спектром. Тем более что никакого «другого базиса» Вы собственно пока и не формулировали.
Но эта часть дискуссии мне представляется тупиковой, мне не хочется опять начинать бесполезный спор об определениях. Вы вправе использовать любые свои определения при условии, конечно, что явно говорите об этом, и не применяете без доказательств к своим определениям формулы и теоремы доказанные для других определений. Я вам уже указал как минимум на одну фатальную ошибку в ваших рассуждениях, мне кажется что этого должно быть достаточно.
Я вам уже указал как минимум на одну фатальную ошибку
Начиная с комментария 20 июля 2015 в 19:36 вы не нашли ни одной ошибки.
мне не хочется опять начинать бесполезный спор об определениях
Тогда закончим его.
Начиная с комментария 20 июля 2015 в 19:36 вы не нашли ни одной ошибки.
Я вам построил тривиальный контрпример к тезису «спектр такого сигнала может состоять только из периодов Tn = n * Δt, где n – целое число». Напомню что Δt=1/17, а периоды 1/5, 1/7 и далее по списку. А если этот тезис убрать, то ваше «приложение В» основанное на применении этого тезиса для фильтрации «возможных частот» разваливается, отсюда «фатальность».
Да, это известный артефакт преобразования Фурье — высокочастотный сигнал, там где его нет. Разбирается в курсе обработки сигналов. Собственно, загадкой, насколько я понимаю, никогда не был для тех, кто внимательно слушал курс.
Согласен, розовый шум — самый интересный. Цитата отсюда:
Voss [3], Hennig [4], and Levitin [5] have shown that in
many musical pieces, from classical to rock music, the
fluctuation of pitch (frequency), loudness and duration
obeys 1/f power law. The exponent β ranges from 0.4
to 1.4, depending on the composer and genre. The range
of β suggests that human music keeps a balance between
predictability (β = 2) and randomness (β = 0). The 1/f
relation is also observed in several natural phenomena,
such as the frequency of earthquakes and the fluctuation
of heart beat rate.
Вывод: фликкер-шум — сигнал с равномерным спектром, спектр которого искажается преобразованием Фурье.
Странно… А к чему тогда отнести сигнал с выхода датчика случайных нормальных чисел, например, в той же Octave randn(128,1)? Измерение спектральной плотности мощности с помощью БПФ и усреднения квадрата модуля спектра даёт более менее ровный спектр (разве что возле нулевой и первой гармоники есть небольшой артефакт, но это объяснимо, так как длина реализации ограничена 128 отсчётами).
По материалу поддерживаю комментаторов — смоделировать всё-таки нужно систему и посмотреть, что там будет.
Вот, кстати, не далее как в свежайшем номере УФН очередная статья о фликкер-шуме вышла. Пробуют получить через законы механики и описание случайных блужданий в системе множества частиц. Вполне интересно.
Вот, кстати, не далее как в свежайшем номере УФН очередная статья о фликкер-шуме вышла. Пробуют получить через законы механики и описание случайных блужданий в системе множества частиц. Вполне интересно.
Не знаю-не знаю.
Может я и не уловил драматизм ситуации.
Еще в конце 70-х, когда я впервые услышал про фликкер-шум со спектром 1/f в универовском спецкурсе ядерно-физических измерений, это явление объяснялось, как наблюдение флуктуаций, вследствие теплового «броуновского» движения (кажется в стохастике это называется «винеровский процесс»), через полосовой фильтр, коим является по сути любая регистрирующая система (цифровая или аналоговая — не важно).
Вот здесь много и подробно описан, так что при всем моем «спасибо» автору за статью, ощущения открытия от прочтения не случилось.
Может я и не уловил драматизм ситуации.
Еще в конце 70-х, когда я впервые услышал про фликкер-шум со спектром 1/f в универовском спецкурсе ядерно-физических измерений, это явление объяснялось, как наблюдение флуктуаций, вследствие теплового «броуновского» движения (кажется в стохастике это называется «винеровский процесс»), через полосовой фильтр, коим является по сути любая регистрирующая система (цифровая или аналоговая — не важно).
Вот здесь много и подробно описан, так что при всем моем «спасибо» автору за статью, ощущения открытия от прочтения не случилось.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Загадка фликкер-шума разгадана