Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 80
Мьсё знает толк. Хотя, в формулировках «мсьё» Бурбаки оно бы выглядело ещё более жутко, вам есть ещё куда стремиться ,)
В список красивых задач, пострадавших от «решателей», можно добавить еще и задачу о самолете на конвейере…
А у неё есть каноническая интерпретация и решение? Честно говоря, за годы в интернете я привык воспринимать её не столько как задачу, сколько как неисчерпаемый источник холиваров.
Со стороны конвейера на самолет не действует никаких сил, кроме силы трения качения. А эта сила мало того, что ограничена — так еще и не зависит от скорости конвейера.
Получается, что любой самолет, способный взлететь с неподвижного конвейера — взлетит и с движущегося.
В итоге, различия в интерпретации таких вопросов, как «чем ограничена скорость конвейера», «чем ограничена мощность двигателя самолета» и «из каких материалов они сделаны» — для решения несущественны.
Получается, что любой самолет, способный взлететь с неподвижного конвейера — взлетит и с движущегося.
В итоге, различия в интерпретации таких вопросов, как «чем ограничена скорость конвейера», «чем ограничена мощность двигателя самолета» и «из каких материалов они сделаны» — для решения несущественны.
Сейчас начнётся…
lets holywar begin
Откуда возьмется подъемная сила, если самолет не движется относительно земли, а, главное, относительно окружающего его воздуха, ведь подъемная сила перпендикулярна вектору скорости движения тела в потоке жидкости или газа и возникает в результате несимметричности обтекания тела потоком.
Откуда возьмется подъемная сила, если самолет не движется относительно земли, а, главное, относительно окружающего его воздуха, ведь подъемная сила перпендикулярна вектору скорости движения тела в потоке жидкости или газа и возникает в результате несимметричности обтекания тела потоком.
Я только что написал, что самолет начнет двигаться относительно окружающего его воздуха — просто потому что у конвейера нет способа этому препятствовать.
но тогда самолет уедет с конвеера, а там уже обычная взлетная полоса (ну или как он ещё может двигаться относительно окружающего его воздуха не двигаясь относительно конвеера).
Не помню априорного требования неподвижности самолета относительно чего бы то ни было. Напротив, в том и заключалась задача, которую я помню — сможет ли конвейер эту неподвижность сохранить или нет.
Ну если верить лурку, то вопрос в том взлетит ли самолет, а то что конвеер движется со скоростью самолета в обратном направлении это как раз было компромиссом условия.
Конвейер может двигаться в обратную сторону с любой скоростью — но самолет взлетит в любом случае. Просто потому что изменение скорости конвейера не меняет скорости самолета напрямую.
Любое взаимодействие между ними осуществляется через силу трения качения — и эта сила меньше, чем сила тяги двигателя.
Любое взаимодействие между ними осуществляется через силу трения качения — и эта сила меньше, чем сила тяги двигателя.
Это совершенно справедливо. Однако необходимо принять во внимание, что по условиям задачи скорость конвеера синхронизирована со скоростью вращения колес. Представим себе, что в момент 0 сила тяги выбрана таким образом, что позволяет самолету оставаться неподвижным относительно земли на движущемся конвеере. В момент 1 сила тяги увеличивается и самолет начинает двигаться по конвееру, скорость вращения его колес становится выше, чем в момент 0 (потому что конвеер продолжает движение, плюс собственное движение самолета). В момент увеличения скорости вращения колес автоматически увеличивается скорость конвеера, далее подобное увеличение происходит в замкнутом цикле и стремится к бесконечности. В момент достижения конвеером и колесами скорости света релятивистские эффекты не дают самолету взлететь.
Но взаимодействие между колесами и конвейером ограничено уже силой трения покоя — начиная с некоторого момента колеса начнут проскальзывать и их раскрутка замедлится, позволив скоростям конвейера и колес синхронизироваться.
А на самолет в целом будет по-прежнему действовать сила трения качения, ничуть не мешая взлету.
А на самолет в целом будет по-прежнему действовать сила трения качения, ничуть не мешая взлету.
Однако необходимо принять во внимание, что по условиям задачи скорость конвеера синхронизирована со скоростью вращения колес
Если самолет приводится в движение двигателем, а не колесами, то это не важно — колеса могут крутиться хоть со световой скоростью, компенсируя движение ленты
Ох, не стоит упоминать световую скорость всуе… Призываю в тред релятивистские эффекты.
На очень больших скоростях сила трения качения перестанет считаться по «обычной» формуле, и может довольно сильно вырасти. Колеса на такой скорости будут выглядеть как колышек, забитый в конвейер… Так что возражение было бы справедливым — если бы такая скорость и правда была достижима.
Но, как я уже писал выше, колеса шасси не могут раскручиваться неограниченно быстро.
Но, как я уже писал выше, колеса шасси не могут раскручиваться неограниченно быстро.
Не холивара ради, а понимания для.
Точно ли речь идёт о силе трения качения? Может быть, всё же, взаимодействие происходит через силу трения покоя?
Поясняющий вопрос: почему автомобиль быстрее тормозит, если колёса продолжают вращаться, чем если они блокируются? Ведь сила трения покоя больше силы трения качения.
Точно ли речь идёт о силе трения качения? Может быть, всё же, взаимодействие происходит через силу трения покоя?
Поясняющий вопрос: почему автомобиль быстрее тормозит, если колёса продолжают вращаться, чем если они блокируются? Ведь сила трения покоя больше силы трения качения.
Некорректно (про поясняющий вопрос).
Тормозные колодки по диску при торможении совсем-совсем не катятся, так что трение качения автомобиля не играет практически никакой роли (в процессе торможения). И при блокировке колес и при нормальном торможении работает трение скольжения. Его величина существенно выше при нормальном торможении.
Тормозные колодки по диску при торможении совсем-совсем не катятся, так что трение качения автомобиля не играет практически никакой роли (в процессе торможения). И при блокировке колес и при нормальном торможении работает трение скольжения. Его величина существенно выше при нормальном торможении.
Но если в обоих случаях работает одна и та же сила трения скольжения, то почему различается время торможения?
В том-то и дело, что скольжение тормозных колодок – фактор, общий для обоих случаев, а различаются они тем, что в одном случае колесо скользит по поверхности, а в другом катится.
В том-то и дело, что скольжение тормозных колодок – фактор, общий для обоих случаев, а различаются они тем, что в одном случае колесо скользит по поверхности, а в другом катится.
Неблокированное колесо держится на асфальте силой трения покоя (даже если катится).
Это самое сильное из всех видов трений. Торможение выполняется когда колодки давят на диск.
Разница в тормозном пути определяется тем, что будет сильнее, давление гидравлики на диск (а) или давление веса машины на заблокированные колеса (б). Срыв в блокировку происходит когда сила трения скольжения дисков становится больше силы трения покоя колес.
Почти у всех машин торможной путь короче при нормальном троможении, т.е. случай (а). Но если у машины большое пятно контакта или приспущенные колеса или прорезиненная поверхность, то иногда может быть короче и второй вариант (б). Сложность в том, чтобы поймать границу случая (а). Для этого АБС.
Это самое сильное из всех видов трений. Торможение выполняется когда колодки давят на диск.
Разница в тормозном пути определяется тем, что будет сильнее, давление гидравлики на диск (а) или давление веса машины на заблокированные колеса (б). Срыв в блокировку происходит когда сила трения скольжения дисков становится больше силы трения покоя колес.
Почти у всех машин торможной путь короче при нормальном троможении, т.е. случай (а). Но если у машины большое пятно контакта или приспущенные колеса или прорезиненная поверхность, то иногда может быть короче и второй вариант (б). Сложность в том, чтобы поймать границу случая (а). Для этого АБС.
Хотя нет. Ошибся. Всегда случай (а) будет короче, т.к. трение покоя колеса всегда выше трения скольжения этого же колеса в блокировке…
> Поясняющий вопрос: почему автомобиль быстрее тормозит, если колёса продолжают вращаться, чем если они блокируются?
Поясняющий вопрос у Вас некорректен, но по другой причине. Ваше утверждение выполняется не всегда.
На любых сыпучих поверхностях достаточной глубины (не укатанный снег, песок, и т.д.) тормозной путь автомобиля с заблокированными колесами будет меньше (иногда значительно меньше), чем тормозной путь автомобиля с вращающимися колесами.
А все потому, что к силе трения скольжения в пятне контакта внизу шины добавляется энергия, необходимая на расталкивание материала поверхности зарывающимися колесами.
Поясняющий вопрос у Вас некорректен, но по другой причине. Ваше утверждение выполняется не всегда.
На любых сыпучих поверхностях достаточной глубины (не укатанный снег, песок, и т.д.) тормозной путь автомобиля с заблокированными колесами будет меньше (иногда значительно меньше), чем тормозной путь автомобиля с вращающимися колесами.
А все потому, что к силе трения скольжения в пятне контакта внизу шины добавляется энергия, необходимая на расталкивание материала поверхности зарывающимися колесами.
Теперь я намного лучше понимаю мотивацию автора поста! :)
Впрочем, спасибо за информацию, я этого не знал.
Впрочем, спасибо за информацию, я этого не знал.
> Впрочем, спасибо за информацию, я этого не знал.
Главное не забывать, что тут ключевое — это достаточная глубина сыпучего материала, ибо тонкий слой сыпучего материала поверх твердого основания (тонкий слой песка поверх асфальта, например) наоборот работает при разгонах/торможениях и в поворотах как смазка, залитая под колеса.
Главное не забывать, что тут ключевое — это достаточная глубина сыпучего материала, ибо тонкий слой сыпучего материала поверх твердого основания (тонкий слой песка поверх асфальта, например) наоборот работает при разгонах/торможениях и в поворотах как смазка, залитая под колеса.
Более того, современные ABS, насколько я помню, это учитывают и допускают небольшую блокировку колес при торможении на определенных поверхностях. Ну и не надо забывать, что задача ABS не только пытаться снизить длину тормозного пути (это достигается не всегда), но и в первую очередь обеспечить автомобилю управляемость во время торможения.
Боюсь, что холивар должен быть досрочно прекращен, так как есть эксперимент подтверждающий, что самолет взлетит:
1. Разрушители Легенд
2. Ураган vs. Стоящий самолет
1. Разрушители Легенд
2. Ураган vs. Стоящий самолет
Во всех этих экспериментах конвейер переставал вести себя как сказано в задача и там начинались разнообразные проскальзывания.
Вот только проскальзывания — это не ошибка эксперимента — а закономерный итог.
По хорошему, надо вопрос «взлетит ли?» поделить на два вопроса:
1) Взлетит ли самолет, если ему перед этим отпилить колеса, чтобы он на месте стоял.
2) Можно ли создать такую платформу, которая бы удерживала самолет на месте, независимо от того, с какой скоростью он будет по ней ехать.
А сейчас мы имеем что имеем — нечеткую формулировку и эксперимент, который ничего не дает.
1) Взлетит ли самолет, если ему перед этим отпилить колеса, чтобы он на месте стоял.
2) Можно ли создать такую платформу, которая бы удерживала самолет на месте, независимо от того, с какой скоростью он будет по ней ехать.
А сейчас мы имеем что имеем — нечеткую формулировку и эксперимент, который ничего не дает.
Ну не настолько же формулировка задачи нечеткая! Отпиленные колеса — это не уточнение формулировки, а изменение задачи полностью.
И, кстати, с отпиленными колесами мое рассуждение все еще остается в силе, просто сила трения качения меняется на силу трения покоя/скольжения: самолету одинаково сложно взлетать что с подвижного конвейера, что с неподвижного. Если двигателя достаточно, чтобы он в принципе мог взлететь без колес — то и конвейер помешать этому не сможет.
Ответ же на второй вопрос также очевиден. Хотя, если не налагать никаких ограничений на платформу — то я бы предложил липкую платформу. И еще платформе шупальца добавить, чтобы хватала самолет и не отпускала.
И, кстати, с отпиленными колесами мое рассуждение все еще остается в силе, просто сила трения качения меняется на силу трения покоя/скольжения: самолету одинаково сложно взлетать что с подвижного конвейера, что с неподвижного. Если двигателя достаточно, чтобы он в принципе мог взлететь без колес — то и конвейер помешать этому не сможет.
Ответ же на второй вопрос также очевиден. Хотя, если не налагать никаких ограничений на платформу — то я бы предложил липкую платформу. И еще платформе шупальца добавить, чтобы хватала самолет и не отпускала.
Тут еще дело в том, что не все разбираются, как именно самолет взлетает. Интуитивное понимание такое: самолет разгоняется, за счет его движения и расположения крыльев под ними создается область повышенного давления воздуха, который и толкает самолет вверх.
Я думаю, что все те, кто говорит «самолет не взлетит», подразумевают в условиях задачи еще вот это: самолет не может создать тягу никаким другим способом, кроме движения относительно земли.
Я думаю, что все те, кто говорит «самолет не взлетит», подразумевают в условиях задачи еще вот это: самолет не может создать тягу никаким другим способом, кроме движения относительно земли.
> Откуда возьмется подъемная сила, если самолет не движется относительно земли, а, главное, относительно окружающего его воздуха
Неподвижность самолёта относительно земли не означает неподвижности относительно воздуха. Если заставить воздух двигаться навстречу самолёту, то задача будет решена. Что же может заставить воздух двигаться? Правильно — движущийся конвейер и силы вязкости. Если конвейер достаточно велик относительно самолёта, то он будет способен увлечь массы воздуха достаточные, чтобы самолёт взлетел.
Кстати, запутывающее условие «сила тяги двигателя строго компенсирует силу трения» можно заменить обычной механической опорой — сила реакции опоры всегда равна и противоположна действующей силе. Моделью самолёта на конвейере может служить, например, головка диска Бернулли: кантилевер обеспечивает равенство сил по горизонтали (тяга vs трение), поверхность диска увлекает достаточно воздуха, чтобы головки взлетели.
Неподвижность самолёта относительно земли не означает неподвижности относительно воздуха. Если заставить воздух двигаться навстречу самолёту, то задача будет решена. Что же может заставить воздух двигаться? Правильно — движущийся конвейер и силы вязкости. Если конвейер достаточно велик относительно самолёта, то он будет способен увлечь массы воздуха достаточные, чтобы самолёт взлетел.
Кстати, запутывающее условие «сила тяги двигателя строго компенсирует силу трения» можно заменить обычной механической опорой — сила реакции опоры всегда равна и противоположна действующей силе. Моделью самолёта на конвейере может служить, например, головка диска Бернулли: кантилевер обеспечивает равенство сил по горизонтали (тяга vs трение), поверхность диска увлекает достаточно воздуха, чтобы головки взлетели.
Если докапываться до букв, то да, формулировка некорректная. Но чаще всё же на математическую точность формулировки забивают (как Фейнман на математический апельсин), и копья ломают вокруг двух более реалистичных случаев:
1) система управления транспортёром и трение смогли удержать самолёт неподвижным (откуда следует вывод «не взлетит»), либо
2) самолёт удержать никак не удастся (откуда следует вывод «взлетит»).
Мой пойнт в том, что остановить самолёт можно даже если трение в колёсах отсутствует и мощность транспортёра конечна, и при этом неподвижный самолёт все же может взлететь. Т.е. парадокс «самолёт неподвижен» и «самолёт летит» вполне разрешим, нужно только вспомнить о том, что воздух — не идеальный газ, и он взаимодействует с транспортёром, и может представлять собой реальную силу. Об этом вспоминают считанные единицы спорщиков, увы, все загипнотизированы колёсами, двигателями, транспортёром.
1) система управления транспортёром и трение смогли удержать самолёт неподвижным (откуда следует вывод «не взлетит»), либо
2) самолёт удержать никак не удастся (откуда следует вывод «взлетит»).
Мой пойнт в том, что остановить самолёт можно даже если трение в колёсах отсутствует и мощность транспортёра конечна, и при этом неподвижный самолёт все же может взлететь. Т.е. парадокс «самолёт неподвижен» и «самолёт летит» вполне разрешим, нужно только вспомнить о том, что воздух — не идеальный газ, и он взаимодействует с транспортёром, и может представлять собой реальную силу. Об этом вспоминают считанные единицы спорщиков, увы, все загипнотизированы колёсами, двигателями, транспортёром.
Дык в том мире, где колёса могут вращаться с произвольной скоростью, а двигатели могут выдавать произвольную мощность и воздух может быть идеальным газом.
На самом деле все эти задачки обыгрывают один хорошо известный настоящим физикам, но тщательно скрываемый от школьников факт: все эти «идеальные» газы, «идеальные» шкивы, тросы и прочее не могут существовать. Не то, что не существуют (с этим-то всё понятно), а не могут существовать. В принципе. Там из каждой дырки нуль делённый на нуль торчит.
Чуть ли не любая, самая простейшая «школьная» задача сходу содержит в себе противоречия, если подумать. Какая-нибудь фраза «К грузу А прикреплена невесомая и нерастяжимая нить, перекинутая через блок В» у вас не вызывает отторжения? Нет? А вы подумайте. Если нить у вас невесомая и нерастяжимая, то силы, приложенные к её концам, совпадают. А также совпадают силы, приложенные к любой точке оной нити. А раз так — то если изначально эта нить никуда не двигалась, то она и не будет двигаться, все же силы уравновешены! На самом деле тут всё дело в том, что к невесомой нити применить первый закон Ньютона нельзя, так как у вас нулевая сила и нулевая масса — их нельзя друг на друга делить. А как можно? Можно взять растяжимую вполне себе весомую нить, всё аккуратно расписать и устремить массу и коэффициент упругости к нулю. В пределе — как раз и получите то, что всегда в таких задачах используется. Но вот беда: далеко не все вещи можно таким образом доопределить. Далеко не все неопределённости, порождённые идеальными объектами раскрываются при рассмотрении реальных объектов и вычислении предела. А иногда оказывается, что можно по разному переходить от идеальных объектов к реальным — и получать разные результаты. Вот задача про этот несчастный самолёт на конвеере — это одна из таких задач.
На самом деле все эти задачки обыгрывают один хорошо известный настоящим физикам, но тщательно скрываемый от школьников факт: все эти «идеальные» газы, «идеальные» шкивы, тросы и прочее не могут существовать. Не то, что не существуют (с этим-то всё понятно), а не могут существовать. В принципе. Там из каждой дырки нуль делённый на нуль торчит.
Чуть ли не любая, самая простейшая «школьная» задача сходу содержит в себе противоречия, если подумать. Какая-нибудь фраза «К грузу А прикреплена невесомая и нерастяжимая нить, перекинутая через блок В» у вас не вызывает отторжения? Нет? А вы подумайте. Если нить у вас невесомая и нерастяжимая, то силы, приложенные к её концам, совпадают. А также совпадают силы, приложенные к любой точке оной нити. А раз так — то если изначально эта нить никуда не двигалась, то она и не будет двигаться, все же силы уравновешены! На самом деле тут всё дело в том, что к невесомой нити применить первый закон Ньютона нельзя, так как у вас нулевая сила и нулевая масса — их нельзя друг на друга делить. А как можно? Можно взять растяжимую вполне себе весомую нить, всё аккуратно расписать и устремить массу и коэффициент упругости к нулю. В пределе — как раз и получите то, что всегда в таких задачах используется. Но вот беда: далеко не все вещи можно таким образом доопределить. Далеко не все неопределённости, порождённые идеальными объектами раскрываются при рассмотрении реальных объектов и вычислении предела. А иногда оказывается, что можно по разному переходить от идеальных объектов к реальным — и получать разные результаты. Вот задача про этот несчастный самолёт на конвеере — это одна из таких задач.
Транспортер должен двигаться со скоростью, равной скорости движения верхней точки колеса относительно транспортера. Тогда и правда, на первый взгляд, самолет должен математически стоять на месте.
А на второй взгляд, как я уже писал, колесо начнет проскальзывать — а потому не сможет помешать самолету взлететь.
А на второй взгляд, как я уже писал, колесо начнет проскальзывать — а потому не сможет помешать самолету взлететь.
Кстати про меру нуль.
У Мартина Гарднера была задача, — дословно не помню, но суть в том, что есть листок бумаги с окрашенной кромкой, и нужно его исхитриться сложить так, чтобы эту кромку вообще не было видно. Ни единой точки.
А ещё кстати про меру нуль.
Если мы возьмём ленту и сжамкаем её, покрыв счётным множеством изгибов, а потом полученную гармошку станем натягивать на куб? Не налетим здесь на «парадокс Того-то и Того-то про то, как двое русских математиков один шар сломали, а второй потеряли»?
Не так много радости в том, что все точки оставшегося дисконтинуума имеют по два прообраза.
У Мартина Гарднера была задача, — дословно не помню, но суть в том, что есть листок бумаги с окрашенной кромкой, и нужно его исхитриться сложить так, чтобы эту кромку вообще не было видно. Ни единой точки.
А ещё кстати про меру нуль.
Если мы возьмём ленту и сжамкаем её, покрыв счётным множеством изгибов, а потом полученную гармошку станем натягивать на куб? Не налетим здесь на «парадокс Того-то и Того-то про то, как двое русских математиков один шар сломали, а второй потеряли»?
Не так много радости в том, что все точки оставшегося дисконтинуума имеют по два прообраза.
Не могу сейчас сказать со всей ответственностью, но, вероятно, не налетим. Если злоупотреблять изгибами, очень быстро получится область ненулевой меры с тремя прообразами.
Не так много радости в том, что все точки оставшегося дисконтинуума имеют по два прообраза.А вот мне кажется, что от такого решения задачи радости должно быть куда больше, чем от нормального.
Краткое содержание поста, без математики и смс: Не вы^бывайтесь.
Давайте уж по порядку
Математик, а что это у вас куб стал негладким многообразием?
Ну как тут не процитировать Джоэла Спольски?
На первой же лекции доктор Зук полностью заполнил две доски и стену рядом, доказывая, что если у вас есть выключатель света, и выключатель выключен, и вы переключаете выключатель, то свет зажжется.
Доказательство было безумно запутанным и весьма подверженным ошибкам. Было труднее поверить, что доказательство правильно, чем убедить себя в том факте, что при включении выключателя света — включается свет. Конечно, несколько досок доказательства содержало ряд пропущенных шагов, пропущенных потому, что они были слишком неинтересны, чтобы углубляться в них формально. Для части шагов использовался ветхо-заветный метод «Доказательство по Индукции», для других — доказательство от противного, и для оставшихся использовались доказательства аспирантов.
Моим домашним заданием было доказать утверждение: если свет был выключен и сейчас он включен, докажите, что вы переключили выключатель.
Я попытался. Я действительно попытался.
Я провел часы в библиотеке, пытаясь.
После пары часов я нашел ошибку в доказательстве доктора Зука, которое я пытался имитировать. Возможно, я неправильно списал, но это позволило мне обнаружить одну вещь: если на то, чтобы доказать тривиальную вещь, уходит три часа на заполнение досок, позволяя вкрасться сотням возможных ошибок, то этот механизм никогда не сможет доказать то, что действительно интересно.
Ну так все-таки, какое решение формализованной задачи — можно обернуть или нет? Из бумаги-то я кубик сложил, а вот правильно ли это с математической точки зрения.
Ну, как именно вы там кубик складывали — мне неведомо. Может, у вас бумага резиновая) А ответ — можно.
Можно, можно.
Если кому интересно подумать — не заглядывайте под спойлер.
Если кому интересно подумать — не заглядывайте под спойлер.
Мое решение
Нужно на каждой стороне куба складывать ленту по диагонали — т.е. накладываем первый квадрат ленты на грань куба, берем диагональ, складываем ленту по ней вдвое. Сгибаем ленту по ребру, на следующей грани куба повторяем сложение ленты по диагонали и перемещение на следующую грань.
Дальше уже просто разработать такую схему сгибания, чтобы покрыть весь куб лентой.
Дальше уже просто разработать такую схему сгибания, чтобы покрыть весь куб лентой.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Условие как компромисс