Международная математическая олимпиада школьников 2015. Могу ли я? Хочу ли я? Решу ли я?

Пишу статью для того самого себя, когда был школьником.



15 июля в Чианг-Мае (Таиланд) завершилась 56-я Международная математическая олимпиада. Первое место заняли США, второе — Китай, третье — Южная Корея, четвертое — Северная Корея, пятое — Вьетнам, шестое — Австралия, седьмое — Иран.

На Международной математической олимпиаде каждую страну представляют не более шести школьников. Они должны решить шесть задач, за каждую из которых можно получить максимум семь баллов. Медали получает примерно половина участников, между ними золотые, серебряные и бронзовые награды распределяются в соотношении 1:2:3. Последний раз первое место на этой олимпиаде российские школьники занимали в 2007 году.

Есть мнение, что задача 6 «была самая сложная задача за всю историю Международной математической олимпиады, которая впервые была проведена в 1959 году».

Кто-нибудь сможет решить хоть что-нибудь?

Презентационный ролик:

День прибытия:

Церемония открытия:

Лекции:

Россия

На Олимпиаде 2015 года Россию представляли Иван Бочков — набрал 25 баллов за задачи, Иван Фролов — 22, Никита Гладков — 25, Александр Кузнецов — 21, Руслан Салимов — 23, Александр Зимин — 25.

Индивидуальные результаты

Zhuo Qun (Alex) Song (Канада) — 42 балла за задачи, Chenjie Yu (КНР) — 41, Junghun Ju (Республика Корея) — 40, Alexander Gunning (Австралия) — 36, Jaehyung Kim (Республика Корея) — 35, Allen Liu (США) — 35, David Stoner (США) — 35

Задачи

Авторство задач:

Problem 1 proposed by Netherlands
Problem 2 proposed by Serbia
Problem 3 proposed by Ukraine
Problem 4 proposed by Silouanos Brazitikos and Vangelis Psychas, Greece
Problem 5 proposed by Dorlir Ahmeti, Albania
Problem 6 proposed by Ross Atkins and Ivan Guo, Australia

Оригинал задач на английском тут (PDF).

День 1

Задача 1. Конечное множество S точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек A и B из множества S найдется точка C из множества S такая, что AC = BC. Множество S будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек A, B и C из множества S не существует точки P из множества S такой, что PA = PB = PC.

(а) Докажите, что для любого целого n ≥ 3 существует сбалансированное множество, состоящее из n точек.

(б) Найдите все целые n ≥ 3, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек.

Задача 2. Найдите все тройки (a; b; c) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел
ab — c, bc — a, ca — b является степенью двойки.

(Степенью двойки называется число вида 2ⁿ, где n — целое неотрицательное число.)

Задача 3. Пусть ABC — остроугольный треугольник, в котором AB > AC. Пусть Г — окружность, описанная около него, H — его ортоцентр, а F — основание высоты, опущенной из вершины A. Пусть M — середина стороны BC. Пусть Q — точка на окружности Г такая, что ∠HQA = 90°, а K точка на окружности Г такая, что ∠HKQ = 90°. Пусть точки A, B, C, K и Q различны и лежат на окружности Г в указанном порядке.

Докажите, что окружности, описанные около треугольников KQH и FKM, касаются друг друга.

Время на работу: 4 часа 30 минут
Каждая задача оценивается в 7 баллов

День 2

(Боксеры в тему)



Задача 4. Пусть Ω — окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O — ее центр. Окружность Г с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B, D, E и C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G — точки пересечения окружностей G и Ω, при этом точки A, F, B, C и G лежат на Ω в указанном порядке. Пусть K — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF, и отрезка AB. Пусть L — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA. Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X.

Докажите, что точка X лежит на прямой AO.

Задача 5. Пусть ℝ — множество всех действительных чисел. Найдите все функции f: ℝ → ℝ,
удовлетворяющие равенству

f(x + f(x + y))+ f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)

для всех действительных чисел x и y.

Задача 6. Последовательность a1, a2,... целых чисел удовлетворяет следующим условиям:
(i) 1 ≤ a_j ≤ 2015 для всех j ≥ 1;
(ii) k + a_k ≠ L+ a_L для всех 1≤ k < L.

Докажите, что существуют два положительных целых числа b и N таких, что:



Для всех целых чисел m и n, удовлетворяющих условию n > m ≥ N.

Время на работу: 4 часа 30 минут:
Каждая задача оценивается в 7 баллов

Оригинал задач на русском в виде скриншотов (чтобы сверить все спецсимволы)

День 1:



День 2:

П.С. Всем школьникам-математикам-олимпиадникам привет.