Содержание

Введение

Начав рассматривать динамику твердого тела мы столкнулись интересной тензорной величиной, а именно

называемой тензором инерции твердого тела. Кроме того, мы выяснили, что привычный из курса теоретической механики момент инерции твердого тела, при его вращении вокруг неподвижной оси, получается из тензора инерции с помощью простой формулы

Рассмотрим подробнее свойства тензора инерции твердого тела. И для начала изучим механические величины, вычисление которых, так же как и приведение сил инерции к данному центру, приводит к понятию тензора инерции.

1. Момент количества движения твердого тела при вращении

Моментом количества движения материальной точки (МКД) относительно данного центра $inline_formula$ называют вектор, равный

Для твердого тела, при вращении вокруг полюса МКД элементарного объема

или в тензорной форме

Интегрируя (3) получим МКД твердого тела относительно центра $inline_formula$

В соответствии с (4), тензор инерции есть линейный оператор, связывающий МКД твердого тела с его угловой скоростью.

2. Кинетическая энергия твердого тела при вращении

Кинетическая энергия элементарного объема тела

что эквивалентно тензорному соотношению

Интегрируя последнее выражение по всему объему тела получаем выражение кинетической энергии

В выражении (5), как видно, снова фигурирует тензор инерции $inline_formula$ . При вращении тела вокруг неподвижной оси, в соответствии с выражением угловой скорости через конечный поворот тела $inline_formula$ выражение (5) трансформируется в

Формула (6) — кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении, а $inline_formula$ , в соответствии с (2), момент инерции тела относительно оси, задаваемой ортом $inline_formula$ .

3. Ковариантный тензор инерции

Легко показать, что тензор (1) не является симметричным. Однако, в декартовых координатах тензор инерции есть симметричный тензор, и исходя из этого факта выводятся все основные его свойства. Вместе с тем, мы не могли не заметить, что в выражениях (2) и (5) фигурирует величина вида

Полученный тензор (7) является симметричным ковариантным тензором 2-го ранга, так как нетрудно убедится в справедливости равенства $inline_formula$ . Будем называть тензор (7) ковариантным тензором инерции. С учетом выражения (7) можно переписать выражение (2) для осевого момента инерции через контравариантные компоненты орта оси вращения

Автор не встретил в литературе только что введенного термина, но поскольку из симметричности (7) вытекают все основные свойства тензора инерции, ввод данного понятия, как будет показано ниже, вполне оправдан.

4. Собственные числа и собственные векторы ковариантного тензора инерции

Покажем, для начала, что тензор (7), в силу своей симметричности, имеет действительные собственные значения. Пусть $inline_formula$ — произвольное собственное число, которому соответствует собственный вектор $inline_formula$ . Тогда справедливо соотношение

Допустив комплексные собственные числа и собственные векторы, умножим (9) слева на сопряженнй собственный вектор

Выполним комплексное сопряжение (10)

Здесь мы учитываем что компоненты (7) — действительные числа, а значит операция сопряжения эквивалентна транспонированию. Так как тензор (7) симметричный, $inline_formula$ , то есть, с учетом (10)

или, окончательно

Равенство (12) справедливо, если $inline_formula$ — действительное число.

Так как тензор (7) представлен матрицей в трехмерном пространстве, он имеет три действительных собственных числа $inline_formula$ , которым соответствуют действительные же собственные векторы $inline_formula$ , соответственно, можно записать тензорные соотношения

Умножим скалярно каждое из уравнений (13) на соответствующий собственный вектор

Поделив обе части уравнений (14) на квадрат модуля соответствующего собственного вектора, получим

Очевидно, что

контравариантные компоненты некоторых ортов. Значит в (15), согласно (8), в качестве собственных чисел ковариантного тензора инерции, представлены моменты инерции тела относительно осей $inline_formula$ и $inline_formula$

Кроме того, собственные векторы $inline_formula$ и $inline_formula$ образуют ортогональную тройку векторов. Действительно, проведем цепочку преобразований, с участием любой пары собственных векторов

Учитывая, что $inline_formula$ , получаем условие

которое, в силу того, что в общем случае $inline_formula$ , справедливо, когда скалярное произведение собственных векторов равно нулю

Это означает, что $inline_formula$ . Повторяя доказательство для любой пары собственных векторов, получим, что они действительно ортогональны друг другу.

5. Главные оси и главные моменты инерции твердого тела

По результатам предыдущего параграфа можно сказать, что с твердым телом связана ортогональная система координат, оси которой $inline_formula$ и $inline_formula$ направлены вдоль собственных векторов ковариантного тензора инерции. В этих осях, в соответствии с определением собственных значений, ковариантный тензор инерции приводится к диагональному виду

В диагонали стоят моменты инерции, вычисляемые по формулам (17). Эти моменты инерции называют главными моментами инерции твердого тела, а оси, направление которых задается векторами $inline_formula$ и $inline_formula$ — главными осями инерции.

6. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Предположим, что нам известен центральный (вычисленный относительно центра масс тела) тензор инерции $inline_formula$ . Допустим, что мы хотим вычислить тензор инерции относительно точки $inline_formula$ , отстоящей от центра масс в направлении известного вектора $inline_formula$ . В этом случае радиус-вектор элементарного объема тела относительно точки $inline_formula$ можно определить как сумму

где $inline_formula$ — радиус вектор элементарного объема тела относительно центра масс

Подставим (18) в (1)

Здесь мы учитываем, что интегралы вида

задают положение центра масс тела относительно центра масс, то есть равны нулю. Окончательно получаем выражение для тензора инерции

определяющее тензор инерции относительно произвольной точки $inline_formula$ через тензор инерции относительно центра масс. Выражение (19) называют теоремой Гюйгенса-Штейнера. Приведенное доказательство этой теоремы выполнено в самой общей форме.

7. Тензор инерции в декартовых координатах

В декартовых координатах метрика задается единичной матрицей, то есть формально

В этом случае совпадают выражения для тензора инерции и ковариантного тензора инерции

Поэтому в декартовых координатах симметричен и тензор инерции, и для него справедливы вышеперечисленные свойства, связанные с собственными значениями и собственными векторами. В декартовых координатах тензор инерции представляется матрицей

или

где диагональные элементы называют осевыми моментами инерции, а прочие элементы — центробежными моментами инерции.

Заключение

Материал данной статьи — авторская работа. В литературе господствует подход к изучению тензора инерции связанный с использованием декартовых координат. Нами же рассмотрен самый общий подход и мы убедились, что свойства тензора инерции и теорема Гюйгенса-Штейнера могут быть получены в произвольных координатах. Все приведенные в статье формулы переходят в общеизвестные из курса теоретической механики при использовании декартовой метрики.

Upd: Нашел упоминание о ковариантном тензоре инерции на каком-то богом забытом сайте. Что ж, это подтверждает идею, использованную мной в данной статье

Продолжение следует...

Магия тензорной алгебры: Часть 16 — Свойства тензора инерции твердого тела