Не совсем так. Бот отвечал, но с задержкой. Причина была в следующем (вроде поправил) — если сервер не отвечает Telegram'у кодом 200, то Telegram начинает отправлять повторные запросы серверу снова и снова (вроде до 100 запросов — в документации с webhook этот вопрос как-то не очень хорошо описан). Таким образом, если возникает ошибка с запросом одного пользователя, то ответы на запросы всех других пользователей начинают тормозить. Ошибку в ответе вроде поправил — теперь все должно быть хорошо.
Какую идею? Если идея заключается в том, чтобы показывать данные Google Analytics оперативно и сразу нескольким участникам какого-либо чата, то да, возможно — про Statsbot слышал, как он работает смотрел. Если идея в том, чтобы реализовать это в Telegram, то нет.
Можно, но он виден не будет на маленьких устройствах. Можно указать id view вручную, /setview id (посмотреть можно в Google Analytics Admin page, выбрать свой проект, и нажать на View Settings, оттуда нужен View ID).
Google Analytics в Telegram