Comments 9
Переводя на русский язык имеем: Иван загадал точек на плоскости, а Мария, имея эту информацию, должна придумать функцию, которая (по меньшей мере) будет проходить через все эти точки. В рамках текущей статьи наша задача сводится к помощи Алисе окольными путями.
«Почему окольными путями?» — спросите вы.
Почему Алисе?
В силу того, что расчет набора a,b,c,d… в зависимости от выбора функций находится за разное время (сравните логарифмическую и радикальную формы), то, разумеется, один быстрей, другой медленнее. Поэтому ваше предположение верно.
В конце статьи также приведен графический способ применения (можно также попробовать перенести алгоритм в трехмерное пространство).
Биекция — слишком сильное ограничение. Тем более, вы потом используете квадрат, а он не биективный. Я думаю, раз статья нестрогая, хватило бы слов о том, что система, о которой вы пишете, не всегда имеет решения. И кратко показать пару разных случаев.
… некоторое кол-во интерполяционных многочленов уже, разумеется, существует. Оные полиномы как раз предназначены для решения искомой задачи. Среди них особенно известны такие как полином Лагранжа и Ньютона.
Интерполяционный многочлен единственный для данного набора точек. Это прямо следует из условия что для n точек используется многочлен (n-1)-ой степени — в таком случае все коэффициенты однозначно определяются решением системы линейных уравнений для всех точек (x, y). Многочлены Лагранжа и Ньютона — это просто две разных формулировки такого решения в общем виде. Подчеркну, многочлены Лагранжа и Ньютона — это на самом деле один и тот же многочлен. Это я всё к тому, что фраза про "некоторое кол-во интерполяционных многочленов" — бессмысленна, интерполяционный многочлен — очень конкретное понятие.
Кроме того, замечу, что заголовок статьи тоже довольно бессмысленный. Не может быть "многочлена на произвольных функциях". Многочлен с одной переменной — это всегда линейная комбинация степенных функций с целыми неотрицательными показателями по определению. Выражение
f(x) = a lg(x+x₁) + b lg(x+x₂) +… + d
многочленом не является. Вы решаете задачу интерполяции линейной комбинацией произвольных функций, многочлены тут несколько ни при чём.
Интерполяционный многочлен на произвольных функциях