К читателю
Несмотря на некоторое количество умных слов и фамилий, статья вполне доступна восприятию нематематика. Несмотря на провокационность заголовка, статья не является фрической. Читайте на здоровье.
Пролог
Начало двадцатого века было богато на революции — как политические, так и научные. Например, тогда полным ходом шла аксиоматизация математики. Происходила она бурно, драматично. «Наивную теорию множеств» Кантора похоронил парадокс Рассела, ограниченность аксиоматики Цермело-Френкеля показала — уже в тридцатых годах — теорема Гёделя о неполноте.
В физике революцию произвела специальная теория относительности. Открытие Эйнштейна, основанное на работах Максвелла, Лоренца и других учёных, постулировало некоторые контринтуитивные свойства физической реальности, в частности — лоренцево сложение скоростей. Оказалось, что если бегун Б движется в ту же сторону, что пешеход П, скорость П относительно земли составляет 2 м/с, а скорость Б относительно П составляет 5 м/с, это не означает, что скорость Б относительно земли равняется 7 м/с. Согласно релятивистской физике, скорость Б будет приблизительно 6,9999998 м/с. Небольшое различие для практических задач, но огромное — с точки зрения мировосприятия. Оказалось, что величины, которые раньше складывали, словно яблоки, нельзя сложить подобным образом.
Нельзя сказать, что в середине или конце двадцатого века революций стало меньше. Скорее они стали обыденны. Ситуация, когда рушатся основания науки, из экстраординарной превратилась в ожидаемую. В основаниях математики с тех пор произошло ещё несколько «микрореволюций» — например, «нестандартный анализ» Робинсона (о котором я надеюсь ещё написать отдельную статью). А некоторые революции назревали, но так и не случились. Об одной из них и пойдёт мой рассказ.
Как я чуть не стал фриком
Одна из первых моих мыслей после шапочного знакомства с СТО была такая: а что, если со сложением скоростей — это как раз нормальное, «правильное» сложение, а наше, «обычное» арифметическое сложение — конструкт, не имеющий отношения к реальности? На небольших величинах лоренцево сложение практически неотличимо от обычного. Что, если оно действует и в других областях? Например, если мы нальём в ведро сначала два литра воды, а затем ещё пять, вдруг мы получим не семь литров, а шесть с шестью девятками и одной восьмёркой после запятой? Или иную величину, в зависимости от того, что в данном случае считать «скоростью света».
Впрочем, объём воды — сложная штука. Он зависит от температуры, подвержен (чисто теоретически, с исчезающе малыми вероятностями, но всё же) случайным флюктуациям, а если перейти в микромасштаб, становится вообще непонятно, как его измерять. Но что, если релятивизм прокрался в святая святых — в сам натуральный ряд? Допустим, вдруг существует такая большая куча яблок, что добавление ещё одного не изменит количество яблок в ней?
Когда я познакомился (опять же, шапочно) с квантовой физикой, это дало новую почву для моих размышлений. При определёных условиях электрон может оказаться в двух местах одновременно. Быть может, дело не в каком-то непонятном корпускулярно-волновом дуализме, а в том, что единица при некоторых условиях равняется двум?
Я очень гордился широтой и нестандартностью своей мысли.1
Записи в блокноте
Так называется рассказ Хулио Кортасара, написанный в 1980 году, раньше моего рождения и задолго до того, как я обрёл способность рассуждать о свойствах натуральных чисел. Он начинается с того, что в метро Буэнос-Айреса обнаружилось несоответствие числа входящих и выходящих пассажиров: покинувших метро оказалось на 4 меньше, чем вошедших. Был проведён тщательный поиск, но ни пассажиров, ни каких-либо указаний на то, как или куда они исчезли, не было обнаружено. Главному герою это обстоятельство показалось пугающим.
… меня удерживала на поверхности одна достойная внимания теория Луиса М. Бодиссона. Как-то полушутя я упомянул при нем о том, что рассказал мне Гарсиа Боуса, и как возможное объяснение этого явления он выдвинул теорию некой разновидности атомного распада, могущего произойти в местах большого скопления народа. Никто никогда не считал, сколько людей выходит со стадиона «Ривер-Плейт» в воскресенье после матча, никто не сравнивал эту цифру с количеством купленных билетов. Стадо в пять тысяч буйволов, которое несется по узкому коридору, — кто знает, их выбежало столько же, сколько вбежало? Постоянные касания людей друг о друга на улице Флорида незаметно стирают рукава пальто, тыльную сторону перчаток. А когда 113 987 пассажиров набиваются в переполненные поезда и их трясет и трет друг о друга на каждом повороте или при торможении, это может привести (благодаря процессу исчезновения индивидуального и растворению его во множественном) к потере четырех единиц каждые двадцать часов.Не стану пересказывать дальнейшия сюжет рассказа, он выходит за рамки данной статьи. Так или иначе, я получил очередное подтверждение того, что если мне в голову пришла интересная мысль, то я определённо не первый, кому она пришла в голову.
О догмате натурального ряда
Буквально прошлой ночью я закончил читать «Апологию математики» В. А. Успенского. Весьма любопытный сборник статей, предназначенный для гуманитариев, однако касающийся также вопросов философии математики, интересных и человеку, отличающему производную от дифференциала. В частности, там был процитирован вышеупомянутый рассказ Кортасара и поднят вопрос о возможности того, что Натуральный ряд (заглавная буква авторская) неизоморфен натуральным числам Пеано. А в самом конце сборника располагалась короткая статья П. К. Рашевского «О догмате натурального ряда», написанная в 1973 году. Интересно, читал ли её Кортасар?
Рашевский пишет:
Процесс реального счета физических предметов в достаточно простых случаях доводится до конца, приводит к однозначно определенному итогу (число присутствующих в зале, например). Именно эту ситуацию берет за основу теория натурального ряда и в идеализированном виде распространяет ее «до бесконечности». Грубо говоря, совокупности большие предполагаются в каком-то смысле столь же доступными пересчету, как и малые и со столь же однозначным итогом, хотя бы реально этот пересчет и был неосуществим. В этом смысле наше представление о натуральном ряде похоже на зрительное восприятие панорамы, скажем, панорамы какого-либо исторического сражения. На первом плане на реальной земле расположены реальные предметы: разбитые пушки, расщепленные деревья и т.п.; затем все это незаметно переходит в раскрашенный холст с точным расчетом на обман даже очень внимательного глаза.Далее он рассуждает о гипотетический свойствах «математической теории нового типа». Статья очень короткая, и интересующиеся могут прочесть её лично.
Настоящее
Предсказания Рашевского (пока) не сбылись. Проблема, в общем-то, не в том, чтобы построить «новый натуральный ряд», проблема в том, чтобы это построение было содержательным, привело к каким-то новым результатам или упростило старые (метафорически выражаясь, «сделало релятивистскую механику классической»). Таких теорий (пока) нет.
Однако при желании каждый, кто читает эту статью, может лично познакомиться с «неклассическими» натуральными числами. По крайней мере, каждый, кто читает её в десктопном браузере.
Откройте инструменты разработчика (F12), выберите вкладку «Консоль» и введите туда следующее:
var n = Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1;
console.log(
n,
Number.isInteger(n),
n === n + 1
);
Консоль ответит вам:
9007199254740992 true true— что означает, что число n является натуральным и при этом равняется самому себе плюс единица. Разумеется, только с точки зрения JavaScript. И всё же хотя бы в браузере такая куча яблок существует.
Примечания
1 Самоирония
