Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 53
На самом деле ошибка уже в самом начале.
Обозначим бесконечно малую часть как «o», она равна 1-0,(9)С чего бы это? Главный вопрос именно в этом. А не в дальнейших «вычислениях», потому что и без них заведомо известно, что ваше «o» равно строго 0, потому что 0,(9) равно строго 1. Это, емнип, школьная (ну или может факультативно-школьная) программа.
Вспомнил, кстати, даже у близзарда в пресс-релизах было)
us.blizzard.com/en-us/company/press/pressreleases.html?id=2843583
us.blizzard.com/en-us/company/press/pressreleases.html?id=2843583
Обозначим Sn — сумму из n+1 элементов. 1 — Sn(0,9 * 0,1^n) (1 — сумма: 0,9 + 0,09 + 0,009 +… + 0,9*0,1^n) = 0,<n нулей>1. Если устремить n в бесконечность, то получится 0,<бесконечное число нулей>1. Этот предел и обозначен бесконечно малым. В пределе, при n стремящемуся к бесконечности, эта последовательность (0,<n нулей>1) стремится к нулю, но она не равна нулю.
0,(9) равно строго 1. Это, емнип, школьная (ну или может факультативно-школьная) программа.Одна из целей — показать что не стоит доверять даже школьным формулам, воспринимаемым аксиоматически, поскольку в них могут делаться допущения, которые верны лишь в некоторых условиях и при некотором приближении. Ещё один пример упрощённой формулы G = mg. Печально, но у некоторых и со школьной программой проблемы. 0,(9) не равно строго 1.
0,(9) не равно строго 1
Равно. Это разные записи одного и того же числа.
стремится к нулю, но она не равна нулю.
В ваши рассуждениях стремится к нулю не 0,(9), а некая последовательность 0,9; 0,99; 0,999;… Эта последовательность, что любопытно, не содержит само число 0,(9). Оно появится в ней в пределе.
Печально, но у некоторых и со школьной программой проблемы.Печально, что вы до конца не разобрались даже с довольно примитивным употреблениями пределов, а так безапеляционно тут рассуждаете)
Ещё один пример упрощённой формулы G = mg.Упрощённая относительно чего? В любом случае физические законы неудачный пример в данном контексте, здесь то математика и неоднозначностей тут не наблюдается, 0,(9) без всяких стремлений равно единице. Непонятно о чём вы спорить пытаетесь.
то получится 0,<бесконечное число нулей>1Даже если вас не устраивает более простые «доказательства» 0,(9)=1, одно из которых ниже приведено, то и в данном случае всё очень просто: «0,<бесконечное число нулей>1» является синонимом «0,<бесконечное число нулей>» по довольно очевидным причинам и определению бесконечной последовательности.
Даже если вас не устраивает более простые «доказательства» 0,(9)=1, одно из которых ниже приведеноДа, есть ветка в которой есть доказательство, которое приведено ниже. Я на него отвечаю, что допускаю, что в школьной логике оно не вызывает противоречий, но с точки зрения университетской в нём есть пробелы и оно верно только в пределе. Объясняю почему. Если вам есть что добавить, пишите пожалуйста в ту ветку. Незачем флудить.
Вот почему вы такие зашореные.
Если отнимать в столбик два числа 1 и 0,(9) получится что-то вроде 0,(0)1. Заметим в скобках находится бесконечное но ИСЧИСЛИМОЕ количество НУЛЕЙ. Значит мы имеем право так записывать согласно алгебраическим законам.
Да это противоречит принятым (нет не законам) скорее соглашениям алгебры о равенстве 1 и 0,(9). Но догма ли это.
Возьмем число 0,9(9) оно же равно 0,(9). Теперь передвинем скобки на первую девятку 0,(9)9 и оно тоже равно 0,(9).
А теперь сумируем 0,(9)9 + 0,(0)1 равно 1,(0)0.
P.S. А теперь найдите ошибку у меня. :)
Если отнимать в столбик два числа 1 и 0,(9) получится что-то вроде 0,(0)1. Заметим в скобках находится бесконечное но ИСЧИСЛИМОЕ количество НУЛЕЙ. Значит мы имеем право так записывать согласно алгебраическим законам.
Да это противоречит принятым (нет не законам) скорее соглашениям алгебры о равенстве 1 и 0,(9). Но догма ли это.
Возьмем число 0,9(9) оно же равно 0,(9). Теперь передвинем скобки на первую девятку 0,(9)9 и оно тоже равно 0,(9).
А теперь сумируем 0,(9)9 + 0,(0)1 равно 1,(0)0.
P.S. А теперь найдите ошибку у меня. :)
Ладно, приму вашу игру, правда она тут затянулась немного
2. в целом написан абсурд, 0,(0)1 = 0,(0)
0,(9)9 + 0,(0)1 = 1,(0)0
потому что
1+0=1
Если отнимать в столбик два числа 1 и 0,(9) получится что-то вроде 0,(0)1. Заметим в скобках находится бесконечное но ИСЧИСЛИМОЕ количество НУЛЕЙ. Значит мы имеем право так записывать согласно алгебраическим законам.1. совсем неочевидное «значит», нужно пояснить
2. в целом написан абсурд, 0,(0)1 = 0,(0)
скорее соглашениям алгебры о равенстве 1 и 0,(9). Но догма ли это.Примерно также как есть соглашение в алгебре, что 2+2=4. Нигде это не прописано 2+2=4 как догма, просто выводится из миллиона других непротиворечивых само- и взаимно-очевидных правил. Можно тысячью способами доказать, что 2+2=4, также можно тысячью способов доказать, что 1=0,(9). И ни одним, что не равно.
Возьмем число 0,9(9) оно же равно 0,(9). Теперь передвинем скобки на первую девятку 0,(9)9 и оно тоже равно 0,(9).Здесь нет ошибки, вы всё верно написали, именно так:
А теперь сумируем 0,(9)9 + 0,(0)1 равно 1,(0)0.
P.S. А теперь найдите ошибку у меня. :)
0,(9)9 + 0,(0)1 = 1,(0)0
потому что
1+0=1
Круто.
А теперь ответ на простой вопрос 0,(0)1 больше 0,(0)0 или может быть меньше или равно. Или все вместе. Математический ПАРАДОКС.
Только не надо упиратся в ваши 0,(9) = 1 и 0,(0)1 = 0 = 0,(0)0 Вы сами себе противоречите.
А теперь ответ на простой вопрос 0,(0)1 больше 0,(0)0 или может быть меньше или равно. Или все вместе. Математический ПАРАДОКС.
Только не надо упиратся в ваши 0,(9) = 1 и 0,(0)1 = 0 = 0,(0)0 Вы сами себе противоречите.
0,01 > 0,00
0,001 > 0,000
…
0,(0)1 > 0,(0)0 и это правильно именно потому, что нулей в скобках ИСЧИСЛИМОЕ количество.
Я по этой теме написал курсак на мат.факультете. Получилась «алгебра исчислимо точных чисел» — так курсак назвал. Только она имеет отношение к алгебре действи́тельных числел, такое же как алгебра комплексных. Если дествительные числа это круг замкнутый на бесконечности, то «исчислимо точные числа» это множество кругов пересекающих круг действительных чисел в каждой точке.
Фактически в алгебре действи́тельных чисел числа округливаются к исчислимому знаку.
Потому и 0,(9)=1 — оно оруглилось к единице в рамках алгебры.
0,001 > 0,000
…
0,(0)1 > 0,(0)0 и это правильно именно потому, что нулей в скобках ИСЧИСЛИМОЕ количество.
Я по этой теме написал курсак на мат.факультете. Получилась «алгебра исчислимо точных чисел» — так курсак назвал. Только она имеет отношение к алгебре действи́тельных числел, такое же как алгебра комплексных. Если дествительные числа это круг замкнутый на бесконечности, то «исчислимо точные числа» это множество кругов пересекающих круг действительных чисел в каждой точке.
Фактически в алгебре действи́тельных чисел числа округливаются к исчислимому знаку.
Потому и 0,(9)=1 — оно оруглилось к единице в рамках алгебры.
Скажу абстрактнее:
Вы записываете число 0,(0)1 в развернутом виде.
1. Пишем «0»;
2. Пишем ",";
3. Далее напротяжении бесконечного времени пишем «0»;
4. Когда бесконечное время кончилось вы записали 0,(0) но еще не успели записать ту самую «1»;
5. 0,(0) = 0. (На этом месте кончается вещественная математика);
6. Но если вийти на секунду за пределы бесконечного времени вы успеете записать еще «1»;
И число примет свой «исчислимо точный» вид. 0,(0)1 > 0
Вы записываете число 0,(0)1 в развернутом виде.
1. Пишем «0»;
2. Пишем ",";
3. Далее напротяжении бесконечного времени пишем «0»;
4. Когда бесконечное время кончилось вы записали 0,(0) но еще не успели записать ту самую «1»;
5. 0,(0) = 0. (На этом месте кончается вещественная математика);
6. Но если вийти на секунду за пределы бесконечного времени вы успеете записать еще «1»;
И число примет свой «исчислимо точный» вид. 0,(0)1 > 0
Это не мы сами себе противоречим, а вы «тихой сапой» изменили используемую аксиоматику и не сказали об этом. Да, такие «исчислимо точные» числа имеют шансы на жизнь — но ведь все кроме вас говорили о числах действительных!
Теперь по поводу того, почему «исчислимо точные» числа никем не используются. Их свойства отличаются от свойств действительных чисел, и многие удобные математические законы тут не работают.
Верно ли, что, в вашем понимании, 0,(0)1 = 0,(0)01?
Если верно — то мигом получаем парадокс:
0,(0)2 = 0,(0)1 + 0,(0)1 = 0,(0)1 + 0,(0)01 = 0,(0)11
Если же неверно — то предлагаю вычислить вот это:
0,(0)9 + 0,(0)1
Разумеется, из такой ситуации все еще можно «выкрутиться». Но, в любом случае, часть удобных математических законов при этом будет потеряна.
PS а вы в своем «курсаке» рассмотрели такие числа как 0,((0)1) или, скажем, 0,((0))1? А если число скобок также будет счетно — как такое число записывать?
Теперь по поводу того, почему «исчислимо точные» числа никем не используются. Их свойства отличаются от свойств действительных чисел, и многие удобные математические законы тут не работают.
Верно ли, что, в вашем понимании, 0,(0)1 = 0,(0)01?
Если верно — то мигом получаем парадокс:
0,(0)2 = 0,(0)1 + 0,(0)1 = 0,(0)1 + 0,(0)01 = 0,(0)11
Если же неверно — то предлагаю вычислить вот это:
0,(0)9 + 0,(0)1
Разумеется, из такой ситуации все еще можно «выкрутиться». Но, в любом случае, часть удобных математических законов при этом будет потеряна.
PS а вы в своем «курсаке» рассмотрели такие числа как 0,((0)1) или, скажем, 0,((0))1? А если число скобок также будет счетно — как такое число записывать?
0,(0)1 = 0,(0)01 потому, что 1 = 01.
Здесь вы отошли от прадигмы:
Здесь 0,(0)1 + 0,(0)1 = 0,(0)1 + 0,(0)01 равно 0,(0)2, а 0,(0)11 = 0,(0)10 + 0,(0)1
Потому что число после "(0)" такое же ка и после «i» в комплексных.
Сумируется отдельно действительная часть и «малая» часть (0,0+ 0,0) (0) (01 + 1) = 0,(0)2.
А сдесь все как и должно быть:
равно 0,(0)10.
P.S.
0,((0)1) — не соответсвует форме «исчислимо точных» чисел. Подумайте как вы его получили — это фантазия.
0,((0))1 — тоже се соответствует форме. Но в принципе это тоже самое что 0,(0)1.
Но можно пойти дальше:
Если 1 / 0,(0)1 получится исчислимо большое 1(0).
1(0) * 0,(0)1 = 1
0,(0)1 * 0,(0)1 = 0,(0)0(0)1 — а вот это число второго порядка.
1(0)*1(0) = 1(0)0(0) — это тоже число второго порядка.
1,(0)0(0)1+1(0)0,(0)1 = 1(0)1,(0)1(0)1
P.P.S. Но к чему я веду, человек в статье вел речь о пустоте. Но исходил он из принятых догм вещественных чисел. Фактически он в плотную подошел, но не сумел расширить модель. Хотя нужно было просто создать новую расширенную алгебру, например «исчислимо точных» чисел. Я не говорю, что она идеальная — но она полная, в алгебраичеких понятиях.
Здесь вы отошли от прадигмы:
Если верно — то мигом получаем парадокс:
0,(0)2 = 0,(0)1 + 0,(0)1 = 0,(0)1 + 0,(0)01 = 0,(0)11
Здесь 0,(0)1 + 0,(0)1 = 0,(0)1 + 0,(0)01 равно 0,(0)2, а 0,(0)11 = 0,(0)10 + 0,(0)1
Потому что число после "(0)" такое же ка и после «i» в комплексных.
Сумируется отдельно действительная часть и «малая» часть (0,0+ 0,0) (0) (01 + 1) = 0,(0)2.
А сдесь все как и должно быть:
Если же неверно — то предлагаю вычислить вот это:
0,(0)9 + 0,(0)1
равно 0,(0)10.
P.S.
0,((0)1) — не соответсвует форме «исчислимо точных» чисел. Подумайте как вы его получили — это фантазия.
0,((0))1 — тоже се соответствует форме. Но в принципе это тоже самое что 0,(0)1.
Но можно пойти дальше:
Если 1 / 0,(0)1 получится исчислимо большое 1(0).
1(0) * 0,(0)1 = 1
0,(0)1 * 0,(0)1 = 0,(0)0(0)1 — а вот это число второго порядка.
1(0)*1(0) = 1(0)0(0) — это тоже число второго порядка.
1,(0)0(0)1+1(0)0,(0)1 = 1(0)1,(0)1(0)1
P.P.S. Но к чему я веду, человек в статье вел речь о пустоте. Но исходил он из принятых догм вещественных чисел. Фактически он в плотную подошел, но не сумел расширить модель. Хотя нужно было просто создать новую расширенную алгебру, например «исчислимо точных» чисел. Я не говорю, что она идеальная — но она полная, в алгебраичеких понятиях.
0,1 = 0,10
0,01 = 0,010
0,001 = 0,0010
…
и вдруг 0,(0)1 не равно 0,(0)10?
Где логика?
Почему же? Надо всего лишь записать бесконечность нулей, потом записать единицу — и так повторять бесконечность раз.
Почему это вдруг то же самое? Первое число намного меньше второго.
0,01 = 0,010
0,001 = 0,0010
…
и вдруг 0,(0)1 не равно 0,(0)10?
Где логика?
0,((0)1) — не соответсвует форме «исчислимо точных» чисел. Подумайте как вы его получили — это фантазия.
Почему же? Надо всего лишь записать бесконечность нулей, потом записать единицу — и так повторять бесконечность раз.
0,((0))1 — тоже се соответствует форме. Но в принципе это тоже самое что 0,(0)1
Почему это вдруг то же самое? Первое число намного меньше второго.
Исчислимые числа — числа вида а(0)b.
(0) это указание исчислимого множества нулей, оно не может быть дважды-трижды исчислимо.
Свойства исчислимого(счетного) множества согласно Википедии, если вы туда неудосужились зайти:
— Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).
— Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.
— Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
— Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
— Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.
Вывели мы их похожим методом, как и выведены комплексные. В коплексных числах взяли корень -1, по вашей логике «а почему не корень с -10».
Логика именно в сохранении адитивности.
a,(0)b + c,(0)d = (a+с),(0)(b+d)
Иначе не будет алгебры.
Согласен. В принципе это уже «исчислимое» число бесконечного порядка. Сумирование будет что-то вроде
0,(0)1 + 0,((0)1) = 0,(0)1((0)1)
(0) это указание исчислимого множества нулей, оно не может быть дважды-трижды исчислимо.
Свойства исчислимого(счетного) множества согласно Википедии, если вы туда неудосужились зайти:
— Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).
— Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.
— Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
— Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
— Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.
Вывели мы их похожим методом, как и выведены комплексные. В коплексных числах взяли корень -1, по вашей логике «а почему не корень с -10».
Логика именно в сохранении адитивности.
a,(0)b + c,(0)d = (a+с),(0)(b+d)
Иначе не будет алгебры.
Почему же? Надо всего лишь записать бесконечность нулей, потом записать единицу — и так повторять бесконечность раз.
Согласен. В принципе это уже «исчислимое» число бесконечного порядка. Сумирование будет что-то вроде
0,(0)1 + 0,((0)1) = 0,(0)1((0)1)
Поправка:
0,(0)1 + 0,((0)1) = 0,(0)2((0)1)
0,(0)1 + 0,((0)1) = 0,(0)2((0)1)
(0) это указание исчислимого множества нулей, оно не может быть дважды-трижды исчислимо.Не совсем так. ((0)) было бы строго равно (0) если бы это было неупорядоченное множество. Но поскольку это упорядоченные последовательности, они различаются.
В (0) ω нулей. В числе 0,(0)1 индекс цифры 1 — ω+1
В ((0)) ω2 нулей — и в числе 0,((0))1 индекс цифры 1 — ω2+1
Различаются эти числа, например, в сложении с числом 0,((0)1):
0,(0)1 + 0,((0)1) = 0,(0)2((0)1)
0,((0))1 + 0,((0)1) = 0,((0)1)1
Но как записать число, в котором первая же единица идет под индексом ωω+1? :)
1. Связь между вашими рассуждениями и структурой материи мягко говоря сомнительна, а потому они не могут ни подтвердить, ни опровергнуть бесконечную вложенность материи. Более того, в последнем спойлере вы так и написали. Поэтому непонятно, что вы вообще хотели этим постом сказать. У меня после прочтения так и остался вопрос: причём тут вообще бесконечная вложенность материи? По сути ваш пост — просто изложение одного из доказательств того, что 0,(9)=1.
2. «Это означает, что в какой то момент времени частица дробится на пустоту, и пустота потом тоже дробится на пустоту, и что мир скроен из пустоты.» — Догонит ли Ахиллес черепаху?
3. Вы выделили слово «допускаем» так, будто мы могли бы и не допускать. Да, можно взять другие аксиомы, другие определения, но тогда и получится другая математика. Почти всё в математике — это допущения. Мы допускаем, например, что 1 + 2 = 3. Но мы также могли допустить, что 1 + 2 = 4 (а остальные суммы остались прежними). Конечно, при этом арифметика из простой и логичной превратилась бы в какой-то ад из исключений и запутанных правил, но это всё работало бы кое-как.
4. 0,(9) действительно равно 1, а 0,1 в «бесконечной степени» действительно равно 0 в рамках теории пределов. Можно, конечно, положить, что они равны чему-то ещё, но тогда мы рискуем получить кучу противоречий, которые нужно будет решать вводя исключения из правил, что разрушит стройность математики. В случае 0,1 в бесконечной степени удобно считать, что получится 0. (Вернее, получится такое число, которое меньше любого наперед заданного e>0, среди действительных чисел, о которых мы говорим, — это ноль.)
2. «Это означает, что в какой то момент времени частица дробится на пустоту, и пустота потом тоже дробится на пустоту, и что мир скроен из пустоты.» — Догонит ли Ахиллес черепаху?
3. Вы выделили слово «допускаем» так, будто мы могли бы и не допускать. Да, можно взять другие аксиомы, другие определения, но тогда и получится другая математика. Почти всё в математике — это допущения. Мы допускаем, например, что 1 + 2 = 3. Но мы также могли допустить, что 1 + 2 = 4 (а остальные суммы остались прежними). Конечно, при этом арифметика из простой и логичной превратилась бы в какой-то ад из исключений и запутанных правил, но это всё работало бы кое-как.
4. 0,(9) действительно равно 1, а 0,1 в «бесконечной степени» действительно равно 0 в рамках теории пределов. Можно, конечно, положить, что они равны чему-то ещё, но тогда мы рискуем получить кучу противоречий, которые нужно будет решать вводя исключения из правил, что разрушит стройность математики. В случае 0,1 в бесконечной степени удобно считать, что получится 0. (Вернее, получится такое число, которое меньше любого наперед заданного e>0, среди действительных чисел, о которых мы говорим, — это ноль.)
Поэтому непонятно, что вы вообще хотели этим постом сказать.Изначально было написано, что это пост-головоломка. При помощи него можно потренировать способность мыслить логически и находить противоречия. Очень полезный навык, как мне кажется.
Догонит ли Ахиллес черепаху?В пределе — догонит. Поскольку в школьной программе не изучаются пределы, то делается допущение, что длина последнего шага черепахи равна нулю, чтобы вычисления сошлись. А в примере из поста, делается допущение, что 0,1 в степени бесконечность строго равно нулю. Школьная программа воспринимается многими аксиоматически. Берём это допущение из школьной программы, и получаем, что мир скроен из пустоты.
Вы выделили слово «допускаем» так, будто мы могли бы и не допускать. Да, можно взять другие аксиомы, другие определения, но тогда и получится другая математика. Почти всё в математике — это допущения.Согласен. Но когда в попытке доказать факт, мы вводим факт в аксиоматику, а потом на основе этой и других аксиом доказываем исходный факт, то это никакое не доказательство. Доказывается то, что не содержится в аксиомах. В данном же примере мы изначально ввели в аксиому, что 0,1 в степени бесконечность строго равно нулю. А потом это доказали, не говоря о том, что такая аксиома была введена. Вспомнить о том, что такая аксиома вводилась, можно лишь вспомнив как выводилась формула бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
0,(9) действительно равно 1Наверное я немного слукавил, говоря что в статье используется только математика 9го класса. Да, в статье действительно используется только математика 9го класса :), но чтобы понимать что такое на самом деле 0,(9) нужно знать пределы, а это уже математика 1го курса университета. Ну или можно прочитать последний спойлер, там есть разъяснение.
причём тут вообще бесконечная вложенность материи?Физика описывается математикой. В данной статье было математическое доказательство, что мир состоит из пустоты. В доказательстве была ошибка. Читателю предлагалось её найти.
Ну, раз пост шуточный, то часть претензий снимается. :)
Не обязательно.
Пусть x = 0,(9).
10x = 9,(9) = 9 + 0,(9) = 9 + x;
9x = 9;
x = 1.
Описывается, да. Но все математические выкладки опираются на наблюдаемые результаты.
но чтобы понимать что такое на самом деле 0,(9) нужно знать пределы
Не обязательно.
Пусть x = 0,(9).
10x = 9,(9) = 9 + 0,(9) = 9 + x;
9x = 9;
x = 1.
Физика описывается математикой.
Описывается, да. Но все математические выкладки опираются на наблюдаемые результаты.
все математические выкладки опираются на наблюдаемые результаты
На самом деле, не всегда так. Бывает (и довольно часто), что берётся наугад какая то аксиома, на основании неё при помощи математики строится теория, а только потом уже на практике проверяют, сходится теория с практикой или нет. Например, один учёный высказал идею, что свет обладает волновой природой. Почти тут же другой учёный в зале встал и сказал, что в таком случае при смешении жёлтого и зелёного света получается такой то свет. И последующие опыты это подтвердили. То есть частенько математические выкладки идут впереди наблюдаемых результатов, и наблюдаемыми результатами лишь подтверждаются. А необходимость в этих математических выкладках появляется, потому что предыдущие математические выкладки в некоторых опытах перестали подтверждаться наблюдаемыми результатами.
Не обязательно.
Пусть x = 0,(9).
10x = 9,(9) = 9 + 0,(9) = 9 + x;
9x = 9;
x = 1.
С чего вдруг? Как вы так лихо перешли к 9x = 9? Более того, у вас получилось противоречие, так что 0.(9) без предела единице не равен.
Как вы так лихо перешли к 9x = 9?
10x = 9,(9) = 9 + 0,(9) = 9 + x;
10x = 9 + x;
9x = 9.
Более того, у вас получилось противоречие
В какой строке?
Он утверждает, что
lim(10x)=lim(9+x)=lim(9) + lim(x)=9+lim(x).
lim(10x)-lim(x)=9
lim(10x-x)=9
lim(9x)=9
9*lim(x)=9
lim(x)=1
Вообще, тут операции над пределами делаются также, как над обычными числами, что на самом деле неверно. lim(a*b) не всегда равно lim(a)*lim(b). Однако в данном случае по счастливому стечению обстоятельств «a» оказывается константой и рассуждения получаются верными.
Вообще, я допускаю, что в школьной логике 0,(9)=1 не вызывает противоречий. Потому что они ввели аксиому, что последний шаг ахиллесовой черепахи будет длиной 0, чтобы вычисления сошлись и сумма бесконечной геометрической прогрессии посчиталась. Иными словами, допущение, что 0,1 в степени бесконечность равно 0. Теория пределов таких допущений не делает и оказывается более точной, например, когда нужно посчитать предел произведения двух выражений.
lim(10x)=lim(9+x)=lim(9) + lim(x)=9+lim(x).
lim(10x)-lim(x)=9
lim(10x-x)=9
lim(9x)=9
9*lim(x)=9
lim(x)=1
Вообще, тут операции над пределами делаются также, как над обычными числами, что на самом деле неверно. lim(a*b) не всегда равно lim(a)*lim(b). Однако в данном случае по счастливому стечению обстоятельств «a» оказывается константой и рассуждения получаются верными.
Вообще, я допускаю, что в школьной логике 0,(9)=1 не вызывает противоречий. Потому что они ввели аксиому, что последний шаг ахиллесовой черепахи будет длиной 0, чтобы вычисления сошлись и сумма бесконечной геометрической прогрессии посчиталась. Иными словами, допущение, что 0,1 в степени бесконечность равно 0. Теория пределов таких допущений не делает и оказывается более точной, например, когда нужно посчитать предел произведения двух выражений.
Он утверждает, чтоВсё перечитал с начала треда и не увидел кто такое утверждает.
lim(10x)=lim(9+x)=lim(9) + lim(x)=9+lim(x).
Вообще, тут операции над пределами делаются такжеКроме вас тут вообще никто не видит и не вводит никаких пределов. 0,(9) это конкретное [действительное] число в виде [периодической] десятичной дроби, операции с которым делаются без всякого матана.
Например, 0.(3) это просто число, строго равное 1/3. Просто другая запись. Его можно сложить, умножить и сделать любые другие операции допустимые над числом 1/3.
Аналогично 0.(9) это просто число. Строго равное 1. Просто другая запись. Его тоже можно сложить, поделить, присвоить иксу или перенести в другую часть примитивного линейного уравнения.
Кроме вас тут вообще никто не видит и не вводит никаких пределов.То что двое утверждают одно, а третий — другое, не означает, что третий не прав. Как я уже говорил, цель этой статьи — потренировать способность мыслить логически и находить противоречия. Если вы не привыкли мыслить логически, всегда ориентируетесь на мнение большинства и считаете, что эта статья ничему не может вас научить, то, пожалуйста, просто проигнорируйте её. Надеюсь, найдутся те, кто вынесет какие то уроки из этой статьи.
Если вы не привыкли мыслить логически, всегда ориентируетесь на мнение большинстваПричём тут мнение большинства? Вы пишете чушь с точки зрения математики (совсем даже неглубокого уровня), вам на это указывают. Зачем-то вводите какие-то пределы, очень смутно представляя что это такое, как оказалось. Вам показывают элементарные уравнения в 10 символов, вы и с ними спорите. «Чтобы понимать что такое на самом деле 0,(9) нужно знать пределы» — ну что вот это за абсурд? Из «Пусть x = 0,(9). 10x = 9,(9) = 9 + 0,(9) = 9 + x;» вы откуда то взяли «Он утверждает, что lim(10x)=lim(9+x)=lim(9) + lim(x)=9+lim(x).» Что это вообще? Вы просто набор букв написали.
То что двое утверждают одно, а третий — другое, не означает, что третий не прав.Разумеется. Но вы неправы не потому, что «двое утверждают одно». Вы неправы, потому что заведомо пишете неправду и пытаетесь спорить с математикой. Если у вас нет цели потроллить тут, то перестаньте позориться и почитайте основы материала, который тут пытаетесь преподнести другим.
Вот скажите, а 0.(3) это тоже «предел»? Оно «стремится» к 1/3? Или равно строго? А 1/3 — «предел»?
Вам непонятно объяснение (про разные способы записи итд) в комментарии на который вы сейчас ответили? Если есть вопросы — мне не лень, я поясню более подробно. Может быть как раз и найдутся те, кто вынесет какие то уроки.
Вам по существу есть что сказать? Какие то противоречия у меня нашли? Какие то аргументы можете привести?
«что вот это за абсурд», «Вы пишете чушь», «Что это вообще? Вы просто набор букв написали», «Вы неправы, потому что заведомо пишете неправду и пытаетесь спорить с математикой.», «перестаньте позориться» «Если есть вопросы — мне не лень, я поясню более подробно» — это всё не аргументы. Это эмоции. Бессмысленное сотрясание воздуха и флуд.
У вас есть один единственный аргумент — что 0,(9) эта другая запись числа 1, и пределы тут ни при чём. А доказать вы это можете? Доказать, не используя формулу убывающей бесконечной геометрической прогрессии. Потому что при выведении этой формулы уже использовалось понятие предела. Или, может быть, вы не согласны, что при выведении этой формулы использовался предел? Приведите аргументы. Мои аргументы вам уже известны.
«что вот это за абсурд», «Вы пишете чушь», «Что это вообще? Вы просто набор букв написали», «Вы неправы, потому что заведомо пишете неправду и пытаетесь спорить с математикой.», «перестаньте позориться» «Если есть вопросы — мне не лень, я поясню более подробно» — это всё не аргументы. Это эмоции. Бессмысленное сотрясание воздуха и флуд.
У вас есть один единственный аргумент — что 0,(9) эта другая запись числа 1, и пределы тут ни при чём. А доказать вы это можете? Доказать, не используя формулу убывающей бесконечной геометрической прогрессии. Потому что при выведении этой формулы уже использовалось понятие предела. Или, может быть, вы не согласны, что при выведении этой формулы использовался предел? Приведите аргументы. Мои аргументы вам уже известны.
Какие то противоречия у меня нашли?
Вы утверждали, что равенство 0,(9)=1 «верно только в пределе». Но дело в том, что 0,(9) — это не последовательность, а сам предел (равный единице). Поэтому нужно говорить о равенстве, а не о равенстве в пределе. Тем более, непонятно, как это равенство может быть верным в пределе, если это два числа. Пределе при чём, стремящемся к чему?
Это, например, одна из претензий.
А доказать вы это можете?
Даже в википедии полдюжины доказательств есть.
Или, может быть, вы не согласны, что при выведении этой формулы использовался предел?
Претензия не к этому.
Спасибо, что привели ссылку на авторитетный источник. Жаль только, что большинство аргументов в этом источнике уже приводилось в этой статье и я на них ответил. По поводу доказательства через формулу бесконечной убывающей прогрессии, я ответил, что при доказательстве этой формулы уже использовались пределы. По поводу доказательства через 10x=9,(9): я ответил, что в этом доказательстве нужно использовать символ предела, потому что 0,(9) — сумма бесконечной последовательности по определению. Ещё по приведённой вами ссылке есть доказательство через пределы. Ну, в этом доказательстве тоже участвуют пределы.
Я советую не полагаются слепо на википедию. Особенно на узкоспециализированные русскоязычные статьи. Они часто получаются в результате перевода половины соответствующей англоязычной статьи, из-за чего недостающие фрагменты можно домыслить как угодно и смысл статьи может измениться до неузнаваемости. А если в переводе ошибки, то становится совсем печально.
Вижу, вы перестали давить собственным авторитетом, и переключились на давление авторитетом википедии. Это, несомненно, прогресс. Но вопрос остаётся открытым. У вас есть что сказать по существу? Привести какие то доводы, аргументы? Указать на противоречия? И не голословно, а с доказательством.
Я советую не полагаются слепо на википедию. Особенно на узкоспециализированные русскоязычные статьи. Они часто получаются в результате перевода половины соответствующей англоязычной статьи, из-за чего недостающие фрагменты можно домыслить как угодно и смысл статьи может измениться до неузнаваемости. А если в переводе ошибки, то становится совсем печально.
Вижу, вы перестали давить собственным авторитетом, и переключились на давление авторитетом википедии. Это, несомненно, прогресс. Но вопрос остаётся открытым. У вас есть что сказать по существу? Привести какие то доводы, аргументы? Указать на противоречия? И не голословно, а с доказательством.
что 0,(9) — это не последовательность, а сам предел (равный единице). Поэтому нужно говорить о равенстве, а не о равенстве в пределе.Во-первых, это голословно. Авторы доказательства алгоритма преобразования периодической дроби в обыкновенную думают иначе. Во-вторых, если есть предел равный единице (с чем вы согласны), то нужно говорить о том, что в пределе эта функция (в данном случае — сумма последовательности) равна одному, а не что функция равна одному.
Пределе при чём, стремящемся к чему?Предел от суммы последовательности, при номере элемента последовательности стремящемуся к бесконечности.
Я ответил, что в этом доказательстве нужно использовать символ предела, потому что 0,(9) — сумма бесконечной последовательности по определению.Там не нужно использовать пределы. 0,(9) это самое простое число (забудьте пока что оно равно 1, этот вопрос не связан с обсуждением ваших пробелов в математике). Оно может быть «суммой последовательности», может быть «числителем», может быть «равно икс», может быть «написано на заборе», от этого оно не перестаёт быть действительным числом, самым обычным. Его можно подставить в любые выражения. И оно может быть результатом выражения.
Давайте по порядку (забудем про вопрос «да причём тут это»): суммой какой «бесконечной последовательности» является число 0,(9).
0,(9) — это не последовательность, а сам предел (равный единице).Решил описать, почему я с этим не согласен, более подробно. При преобразовании периодической дроби в обыкновенную, используется формула суммы геометрической прогрессии. А эта формула может использоваться только для нахождения суммы последовательности. Вот эта формула: S = b * (q^n — 1) / (q — 1). В нашем случае n стремится к бесконечности, а q=0,1. И тут эта формула преобразуется в S = b * (0 — 1) / (q — 1). В математике нельзя просто так взять и беспричинно приравнять q^n к нулю. На самом деле тут берётся предел. Но поскольку на момент объяснения периодической дроби пределы не изучены, учитель говорит что то вроде «поверьте сейчас, а поймёте потом». И тут уже речь идёт о lim(b * (q^n — 1) / (q — 1))=b/(1-q) при n -> бесконечность.
И если дробь 0,(8) и в пределе равна 8/9, и строго равна 8/9, то дробь 0,(9) в пределе равна 1, но строго не равна 1. В пределах такое бывает. Например, lim(1/n) при n-> бесконечность в пределе равно 0, но 1/n не равно строго нулю.
Зря я наверное написал статью на такую сложную тему. Это же целый 1й курс мат фака. В итоге слили карму на -5. Ещё завтра с утра сольют на -2, и рот будет надёжно заткнут низкой кармой, не смогу нормально оставлять комментарии. Неожиданная ситуация для самой образованной страны и ресурса для гиков математиков и физиков.
Решил описать, почему я с этим не согласен, более подробно. При преобразовании периодической дроби в обыкновенную, используется формула суммы геометрической прогрессии.
Вы почему-то считаете, что обыкновенные дроби — это основное представление действительных чисел, а десятичные — вспомогательное, которое еще нужно вычислять.
Но если бы вы и правда знали 1й курс матфака, то знали бы и тот факт, что десятичная дробь — это одно из определений действительного числа
Буквально: действительным числом называют запись вида n,x0x1x2...
Разумеется, есть и другие определения, которые эквивалентны приведенному выше, и для доказательства этой эквивалентности требуются и пределы, и куча другого аппарата из матана. Но это все не отменяет того факта, что любая десятичная дробь — это и есть запись действительного числа, а не предел какой-то там последовательности.
Вы почему-то считаете, что обыкновенные дроби — это основное представление действительных чисел, а десятичные — вспомогательное, которое еще нужно вычислять.Почему вы решили, что я так считаю? И, кстати, 0,(9) — это не обыкновенная дробь и не десятичная, а периодическая. Если она обыкновенная или десятичная, то назовите её знаменатель? Ну и да, чтобы перевести обыкновенную в десятичную, нужно проводить вычисления. Как вы переведёте 1/25 в десятичную без вычислений? Тут нужно знаменатель привести к степени десятки.
Но если бы вы и правда знали 1й курс матфака, то знали бы и тот факт, что десятичная дробь — это одно из определений действительного числаЭммм, вообще то определение действительных чисел и десятичных дробей ещё в школе проходят, при чём тут университет? И нет такого определения, что действительные числа это десятичные дроби. Например корень из двух вы в виде десятичной дроби никак не запишите. Определение действительных чисел даётся не так.
любая десятичная дробь — это и есть запись действительного числа, а не предел какой-то там последовательности.0,(9) это десятичная дробь? назовите её знаменатель. Или числитель. Если вы скажете, что 0,(9)=1, то я спрошу, а зачем вообще было вводить второе обозначение единицы, если они ничем не отличаются. А если отличаются, то чем? Правильно, тем что 0,(9) это 0,9999999999… бесконечное число 9. Это иррациональное число. 1 — рациональное.
С чего вы взяли, что у десятичной дроби должен быть знаменатель?
Десятичная дробь — это запись вида n,x0x1x2...xm
Периодическая десятичная дробь — это запись вида n,x0x1x2...xm(xm+1....xm+l)
Бесконечная десятичная дробь — это запись вида n,x0x1x2...
Любая десятичная дробь может быть представлена в виде периодической, а любая периодическая — в виде бесконечной.
sqrt(2) = 1,4142135623730950488016887242097…
Десятичная дробь — это запись вида n,x0x1x2...xm
Периодическая десятичная дробь — это запись вида n,x0x1x2...xm(xm+1....xm+l)
Бесконечная десятичная дробь — это запись вида n,x0x1x2...
Любая десятичная дробь может быть представлена в виде периодической, а любая периодическая — в виде бесконечной.
Например корень из двух вы в виде десятичной дроби никак не запишите.В виде бесконечной джесятичной — запросто.
sqrt(2) = 1,4142135623730950488016887242097…
Если вы скажете, что 0,(9)=1, то я спрошу, а зачем вообще было вводить второе обозначение единицы, если они ничем не отличаются. А если отличаются, то чем?
sqrt(1) = 1. Зачем было вводить второе обозначение двойки?
Правильно, тем что 0,(9) это 0,9999999999… бесконечное число 9. Это иррациональное число. 1 — рациональное.
С чего это вдруг оно иррациональное? 0,(3) тоже иррациональное?
Вам по существу есть что сказать?Я вам очень много сказал по существу, вы же не ответили ни на один вопрос.
Какие то противоречия у меня нашли?Сложно искать там, где принципиально неправильно используются термины и нет понимания основ. Вы вводите слово «предел». Хотя тут нет пределов. Предел чего вообще? Это конкретное число. Как и любое число оно может быть пределом какой-то функции (как в данном случае суммы геом.прогрессии), и что теперь то?
У вас есть один единственный аргумент — что 0,(9) эта другая запись числа 1, и пределы тут ни при чём. А доказать вы это можете?Это не аргумент, это изначальная посылка.
Могу доказать. В дополнение к способу выше вот ещё:
0.(9)=0.(3)*3=(1/3)*3=1
См. с десяток доказательств по ссылке от masai.
Доказать, не используя формулу убывающей бесконечной геометрической прогрессии.Она и не используется здесь.
Потому что при выведении этой формулы уже использовалось понятие предела. Или, может быть, вы не согласны, что при выведении этой формулы использовался предел?Так, использовалось, и что это означает? Допустим берём эту формулу (раз вы к ней пристали), при подстановке даёт какое-то число. Не 0.(9), а, например, 0.(3). Или ещё лучше просто 0.3. Или ещё лучше число 58. Может эта формула дать сумму 58. Ну да, число 58-это «предел». Теперь «чтобы понимать что такое на самом деле 58 нужно знать пределы»?
0.(9)=0.(3)*3=(1/3)*3=1
Оу, ну хоть какую то пользу удалось извлечь из диалога с вами.
0,(9) равно 1 в пределе и не равно 1 строго.
Раньше я думал, что 0,(3) равно 1\3 и строго, и в пределе. Хотя то, что оно строго равно, не было никак доказано. Но я думал что строго равно. Но вы, сами того не зная, доказали, что не равно. Спасибо.
>>Потому что при выведении этой формулы уже использовалось понятие предела. Или, может быть, вы не
>>согласны, что при выведении этой формулы использовался предел?
Так, использовалось, и что это означает?
Как я уже писал выше, lim(b * (q^n — 1) / (q — 1))=b/(1-q) при n -> бесконечность и 0<q<1. Вот эта формула верна. А теперь формула, которая не верна: b * (q^n — 1) / (q — 1) = b/(1-q). Во-первых, нет такого числа, как «бесконечность» (есть система окрестностей в пределе — база предела), во-вторых нельзя просто так взять и выкинуть q^n. И вот когда вы будете вычислять 0,(9) — сумму последовательности An= 9 * 0,1^n — по этой формуле, у вас получится:
S(9 * 0,1^n) = b * (q^n — 1) / (q — 1)
lim(S(9 * 0,1^n)) = lim(b * (q^n — 1) / (q — 1)) = b/(1-q)
Хотя, наверное, вы в чём то правы: нужно в статье оставить для «особо одарённых» пояснение, что под 0,(9) я подразумеваю сумму бесконечной последовательности An= 9 * 0,1^n, а не значение её предела и не синоним единицы по определению. В школьной программе не могли ввести такого определения, не нарушив моральных принципов. Школьники не знают пределов. Точно также, нельзя ввести таблицу точных соответствий, потому что множество бесконечных последовательностей бесконечно. В школьной программе 0,(9) описывается именно как 0,99999999999… бесконечное количество девяток. То есть как сумму бесконечной последовательности An= 9 * 0,1^n. Все, кто учились в школе, в курсе. Добавлю пожалуй этот момент в статью.
Ладно, вижу, что у меня не получается вас убедить. Ок, будем считать что я доказал, что мир состоит из пустоты при условии верности гипотезы бесконечной вложенности материи. Предлагаю закрыть спор.
0,(9) равно 1 в пределе и не равно 1 строго.
ОК. Если 0,(9) не равно 1, то назовите любое число x, которое удовлетворяло бы неравенству 0,(9) < x < 1.
нужно в статье оставить для «особо одарённых» пояснение, что под 0,(9) я подразумеваю сумму бесконечной последовательности An= 9 * 0,1^n, а не значение её предела и не синоним единицы по определению
An= 9 * 0,1^n — это n девяток после запятой, а в 0,(9) их бесконечно много. Так что 0,(9) — это и есть предел.
Предел lim(ab) не равен lim(a) lim(b) только если a и b не имеют пределов. В остальных случаях будет равенство.
Но суть не в этом. В приведённом мной доказательстве нет пределов. В нём используются только правила умножения чисел из арифметики и свойство inf+1 = inf (оно нужно, чтобы умножить 0,(9) на 10). Доказательство последнего свойства и зависит от того, как именно мы определяем бесконечность.
Но суть не в этом. В приведённом мной доказательстве нет пределов. В нём используются только правила умножения чисел из арифметики и свойство inf+1 = inf (оно нужно, чтобы умножить 0,(9) на 10). Доказательство последнего свойства и зависит от того, как именно мы определяем бесконечность.
Я имел ввиду, что вы используете числа там, где нужно использовать пределы. И что всё равно вычисления получаются верными. Но вычисления не всегда получаются верными, если использовать пределы на манер чисел, потому что lim(a*b) не всегда равно lim(a)*lim(b).
Взгляните на алгоритм перевода бесконечной периодической дроби в обычную дробь. Доказательство этого алгоритма опирается на то, что бесконечная периодическая дробь — это сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии, или иными словами сумма бесконечной убывающей последовательности чисел. А сумма бесконечной последовательности это предел суммы. Может быть и можно обойтись без пределов, взять и сложить бесконечное количество чисел, но, увы, это за пределами человеческих возможностей. Так что пока что приходится вычислять пределы.
Взгляните на алгоритм перевода бесконечной периодической дроби в обычную дробь. Доказательство этого алгоритма опирается на то, что бесконечная периодическая дробь — это сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии, или иными словами сумма бесконечной убывающей последовательности чисел. А сумма бесконечной последовательности это предел суммы. Может быть и можно обойтись без пределов, взять и сложить бесконечное количество чисел, но, увы, это за пределами человеческих возможностей. Так что пока что приходится вычислять пределы.
Деление на ноль. Хоть бы что новое придумали.
Кстати, примерно чем-то подобным занимался главгерой «Теоремы Зеро», только там это было вызвано экзистенциальной пустотой, а не математическим софизмом.
Кстати, примерно чем-то подобным занимался главгерой «Теоремы Зеро», только там это было вызвано экзистенциальной пустотой, а не математическим софизмом.
Планк давно показал, что материя не может делиться бесконечно, а только до размера, называющегося планковской величиной.
А статья по вашей ссылке — антинаучная фигня — прямо в шапке статьи об этом и написано.
А вы зачем-то повторяете этот бред.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0
А статья по вашей ссылке — антинаучная фигня — прямо в шапке статьи об этом и написано.
А вы зачем-то повторяете этот бред.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0
Планк давно показал, что материя не может делиться бесконечно
Вы тоже ерунду написали. Планк просто ввел удобную (на самом деле не очень) единицу измерения длины. А что до каких пределов может делиться — вопрос открытый. В той же вики приводятся планковские масса и энергия — величины вполне себе осязаемые и немаленькие.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Материя состоит из пустоты или 0,(9)=1