Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 65
Тигрогон
3/8
Зы. Подача головоломок хромает. Не сочтите, что я придираюсь, но я как-то привык к такому:
Каким образом торговец, у которого на телеге бочка яблочной водки и бочка сидра (по 31 1/2 галлона в каждой бочке), может отлить покупателю на 21 доллар 6 центов напитка «Утренняя роса», который представляет собой не что иное, как смесь водки и сидра. У продавца есть только меры в 2 и 4 галлона, а покупателю нужно полностью наполнить свой бочонок вместимостью 26 галлонов.
Не совсем верное решение, ибо у меня получилось налить на 21 доллар и 8 центов.
Решение
24.5*0.85+1.5*0.17 = 21.08, т.е. 24,5 галлона водки и 1,5 галлона сидра.
Схема такая:
1) Выливаем весь сидр в бочку клиента. В бочке с сидром остается 31,5 — 26 = 5,5 галлона.
2) Выливаем остатки сидра по чашкам, на 4 галлона забиваем всю, в двухгалонную влезет 1,5.
3) Возвращаем сидр из клиентской бочки в бочку продавана.
4) Заливаем 1,5 галлона сидра в бочку клиента.
5) Доливаем до краев водки.
Два цента дарим клиенту за мелкий опт )
Профит.
Схема такая:
1) Выливаем весь сидр в бочку клиента. В бочке с сидром остается 31,5 — 26 = 5,5 галлона.
2) Выливаем остатки сидра по чашкам, на 4 галлона забиваем всю, в двухгалонную влезет 1,5.
3) Возвращаем сидр из клиентской бочки в бочку продавана.
4) Заливаем 1,5 галлона сидра в бочку клиента.
5) Доливаем до краев водки.
Два цента дарим клиенту за мелкий опт )
Профит.
Задачки реально здоровские. Весело провожу время. Можно было ответы загнать под спойлеры для самопроверки.
В шестой задаче перевод убил важную деталь. Треугольники выглядят равносторонними, но в условии задачи это не указывается. Однако оригинал явно использует слово «equilateral» в заголовке, тогда как в переводе используется «равный», что не является равноценным заменителем.
Это игра слов. Если что — я понял, что треугольники именно равносторонние…
В том-то и дело, что не должно быть игры слов. В оригинале так и звучит: «Все люди рождены (или созданы) равносторонними». То есть намеренная замена слова «равный» из расхожей фразы на совершенно неуместное слово «равносторонний», специально, чтобы уточнить задачу. А в переводе эту замену почему-то не воспроизвели, и часть условия исчезла. Конечно, догадаться можно, да и вид самих треугольников на картинке намекает. Но всё-таки в геометрии полагается не намекать, а говорить более прямо. (Конечно, «рождены равносторонними» — тоже не самый прямой способ выражения условий задачи, но всё же абсурдность фразы является явным указанием, что слово тут используется не просто так, а в переводе даже этой абсурдности нету.)
Задача #5 вообще странная — размер самого большого квадрата выглядит абсолютно произвольным. Или в ответе предполагается зависимость площади треугольника от параметров этого квадрата?
Или в ответе предполагается зависимость площади треугольника от параметров этого квадрата?
Нет.
Совершенно не интуитивный ответ, правда?
размер самого большого квадрата
ни на что не влияет.
вас подвел перевод. Но если загуглить, то находим ответ.
mathworld.wolfram.com/Shear.html
Метод на самом деле называется не «стрижка», а сдвиг. Ну вот и начинайте играться с размером большого квадрата :)
mathworld.wolfram.com/Shear.html
Метод на самом деле называется не «стрижка», а сдвиг. Ну вот и начинайте играться с размером большого квадрата :)
Задачи замечательны тем, что кажется недостаёт данных. Но это наводит на мысль, что от них ничего и не зависит. Поэтому брала удобный частный случай, например в задаче #5 можно стянуть большой квадрат в точку, а в задаче #7 рассмотреть строго симметричный вариант.
Однако получив простой ответ, сложно доказать, что в остальных случаях результат будет таким же.
Однако получив простой ответ, сложно доказать, что в остальных случаях результат будет таким же.
Вот поэтому я все же за более строгие формулировки условий — потому как кажется, что «а вдруг ты что-то просмотрел?» — ну там, к примеру — «вот это пересечение посреди отрезка, или это случайность»? В итоге может решаться несколько не та задача, о которой думал автор. :)
например в задаче #5 можно стянуть большой квадрат в точкуа я наоборот — тянул его в бесконечность. А потом увидел, что его вершина «едет» параллельно диагонали, которая параллельна основанию треугольника, после чего стало понятно, что результат будет одинаковым во всех случаях…
Мне нравится вот эта задачка со звездочкой, учебника 6-8 класса
Задачка
Через интеграл слишком просто, а вот мат.аппаратом 6-8 класса
учебник
Как можно решать
Посчитать площадь маленького кривого треугольника как площадь прямоугольника минус площадь сектора минус площадь треугольника. Вычесть её восемь раз из площади квадрата.
Заголовок спойлера
Казалось бы, но нет, тут задачка требует не ход решения нахождения примерной площади, а конкретный ответ, по аналогии с такой (возможно я Вас не до конца понял):
Пусть сторона квадрата = а.
Находим площадь сектора = площадь круга / 4= pi*r*r/4, r = a => pi*a*a/4
Площадь треугольника с основание a и высотой a = (1/2)*a*a
Закрашненая площадь = (площадь сектора — площадь треугольника)*2 = 2*((Pi*a^2)/4 — (a^2)/2) = (pi*a^2)/2 — a^2 = (pi/2 -1)*a^2
Пусть сторона квадрата = а.
Находим площадь сектора = площадь круга / 4= pi*r*r/4, r = a => pi*a*a/4
Площадь треугольника с основание a и высотой a = (1/2)*a*a
Закрашненая площадь = (площадь сектора — площадь треугольника)*2 = 2*((Pi*a^2)/4 — (a^2)/2) = (pi*a^2)/2 — a^2 = (pi/2 -1)*a^2
Так я вроде точную площадь и нахожу. Только не расписал, потому что уже неинтересно.
А в 8 классе разве проходят площадь сектора через угол? я честно не помню:) Вроде бы в 6-8 классе этого еще небыло. Если было, то да, всё проще. У меня без этого найти не получилось. Но мне после вышки как то сложно стало переключаться с интегралов и матриц)).
А мне проще простыми методами — типа отношения площадей секторов и т.д. По крайней мере, это на пальцах проще объяснить.
Площадь сектора через угол, кажется, настолько очевидно, что это можно и не проходя сообразить…
Только это мы смотрим с багажем своего опыта.
Я тут полистал учебники, в 8 классе синус/косинус проходят как отношения катетов и гипотенузы, потом в 9 классе — как функции угла в градусах, наконец в 10 классе — как функции радиан и чисел со всеми формулами.
Так что в 8 классе возможно и решили бы через площадь сектора.
Я тут полистал учебники, в 8 классе синус/косинус проходят как отношения катетов и гипотенузы, потом в 9 классе — как функции угла в градусах, наконец в 10 классе — как функции радиан и чисел со всеми формулами.
Так что в 8 классе возможно и решили бы через площадь сектора.
Третья устная, пятая устная, остальные не смотрел. Надо сделать поправку: в России зачем-то по традиции продолжают учить геометрии весьма серьезно. Не знаю, откуда автор этих задач, но в США такой материал показался бы очень сложным, в России же, как мне кажется, его спокойно можно давать в 8 классе в качестве обычных упражнений.
Три человека, периодически поправлявшие друг друга, давным-давно выпустившиеся из школы и местами подзабывшие школьный курс геометрии, независимо друг от друга решили большую часть за 3 с копейками часа, частично в уме.
Для российских реалий на технарском ресурсе ремарка о 6 месяцах в конце выглядит немного неуместно)
Для российских реалий на технарском ресурсе ремарка о 6 месяцах в конце выглядит немного неуместно)
Эдакий современный аналог сангаку. Но очень примитивно. За полчаса я решил штук пять методом пристального взгляда, без чертежей и записей. Потом надоело.
Странно. В задаче №3 верхняя сторона трапеции равна боковой, или нет? А то решений получается бесконечное число.
Остальные, которые типа решил - возможно, неправильные
1. Половина, но если для первой и второй доказательство тривиально, то остальные даже не пытался доказывать, так что скорее всего где-то там не половина.
2. 135. Угол, на который повернут квадрат, определяется тем, что дальние стороны квадратов 27 и 12 находятся на одной прямой.
4. 75 (неперекрывающаяся). Т.е. квадраты со сторонами 4, 5, 6 и перекрытие 2х1.
6. 15. Хинт: центральный треугольник получается равносторонним.
7. 45 градусов (могу ошибиться здесь). Вариант решения: предположить основной треугольник равнобедренным.
13. 108 градусов. 4-й треугольник составной, у которого равные стороны нижняя и диагональ ромба в середине. Дальше считаем уравнение на равенство углов у левого нижнего треугольника, выразив их через искомый двумя путями.
15. 12. Вообще говоря, равна площади квадрата. Если сторона квадрата Х, то площадь одного закрашенного треугольника равна Х*Х*sin(150grad)/2 = X^2/4.
18. 40%. Если принять сторону квадрата за 1, то на рисунке появляется прямоугольник 1х3, вписанный в круг диаметром равный стороне описанного квадрата. Диаметр sqrt(10), площадь квадрата 10, а квадратов внутри 4.
Остальное не пытался решать — забыл уже геометрию.
2. 135. Угол, на который повернут квадрат, определяется тем, что дальние стороны квадратов 27 и 12 находятся на одной прямой.
4. 75 (неперекрывающаяся). Т.е. квадраты со сторонами 4, 5, 6 и перекрытие 2х1.
6. 15. Хинт: центральный треугольник получается равносторонним.
7. 45 градусов (могу ошибиться здесь). Вариант решения: предположить основной треугольник равнобедренным.
13. 108 градусов. 4-й треугольник составной, у которого равные стороны нижняя и диагональ ромба в середине. Дальше считаем уравнение на равенство углов у левого нижнего треугольника, выразив их через искомый двумя путями.
15. 12. Вообще говоря, равна площади квадрата. Если сторона квадрата Х, то площадь одного закрашенного треугольника равна Х*Х*sin(150grad)/2 = X^2/4.
18. 40%. Если принять сторону квадрата за 1, то на рисунке появляется прямоугольник 1х3, вписанный в круг диаметром равный стороне описанного квадрата. Диаметр sqrt(10), площадь квадрата 10, а квадратов внутри 4.
Остальное не пытался решать — забыл уже геометрию.
Нет, равенство не требуется.
Решение
1. Два белых треугольника (назовём их Б1 и Б2) равны по площади, потому что площади больших треугольников Б1+З и Б2+З (З — зелёный) равны (одно основание, равная высота).
2. Обозначим верхнее и нижнее основания трапеции как a и b. Площади треугольников Б1+З и Б2+Ж: 1/2 * 3 * b, 1/2 * 3 * a. Вычтем: 1/2 * 3 * (b — a) = З — Ж = 6, итого b — a = 4. Заметим, что точные значения a и b нам не нужны.
3. x^2 = 3^2 + (b — a)^2.
2. Обозначим верхнее и нижнее основания трапеции как a и b. Площади треугольников Б1+З и Б2+Ж: 1/2 * 3 * b, 1/2 * 3 * a. Вычтем: 1/2 * 3 * (b — a) = З — Ж = 6, итого b — a = 4. Заметим, что точные значения a и b нам не нужны.
3. x^2 = 3^2 + (b — a)^2.
Ещё
5. 10. Трюк в том, что от изменения размера правого квадрата вершина перемещается по его диагонали, которая параллельна не меняющейся стороне синего теругольника, т.е. его высота не изменяется.
10. 64. Ели сторона восьмиугольника равна 1, то площадь закрашенной фигуры тоже 1, т.е. 1/8 периметра. Так как с увеличением фигуры площадь растет квадратично, а периметр — линейно, нужно увеличить единичный восьмиугольник в 8 раз, чтобы площадь закрашенной части стала равна периметру.
11. 4*пи. Но пришлось загуглить формулы радиуса вписанного круга.
12. 15. Искомая площадь вдвое превышает площадь треугольника с вершиной на противоположной грани этого же шестиугольника, которая в свою очередь втрое меньше площади самого шестиугольника. Размеры большого и маленького шетиугольников различаются в полтора раза, т.е. площадь большого = 22.5.
«Закат» (кстати, в оригинале «sunrise», т.е. рассвет) — 8. Опять через подобие, коэффициент которого — корень из двух.
10. 64. Ели сторона восьмиугольника равна 1, то площадь закрашенной фигуры тоже 1, т.е. 1/8 периметра. Так как с увеличением фигуры площадь растет квадратично, а периметр — линейно, нужно увеличить единичный восьмиугольник в 8 раз, чтобы площадь закрашенной части стала равна периметру.
11. 4*пи. Но пришлось загуглить формулы радиуса вписанного круга.
12. 15. Искомая площадь вдвое превышает площадь треугольника с вершиной на противоположной грани этого же шестиугольника, которая в свою очередь втрое меньше площади самого шестиугольника. Размеры большого и маленького шетиугольников различаются в полтора раза, т.е. площадь большого = 22.5.
«Закат» (кстати, в оригинале «sunrise», т.е. рассвет) — 8. Опять через подобие, коэффициент которого — корень из двух.
Коррективы
1. Для всех 1/2, но для оранжевого и темно-синего я строгого доказательства так и не смог пока придумать.
4. Неправильно. 5,6,7, площадь 108. 4*sqrt(10) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 12 и 4.
7. Да, 45. Вписанный угол, опирающийся на хорду, является противолежащим к углу, образованным касательными в концах этой хорды, и он всегда вдвое меньше его (а он, в свою очередь, равен 90 как вписанный угол, опирающийся на диаметр).
15. Можно обойтись без синусов, тупо посчитав площади фигур. Площадь большого квадрата 24+12*sqrt(3), площадь фигуры 12+4*3*sqrt(3).
4. Неправильно. 5,6,7, площадь 108. 4*sqrt(10) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 12 и 4.
7. Да, 45. Вписанный угол, опирающийся на хорду, является противолежащим к углу, образованным касательными в концах этой хорды, и он всегда вдвое меньше его (а он, в свою очередь, равен 90 как вписанный угол, опирающийся на диаметр).
15. Можно обойтись без синусов, тупо посчитав площади фигур. Площадь большого квадрата 24+12*sqrt(3), площадь фигуры 12+4*3*sqrt(3).
Про 7 — только потом вспомнил, что есть теорема, что угол на круге равен половине меры дуги, а мера дуги между точками касания круга углом равна 180 градусов минус угол.
Про 15 — ну это как решать удобнее. Мне через синусы.
Про 4 — обидно, но вначале я вообще насчитал 3-4-5 :(
Про 15 — ну это как решать удобнее. Мне через синусы.
Про 4 — обидно, но вначале я вообще насчитал 3-4-5 :(
Оранжевый и темно-синий имеют центральную симметрию и решаются комбинированием секторов и сегментов.
Уточнение к 13
Легко показать, что это правильный пятиугольник, отразив построение относительно диаметра, проходящего через самую правую точку (т.к. треугольник равнобедренный, биссектриса-диаметр падает ровно в середину левой стороны)
14
Прибавим к каждой из областей не закрашенную область в центре. Тогда очевидно, что (синий + розовый) представляет собой квадрат на гипотенузе, а зелёный — квадрат на катете. Построив квадрат на втором катете, легко убедиться, что его площадь вдвое больше площади розового треугольника (т.к. и его основание, и высота равняются этому второму катету). Отсюда разница в площади между (синим + розовым) и зелёным равняется 10, разница между синим и зелёным — 5.
19
Красные квадраты имеют сторону два, синие вместе занимают 1/4 площади (мысленно представить ещё два таких квадрата в той же ориентации примерно на местах красных).
Итого 4 + 4 + 9 = 17
Итого 4 + 4 + 9 = 17
перевод откровенно хромает
Я лучше про сортировочки на собеседовании расскажу, чем такое решать.
Ещё на brilliant.org неплохие задачки для любителей подумать дольше пары минут над решением попадаются.
Такое ощущение, что у неё все задачи любимые
Кто полностью забыл теоремы, и помнит только теорему Пифагора, может решить задачу 17, где круг вписан в квадрат.
решение 17
при этом BD = x/2 из равенства треугольников BCD и CDE по двум сторонам (BC и CE радиусы, СD — общая) и прямому углу
Первые 2 решил, остальное на потом решил оставить, кинул в закладки.
Беглым взглядом просмотрел все остальные- некоторые не доконца понятны: что дано, и что требуется. Хотелось бы еще текстовое описание. Ну, и правильные решения где- нибудь, для сверки.
Беглым взглядом просмотрел все остальные- некоторые не доконца понятны: что дано, и что требуется. Хотелось бы еще текстовое описание. Ну, и правильные решения где- нибудь, для сверки.
Алгоритм решения первого задания (мысленный эксперимент):
Вывод: во всех представленных примерах 50% площади закрашены.
- создаем многоугольник с 12 равными гранями и углами путем отсечения сегментов каждый из которых образован прямой между соседними точками на окружности и частью окружности между этими точками;
- отсеченные на шаге первом сегменты представляют собой 12 одинаковых по площади (что имеет значение для решения) фигур;
- в каждом из примеров по шесть таких отсеченных фигур закрашены и по 6 не окрашены, т.е. 50%/50%;
- принимаем за версию, что 50% каждой фигуры окрашены т.к. возможно автором дана подсказка в шаге 3;
- производим разделение двенадцатиугольников на составляющие многоугольники (в качестве граней образуемых многоугольников имеем части прямых между имеющимися на фигуре точками) с условием подбора по две равные фигуры разного цвета.
Вывод: во всех представленных примерах 50% площади закрашены.
Решение не проверенное на практике, но при проведении мысленного эксперимента достигнут именно такой результат.
Для решения задачи №2 левый квадрат с площадью 12 у.е. не пригодился.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Двадцать задачек (по безумной, восхитительной геометрии)