Comments 28
Например, вот архив моей переписки за 2017-й год с тогда ещё студентом Сергеем Перекрасовым:
we can find an orthonormal basis of eigenvectors
То есть, в качестве нормы явно берется кв. корень из скалярного произведения:
||v|| = sqrt(v,v),
требуется нормировка
if (i = j) (vi,vj) = 1, else
(vi,vj) = 0.
Как выпускник ДПМ при прочтении предположил, что собственные формы и вектора это примерно одно и то же. Вы подтвердили. Теперь, значит, во всех Ансисах должно появиться ) И ваше замечание по нормированию весьма ценное.
При этом, ага, извиняюсь, ступил с «формула известна». Надо поднимать теорию колебаний и МКЭ-шные книги для анализа существующих аналогов. Но алгоритм получения собственных векторов я привёл абсолютно правильный и, надо отметить, простой.
«собственные векторы», сложные для подсчёта величины, описывавшие в их случае то, как нейтрино распространяются в материи, приравниваются к комбинации членов, известных, как «собственные числа», вычислять которые гораздо проще.
В простейшем случае из линейной алгебры действительно проще найти собственные числа, а не векторы. Если конечно это не матрица «5 на 5» или больше, у которой скорее всего не выйдет найти решения для чисел.
А разве есть простой метод определения собственных чисел в матрицах 3х3 и 4х4 без привлечения комплексных чисел или итерационных процедур типа метода Ньютона? Есть глючный МКЭ-софт, в котором хотелось бы написать скрипты для работы с главными напряжениями и деформациями в постпро, но в скриптах не поддерживаются комплексные переменные.
Всё же в статье написано про возможность выразить квадрат модуля j-ой компоненты i-го единичного собственного вектора через другие собственные числа и миноры матрицы.
То есть это позволяет просто перебрать 2^n вариантов i-го собственного вектора.
Да, тут вы правы.
Я почему-то воспринял вот эту фразу как указание на то, что они работают в вещественных числах, а тут речь идёт только о собственных числах: "If A is an n×n Hermitian matrix, we denote its n real eigenvalues by λ1(A),..., λn(A)."
Кажется, значение результата сильно преувеличивают. Плюс автор оригинальной статьи явно лукавит — то ему не нужна оригинальная матрица, чтобы найти собственные вектора (это в общем случае являлось бы явной ложью), то уже вдруг матрица должна быть эрмитовой и нужно знать собственные числа минорных матриц, а это значения, явно зависящие от самой матрицы, не только от её собственных чисел.
Как уже было сказано в предыдущих комментариях, многое в статье вводит в заблуждение. Грустно, при большей внимательности к математическим деталям могла бы получиться действительно интересная статья, но вышла, увы, обычная жёлтая пресса.
Я правильно понимаю, что если у матрицы есть одинаковые собственные значения, то знаменатель формулы в 0 обращается?
Эти осцилляции описывает чрезвычайно сложная матрица размера 3х3.
Это сарказм? Или пытались сказать что-то иное?
Изучение нейтрино привело к неожиданному открытию в математике