Извилистая геометрия путешествий вокруг света

Представьте, что мы живём на кубической планете. Как бы вы искали кратчайший путь для кругосветного путешествия?

Задумывались ли вы над тем, какой могла бы быть жизнь, если бы форма Земли не была бы похожа на сферу? Плавное движение по Солнечной системе и проходящие без запинок закаты, возможные благодаря вращательной симметрии Земли, мы принимаем как должное. Также на круглой Земле очень легко найти самый короткий путь из точки А в точку В – нужно просто двигаться по окружности, проходящей через две эти точки, и разрезающей сферу на две равные части. Такие кратчайшие пути, геодезические кривые, используются для прокладки маршрутов самолётов и орбит спутников.

Но что, если бы мы жили на кубе? Наш мир колебался бы, наши горизонты были бы кривыми, а кратчайший путь было бы гораздо сложнее найти. Возможно, вы не тратите много времени на фантазии о жизни на кубе – однако математики занимаются этим довольно часто. Они изучают вопрос перемещения по поверхностям различных фигур. А недавнее открытие способа прокладки путей по додекаэдру изменило наше представление об объекте, который мы изучали не одну тысячу лет.

Кажется, что для поиска кратчайшего маршрута на поверхности заданной фигуры нужно лишь выбрать направление и идти по прямой. И в итоге вы придёте туда, откуда начали – так ведь? На самом деле, это зависит от фигуры. На сфере это сработает (да, мы игнорируем то, что Земля не является идеальной сферой с гладкой поверхностью). На сфере прямые пути превращаются в большие окружности, геодезические кривые – такие, как экватор. Пойдя по экватору, через 40 000 км вы сделаете полный оборот и вернётесь в начальную точку.

На кубическом мире форма геодезической кривой уже не так очевидна. Найти прямой путь легко – каждая грань куба плоская. Но если вы будете идти по кубу, и дойдёте до ребра — в каком направлении будет «прямо»?

Ответ на этот вопрос проиллюстрирует одна старая интересная математическая задачка. Представим, что на одном из углов куба находится муравей. Ему нужно попасть на противоположный угол. Каков кратчайший путь по поверхности куба, ведущий из точки А в точку В?



Муравей может проползти по различным траекториям. Но какая из них будет кратчайшей? Для решения этой задачи существует гениальный ход: нужно развернуть куб на плоскости!

Если бы это был бумажный куб, мы могли бы разрезать его по рёбрам, и сделать подобную развёртку:



В таком плоском мире кратчайший путь из А в В найти легко – нужно просто провести через них прямую.



Чтобы понять, как выглядит геодезическая кривая на кубе, соберём его обратно. Вот наш кратчайший путь:



Способ с развёрткой работает потому, что каждая грань куба плоская, поэтому при разгибании куба по рёбрам ничего не искажается. Аналогичный подход с развёрткой сферы не сработал бы – нельзя развернуть сферу на плоскость без искажений.

Представив, как выглядит кратчайший путь по кубу, вернёмся к вопросу, можно ли идти по нему прямо и прийти в начальную точку. В отличие от сферы, не каждый прямой путь по кубу оказывается круговым.

Круговые пути существуют – но с оговоркой. Обратите внимание – наш муравей может продолжать ползти по намеченному нами пути, и в итоге вернуться обратно. Круговой путь на кубе – это ромб.

Проходя по этому пути, муравей должен пройти через другую вершину (точка В), а уже потом вернуться назад. В этом и оговорка: каждый прямой путь, который начинается и заканчивается на какой-либо вершине, должен пройти через другую вершину куба.

Это утверждение оказывается верным для четырёх из пяти правильных многогранников. На кубе, тетраэдре, октаэдре и икосаэдре любой прямой путь, начинающийся и заканчивающийся на какой-либо вершине, должен пройти через другую вершину. Математики доказали это пять лет назад, но только не для додекаэдра. Вернёмся к этому чуть позже.



Чтобы представить, почему это так для четырёх из пяти правильных многогранников, изберём «кантующий» подход к изучению этих путей. Выберем для изучения тетраэдр, поскольку на нём такие пути изучать чуть легче.

Представим, что мы начали свой путь на вершине тетраэдра, и движемся по прямой на поверхности одной из граней. Повернём тетраэдр так, чтобы наш путь пролегал по нижней грани.

Дойдя до ребра, мы повернём тетраэдр, так, чтобы путь продолжался по грани, находящейся внизу.



На следующей диаграмме кантования мы можем отслеживать наш путь так же, как мы делали это на развёртке куба:



Этот путь обозначает путь по поверхности тетраэдра.



Пять поворотов тетраэдра соответствуют пяти пройденным нами граням.

Теперь любой путь, проходящий по поверхности тетраэдра, мы можем представить в виде пути в пространстве кантования. Назовём начальную точку А и посмотрим, где она окажется после того, как мы несколько раз перекантуем тетраэдр.

После того, как наш путь вышел из А, тетраэдр переворачивается на противоположную сторону. В итоге А поднимается с поверхности.



Вершина А временно приподнята над нашим пространством кантования. Сейчас мы не отмечаем её в нашем пространстве, но при взгляде сверху картина была бы следующей:



Путь продолжается, и тетраэдр вновь кантуется. Он может перевернуться в двух направлениях, но в любом случае А вновь окажется на земле.



Позволяя тетраэдру кантоваться в любом направлении, мы получим примерно такое пространство кантования:



У нас получается периодическая решётка – именно так смыкаются вместе равносторонние грани тетраэдра.



Из этой решётки следуют два интересных свойства нашего пространства кантования. Во-первых, точки, в которых приземляются вершины тетраэдра, являются узлами решётки – т.е. точками с целыми координатами. Это потому, что единица измерения в нашей системе координат равняется длине ребра тетраэдра.

Во-вторых, посмотрите, в каких узлах оказывается А:



Координаты А всегда чётные. Когда бы А ни оказывалась на земле повторно, это всегда происходит через два поворота после предыдущего раза. Поэтому все возможные места приземления А расположены на расстоянии в два ребра друг от друга.

Что это нам говорит о геодезических линиях? Вспомним, что путь по тетраэдру, начинающийся и заканчивающийся в точке А, будет отрезком прямой в КП, начинающемся в точке А с координатами (0, 0) и заканчивающимся в другой точке А. А когда путь начинается и заканчивается в точке А, у его середины есть одно интересное свойство.

Даже в нашей корявой координатной системе работает стандартная формула для середины отрезка – мы можем найти её координаты, взяв среднее от координат начала и конца. Поскольку координаты начальной точки нулевые, а конечной – чётные, координаты середины целые. Получается, что середина должна лежать на узловой точке – то есть, соответствовать вершине треугольника в КП.

К примеру, середина пути из точки (0,0) в точку (4,2) попадает на точку (2,1), узловую точку нашей решётки.



Значит, путь по поверхности тетраэдра, выходящий и возвращающийся в точку А, обязан проходить через какую-то другую вершину.

Поскольку все возможные места приземления вершины А имеют чётные координаты, середина любого геодезического пути, начинающегося и заканчивающегося в точке А, попадает на узловую точку. Получается, что любая геодезическая кривая из А в А, идущая по поверхности тетраэдра, обязана проходить через другую вершину.

Это упрощённая версия строгого доказательства 2015 года, созданного математиками Дианой Дэвис, Виктором Додсом, Синтией Трауб и Джедом Янгом. Они использовали похожий, только гораздо более сложный подход, чтобы доказать подобное утверждение для куба. В следующем году Дмитрий Фачс доказал это же утверждение для октаэдра и икосаэдра. Благодаря им мы знаем, что на тетраэдре, кубе, октаэдре и икосаэдре не существует прямых путей, начинающихся и заканчивающихся в некоей вершине, и не проходящих через какую-либо другую вершину.

Однако вопрос о существовании подобных путей на додекаэдре оставался открытым до 2019 года – пока их существование не доказали математики Джайадев Атрия, Дэвид Ауличино и Патрик Хупер. Они нашли бесконечно много прямых путей, идущих по поверхности додекаэдра, начинающихся и заканчивающихся на той же самой вершине, и не проходящих ни через какую другую.

Вот один из таких путей по додекаэдру, прятавшийся на самом видном месте:



Тысячи лет правильные многогранники изучали совместно, поскольку у них так много общего. Но теперь мы знаем, что додекаэдр явно отличается от них. Это загадочное открытие показывает, что насколько бы хорошо мы ни понимали математические объекты, всегда есть место для новых открытий. Также это показывает, что путь от задачи к решению не всегда будет простым и прямым.

Упражнения

1. Если длина ребра куба равна 1, какова длина кратчайшего пути ползущего по его поверхности муравья из одной вершины в противоположную?

2. Поясните, почему следующая диаграмма не может быть изображением пути кантования для путей по кубу.



3. Одна из сложностей построения кантующихся путей для куба состоит в том, что у точки А нет какого-то уникального конечного положения, связанного с заданным концом пути по кубу. К примеру, хотя куб оказывается в одном и том же квадрате, вне зависимости от того, кантуем мы его по синему или красному пути, точка А окажется в разных положениях. Определите, где окажется точка А для каждого из двух путей.



4. Вот допустимый путь кантования для пути по поверхности куба:



Нарисуйте этот же путь, начинающийся в точке А, на поверхности изображения куба:

Ответы

Задача 1

Путь – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2.



По теореме Пифагора, длина пути АВ составит √5.

Задача 2

Если путь заставляет куб повернуться вокруг ребра два раза вправо, тогда наклон этого пути будет не большим, чем 1 ребро вверх на 2 ребра вправо. После первого переворота куба вверх вверх путь не может оказаться выше, чем половина ребра, поэтому второй поворот должен быть сделан вправо.



Становится понятнее, почему пространство кантования для куба строить сложнее, чем для тетраэдра.

Задача 3

Для решения задачи проще использовать кубик Рубика или игральную кость.





Также обратите внимание, что синий путь не может быть кантующимся путём по кубу.

Задача 4