Недавно на просторах интернета увидел отрывок из фильма "Двадцать одно". В этом отрывке говорится о том, что парадокс Монти Холла действительно работает!
До сих пор я ничего не слышал об этом парадоксе, но при этом мне никак не верилось в его правдивость, хотя подавляющее большинство говорило обратное. По этому вопросу я смотрел видеоролики, читал статьи, проверял коды программ, но в голове это всё равно никак не укладывалось.
В этой статье будем рассматривать классическую постановку задачи.
В голову приходили разные вопросы: чем отличается дверь без приза по отношению к другой двери без приза, как если мы выбрали именно её? А что если после первой итерации выбора двери к тебе придут Люди в чёрном и сотрут из твоей памяти это первоначальное решение? Куда тогда исчезнут лишние проценты, ведь теперь выбор останется между двумя дверьми?
И вроде бы в расчётах у людей всё сходилось, не к чему было придраться. Тогда для наглядности решил создать google-таблицу, в которой смоделировал 1000 игр на парадокс Монти Холла.
Не долго думая, создал 4 столбца:
столбец A, "Приз за дверью №" - случайное число от 1 до 3 (включительно, конечно);
столбец B, "Выбрали дверь №" - так же случайное число от 1 до 3;
столбец C, "Поменяли дверь" - случайное число от 0 до 1, т.е. либо не меняли дверь, либо поменяли :)
столбец D, "Выиграли" - если выбранная нами дверь совпадает с дверью, за которой находится приз, то значение выигрыша (0 или 1) будет противоположным значению столбца "Поменяли дверь", иначе значение выигрыша будет таким же, как и значение в столбце "Поменяли дверь". Это логично.
После прямых подсчетов получилась так, что в суммарных полях "Поменяли" и "Не меняли" было соотношение приблизительно 50 на 50. В суммарных полях "Выиграли" и "Проиграли" соотношение было тем же (условно).
Такие соотношения с каждым глобальным прогоном по моделированию 1000 игр сохраняются. Но где же тогда 66% выигрышей?
Посчитаем теперь суммы для всевозможных сочетаний событий по всем играм.
Суммарное поле "Выиграли, когда поменяли" практически в 2 раза превосходит суммарное поле "Выиграли, когда не меняли" по значениям.
То есть получается, что меняя дверь, мы увеличиваем свои шансы на победу в 2 раза? НЕТ! Дело в том, что если мы уже выиграли, то нам не нужны дополнительные условия, меняли ли мы дверь или нет.
Проблема этого парадокса заключается в том, что ответ на задачу поставлен с ног на голову: причина и следствие меняются местами!
Вместо "Если он поменяет дверь, то с вероятностью 2/3 выиграет" нужно говорить: "Если он выиграл, то с вероятность 2/3 менял дверь". Чувствуете разницу? - она диаметрально противоположная. И вы можете менять дверь или не менять - суть заключается в том, что шансы на победу составляют 50 на 50.
Вместо "Мы меняем дверь и выигрываем в 2 раза чаще, чем не меняем дверь" нужно говорить: "Мы меняем дверь и выигрываем в 2 раза чаще, чем не меняем дверь и выигрываем".
Неправильные умозаключения рождают такие парадоксы. Но интуитивно мы понимаем, что здесь что-то не так :)
Приведу еще пару примеров.
Представьте, что ведущий предлагает на выбор 2 двери, только за одной из которых находится приз. Очевидно, что вероятность выбрать правильную дверь составляет 50%? А теперь ведущий внезапно открывает 3-ю дверь, за которой нет никакого приза. Неужели вы думаете, что из-за этого у вас станет меньше шансов на победу? Да пусть он откроет хоть 100 дверей, шансы от этого не поменяются.
А если изначально будет миллион дверей, разве вы проиграете 1-2 раза в миллион игр, меняя дверь? Очевидно, что нет. И проиграете вы примерно столько же, сколько и выиграете. Просто если выиграете, то скорее всего вы меняли дверь, именно так - в обратную сторону это не работает!
Вот что я хотел донести до вас! Надеюсь, у меня это получилось, так как это мой дебют.
Больше доверяйте своей интуиции! Всем удачи!
