Comments 18
Дело в том, что матрицы очень хорошо выполняют одну роль - роль представления разнообразных геометрических структур. Линейные операторы? Пожалуйста. Элементы алгебры Ли? Вот вам матрицы! Графы - матрицы смежности! Веса соединений нейросетей, и так далее, тысячи применений им! Однако же, глядя на матрицу вы ровным счетом ничего не можете сказать о той структуре, которую она представляет. И именно поэтому изложение спиноров в подавляющем большинстве литературы для меня выглядело какой-то взятой с потолка чепухой.
Вы выбрали какую-то очень неудачную литературу. По-моему, везде объяснение КМ начинают с рассказа про то, что вместо привычных физических величин типа импульса, координаты etc в КМ фигурируют (линейные) операторы, действующие на неком абстрактном линейном пространстве (пространство состояний). В случае частицы с заданной величиной момента импульса L речь идет о проекции момента на заданную ось, каковая может принимать дискретный набор значений -L, -L+1,...,L, т.е. пространство состояний 2L+1-мерное. Ну а оператор, соответственно, матрица 2L+1х2L+1
Совершенно неочевидно что проекция момента импульса на заданную (как и кем?) ось является фундаментальным состоянием частицы (и собственно, при переходе к СТО этого состояния действительно оказывается недостаточно, а вот в алгебре Дирака 
две коммутирующие пары ортогональных проекторов возникают совершенно естественно). Точно также неочевидно, почему перед ними надо ставить комплексные коэффициенты (может, я туда кватернион захочу впихнуть) и почему они нормируются (в нашем случае, нормировка - естественное следствие проекции чистого ротора).
Поэтому вместо этих странных предположений, намного проще начать с геометрической алгебры над хорошо известным евклидовым пространством и показать, что мы можем произвольным способом выбрать "ось" проекции и получить разложения относительно нее. Причем, так как проекторы в общем случае не коммутируют, разложение по одному проектору дает весьма ограниченную информацию о том как выглядит разложение по другим проекторам. У физиков это представляется буквально как магия квантовой суперпозиции (будто частица в состоянии
после проекции на ось x находится одновременно в состояниях 
и 
относительно оси z), но на самом-то деле, ничего эксклюзивно "квантового" в проекторах нет, чисто геометрические свойства.
Ну и о разложении уравнения Клейна-Гордона на уравнения Дирака-антиДирака мне тоже намного проще оказалось думать в терминах алгебры Клиффорда, а не гамма-матриц, являющихся ее представлением.
Совершенно неочевидно что проекция момента импульса на заданную (как и кем?) ось является фундаментальным состоянием частицы
Не совсем понял, что именно неочевидно (что есть "фундаментальное состояние частицы"?). Что проекция может быть только такой? ну это можно получить, например, из того, что в координатном представлении оператор проекции момента на ось имеет вид
-i\frac{\partial}{\partial\varphi}.
Точно также неочевидно, почему перед ними надо ставить комплексные коэффициенты
Потому что пространство состояний комплекснозначное, это составная часть исходного постулата КМ.
почему они нормируются
Нормируются (если я правильно понял, о какой именно нормировке речь), поскольку вероятность всех возможных исходов должна быть равна 1.
Слишком много приходится постулировать, как по мне. Возможно это вкусовщина, но для меня алгебра Клиффорда тупо проще. И то что вам приходится постулировать, в ней довольно легко выводится просто из свойств геометрического произведения.
Особенно, когда мы говорим об уравнении Дирака. Алгебра 
там возникает естественным образом, при разложении оператора 
, а вот чтобы допереть как это написать в виде матриц, нужно сильно упороться теорией представлений, а главное - ради чего? Геометрии-то этих матриц невооруженным глазом все равно не увидеть. В отличие от.
Также, в мультивекторном представлении намного проще заметить подалгебры и, к примеру, свести алгебру Дирака к алгебре Паули в нерелятивистском случае.
Вообще, изначально я хотел написать статью именно в контексте уравнения Дирака, но вываливать его на неподготовленную аудиторию наверное сложновато. Теперь аудитория подготовлена, будет время - напишу и о нем :)
Спасибо, интересное полуночное чтиво)
Не очень понял момент с коммутирование проекторов:
Однако, в силу того что любая степень проектора равняется ему самому, такая перестановка просто дублилует p, всегда оставляя справа его копию:
Можете, пожалуйста, пояснить?
Основная мысль здесь в том, что после того как мы один раз спроектировали мультивектор внутрь левого идеала, у него больше нет возможности этот идеал покинуть при помощи левого умножения на другие мультивекторы. Справа всегда будет стоять проектор, который оттуда невозможно убрать.
Примером с коммутированием я попытался показать что в случае умножения произвольных мультивекторов 
, мультивектор 
можно загнать влево хотя бы в одном из слагаемых, а вот при загоне влево проектора, его копия все равно как бы останется справа.
"спинор - это такой объект, который при повороте на 360 градусов превращается в свою противоположность"
Блин, получается зря над Бербок смеялись ...
Опять это безграмотное введение в геометрическую алгебру, которое кочует по научно-популярным видео и статьям уже несколько лет! Определение произведения дается только для обычных векторов, хотя сами же пишете, что элементы алгебры — это мультивекторы. Что такое скалярное произведение вектора на число? А на бивектор, тривектор и т. д.? Чему равно внешнее произведение вектора на число? Все это надо явно пояснять, ибо уже в следующем разделе вы используете тройное произведение векторов, которое к парному не сводится.
Если это все пояснять, статья слишком раздуется и ее будет тупо неинтересно ни читать, ни тем более писать.
Скалярное произведение определено только для векторов. Для мультивекторов его определять не нужно (но если сильно хочется - https://www.youtube.com/watch?v=2AKt6adG_OI). Произведение на число определено для векторов просто по определению линейного векторного пространства, а внешнее произведение билинейно.
Чтобы работать с k-векторами, проще всего выбрать ортогональный базис, для того чтобы геометрическое произведение различных базисных векторов сводилось к их внешнему произведению, а произведение на себя - к скалярному квадрату. (Или еще можно упороться по неортогональному базису с явным вынесением антикоммутаторов базисных векторов, но это боль и страдания, так никто не делает).
Но вообще, цель этой статьи совсем не в том чтобы дать введение в геометрическую алгебру. Я предполагаю что читатель в целом знает как оно работает, но возможно нужно немного напомнить. Цель в том, чтобы показать ее применение. Что во-первых элементы группы Spin(n), которые обычно даются через матрицы, представимы в виде роторов, и такое представление проще и имеет ярко выраженный геометрический смысл, во-вторых дать мотивацию, почему нам вообще могли понадобиться спиноры - для разложения векторов, и в-третьих, поднять тему, которая в контексте алгебр Клиффорда поднимается не так уж часто, а именно тему проекторов и идеалов, и показать что эти самые спиноры получаются сами собой просто из того как оказывается структурирована алгебра.
В общем, считайте, что разобраться во всем том что я не выписал явно - это упражнение для читателя.
Если это все пояснять, статья слишком раздуется и ее будет тупо неинтересно ни читать, ни тем более писать.
Ну хотя бы надо объяснить, что мы переходим к мультивекторам? Это займёт лишь абзац. Я при чтении замечательной формулы для геометрического произведения, где складывается скалярное и векторное произведение, ощущал, что кто-то из нас с вами двоих — идиот. Я посмотрел другие статьи про геометрическую алгебру, и нашёл везде одно и то же, после чего, предположив, что все эти люди идиотами быть не могут, дописал этот абзац мысленно сам. Но так дела-то не делаются.
По статье — огромное спасибо, она очень полезна в плане показать, куда надо смотреть. В качестве литературы по теме, кмк, очень хороша книга «Geometric Algebra for Physicists», увы, не переведена на русский.
Абзац, который нужно добавить выглядит примерно так:
Начнем с рассмотрения линейного векторного пространства
, снабженного операцией скалярного произведения
.
И будем его расширять, добавляя разные объекты, чтобы в конечном итоге получить замкнутость относительно умножения, то есть, алгебру. Поскольку скалярное произведение превращает два вектора в скаляр, не содержащийся в V, добавим к V и множество скаляров.
Кроме скалярного произведения векторов, для физики необходимо векторное произведение. К сожалению, оно определяется только для 3х измерений, поэтому мы введём его более удобный тут аналог — внешнее произведение.
Дополнительно введем операцию внешнего произведения векторов
. Эта формальная операция ставит в соответствие каждой паре векторов бивектор.
Бивектор тоже добавим в наше множество, дополнительно к V и скалярам. Таким образом, каждый его элемент может иметь скалярную, векторную и бивекторную компоненты одновременно. То есть, это множество можно на данном этапе представить как множество кортежей (скаляр, вектор, бивектор). Просто скаляр x будет соответствовать тройке (x, 0, 0); вектор v — (0, v, 0); бивектор b — (0,0,b).
Для двумерного пространства этого достаточно, а для пространств более высоких измерений числа наше множество придётся множество расширить аналогичным образом.
Я бы ещё добавил, что свойство антикоммутативности внешнего произведения справедливо только для векторов (элементов 1-го порядка). А внешнее произведение бивекторов вполне себе коммутативно.
Справедливое замечание, ибо сначала у нас только числа, векторы и бивекторы, а потом внезапно появляется не понятно откуда взявшаяся богатая алгебраическая структура.
Откроем учебник физики. Представление векторов как матриц (почему, откуда?), их разложения по столбцам и строкам, какие-то стрелочки, матрицы Паули, Гамма-матрицы, вся эта дичь вроде работает и ее можно использовать для решения уравнения Дирака, но выглядит ли это разумным человеческим языком?
человеческим языком
И далее пошли формулы...
Одной из самых больших сложностей в осознании квантовой механики для меня стали спиноры. Действительно, откройте любое популярное изложение, и вам навешают лапшу на уши о то что "спинор — это такой объект, который при повороте на 360 градусов превращается в свою противоположность". Полезное определение? Кажется не очень.
Ну хорошо, черт с ними с популярными изложениями. Откроем учебник физики. Представление векторов как матриц (почему, откуда?), их разложения по столбцам и строкам, какие-то стрелочки \left| \uparrow \right>, \left| \downarrow \right>, матрицы Паули, Гамма-матрицы, вся эта дичь вроде работает и ее можно использовать для решения уравнения Дирака, но выглядит ли это разумным человеческим языком?
Спасибо за публикацию, хотя введение несколько озадачило. Выглядит, как необдуманный наезда на физику) В результате оказалось, что один эквивалентный формализм в физической теории заменяется другим. В КМ, например, их девять, и вероятно не все перечислены. Выбор формализма дела вкуса. Все работающие основываются на одних и тех же эмпирических посылках и концептуальных моделях теорий.
Что касается человеческим языком, то хотелось бы как герою этого скетча обойтись одними камушками
Однако он понял трудности такого простого и наглядного подхода к описанию Вселенной, и вероятно вновь заценил математику. Тем не менее, частично такая мечта воплотилась в компьютерах. Какие бы программы они не исполняли, содержащие операции с самыми абстрактными математическими объектами, включая в физических описаниях, в конечном итоге, на аппаратном уровне все сводится к манипуляциям мириадами состояний нулей и единиц, все те же камешек, но только логических)
Не исключено, что мы наблюдаем закат аналитических математических моделей фундаментальных физических теорий, типа КМ, ОТО и СТО. Неудача с ТС и другими подобными математическими теориями на физические темы, не имеющих под собой собственных эмпирических оснований, и бурный расцет нейросетевого ИИ похоже задает новый тренд в разработке теорий, включая фундаментальных. Обучение на эмпирических данных, которые скоро будут генерироваться зеттабайтами различными экспериментальными установками — телескопами, ускорителями, детекторами частиц, и тд. На выходе предсказание поведения физических объектов. В промежутке "черный ящик", возможной разной степени серости. Для прикладных теорий это очевидное решение, как пример это решение по оценке размерности сложных динамических систем, не смотря на скепсис в коментах. Одна из последних разработок. В астрофизике это тренд носит уже взрывной характер. Возможно будущая объединительная теория объясняющая кв. гравитацию будет такой нейросетевой моделью. Этаким оракулом, к которому нужно будет обращаться за решением возникающих задач. Но все это по прежнему будет крутиться на компах, а значит по прежнему сводиться к манипуляциям с мириадам логических камушков)
Кому изложение в статье показалась сложным можно посмотреть эту отличную публикацию на близкую тему.
Ещё раз спасибо за статью — я несколько раз «перечитывал пейджер и много думал», всё-таки, не могу сказать, что в результате всё стало очевидным...
В последней части «а что там у физиков» вы сразу в опор перепрыгиваете к волновым функциям. При этом вырываются пара страниц, примерно как в Geometric algebra for physicists. А именно, когда мы говорим про что-то там измеримое, мы имеем в виду не волновую функцию, а наблюдаемые, т.е. оператор, свёрнутый с волновой функцией.
То есть, да, что реальная симметрия 3d пространства включает в себя поворот на 720 — это убедительно. Но вот как это ложится на расщепление уровней в магнитном поле и двукратную вырожденность уровней?
О спинорах человеческим языком