Как найти площадь произвольного многоугольника с вершинами в узл��х клетчатой бумаги?

В простых ситуациях его можно разбить на треугольники (рис. 1а) или, наоборот, достроить до прямоугольника (рис. 1б). Но как быть в общем случае? Посмотрите, скажем, на рисунок 1в.

Оказывается, достаточно подсчитать числоIвершин внутри многоугольника и число Bна его границе — тогда его площадьSбудет равна

S = I + \frac B 2 − 1.

Это формула называется формулой Пика в честь австрийского математика Георга Пика (1859–1942), открывшего её в 1899 году. Так, для многоугольника на рисунке 1в имеем

I = 13, B = 20, поэтому S = 13 + \frac {20} {2} − 1 = 22.

Формула выглядит удивительно просто. Интересно, столь же просто её доказать?

Этап 1: ШАГ ИНДУКЦИИ. Предположим, что многоугольник разбит диагональю на два, для которых формула доказана. Тогда несложно показать, что она верна и дляM.

Этап 2: ТРИАНГУЛЯЦИЯ. Многократно проводя внутренние диагонали, разобьём наш многоугольник на элементарные треугольники (не содержащие узлов ни на границе, ни внутри, кроме вершин). Для такого треугольника I = 0 иB = 3,поэтому площадь должна быть равнаS = 1/2.

Этап 3: БАЗА ИНДУКЦИИ. Остаётся доказать, что площадь элементарного треугольника равна1/2.Мы приведём важное и красивое рассуждение.

Пусть треугольник имеет вершины (0, 0), (a, b)и(c, d).Достроим его до параллелограмма, добавив вершину (a + c, b + d),и замостим его копиями всю плоскость (рис. 2).

Элементарность нашего треуг��льника равносильна тому, что любой узел(e, f)можно получить из узла(0, 0)целочисленными сдвигами сторон(a, b)и(c, d).Иными словами, для любых целыхeиfнайдутся целыеxиyтакие, что

x(a, b) + y(c, d) = (e, f) \Longleftrightarrow \begin{cases} ax + cy = e \\ bx + dy = f. \end{cases}

Неожиданно, геометрическая задача свелась к чисто алгебраической — системе линейных уравнений. Её решение даётся формулами Крамера

x = \frac {de − cf} ∆ , \;\; y = \frac {af − be} ∆ , \;\;где \;\; ∆ = ad − bc \;\; — \;\; \textit {определитель} \;\;системы .

Хорошо известно, что определитель∆по модулю равен площади параллелограмма, построенного на векторах(a, b)и(c, d),поэтому нам надо доказать, что∆ = ±1.
При(e, f) = (1, 0)имеем(x, y) = (d/∆, −b/∆),а при
(e, f) = (0, 1) - (x, y) = (−c/∆, a/∆).Так какx, yвсегда должны быть целыми, то a, b, c, dкратны∆откуда∆ = ad − bcкратно ∆^2, что возможно, лишь при ∆ = ±1.Формула Пика доказана.

В заключение сделаем несколько замечаний.

  • Приведённое рассуждение с замещением плоскости на школьном языке иллюстрирует важные идеи высшей алгебры — описание базисов свободной абелевой группы\mathbb Z^2и группы её автоморфизмов:

    Aut(\mathbb Z^2) \; \cong \; GL_2 (\mathbb Z)=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \middle| ad-bc=\pm 1 \right\}.

  • Последний факт можно обобщить на высшие размерности: Aut(\mathbb Z^n) \; \cong \; \{ {A| det \;A = ±1} \}.

  • А вот формула Пика неверна уже в трёхмерном пространстве: объём многогранника с целыми вершинами не выражается через количества вершин внутри, на гранях и рёбрах.

  • Вместе с тем существуют варианты обобщения формулы Пика для некоторых классов целочисленных многомерных многогранников (например, с центрально-симметричными гранями).

Автор: Андрей Канунников, к. ф.-м. н., мехмат МГУ, преподаватель ШАД Хелпер