Comments 69
Дробное дифференцирование (необязательно по базису синусов-косинусов, но это отдельный вопрос) бывает полезно в анализе временных рядов: у нулевой производной много памяти по истории, а у первой - (бывает) предсказуемое поведение.
Что-то посередине может организовать пакет (python) fracdiff. Даже степень подбирать умеет.
Можно было несколько упростить рассуждения, если раскладывать не по синусам-косинусам, а по комплексным экспонентам e^(i*n*x)
Ну и любопытно (но лень проверять самому), что будет с биениями графиков, если перейти от ряда Фурье к интегралу.
Спасибо, а пару картинок можете запостить?
Видимо, растягивание интервала разложения на всю цифровую ось их сглаживает!
Или у вас не все картинки запостились, или вы дробную производную не заскриншотили (ну, что-нибудь типа перехода линейной функции в константу из статьи при alpha=0.9)
Этой картинкой я хотел показать, что манипуляцией со спектром можно и производную, и первообразную получить — то есть те результаты, которые легко проверить. Дробную тоже можно — но как проверить корректность результата?
А для полиномов не проще было заменить в формуле производной целого порядка факториалы на гамма-функцию? Всё сразу получается, в одно соображение же, не?
никакая система мира Коперника с Солнцем в центре нам не понадобилась бы
Интересно было бы делать расчет миссии на Марс в системе Птолемея.
Знатный логотип Хабра вышел бы.
Мне больше интересны те костыли, которыми они прикрутят разные скорости движения звёзд и прецессию.
Совсем старенький Бэкус (который Фортран придумал) в интервью рассказывал, что он начал работу в лабах IBM с расчётов положения Луны, с орбитой представленной как разложение Фурье с тысячей или в районе того членов. Так что как-то так и считали )
https://www.youtube.com/watch?v=dDsWTyLEgbk, на 14:25 примерно
Дробная Нецелая производная легко вводится с помощью преобразования Лапласа, при котором образ заданной функции строится как
Его применение к производной от заданной функции эквивалентно к умножению образа исходной функции на переменную,
которая может принимать нецелые и отрицательные значения.
Упомянутое уже здесь преобразование Фурье соответствует двустороннему преобразованию Лапласа с чисто мнимым аргументом (похоже, что "показатель" производной может быть и комплексным).
Подозреваю, что разные определения нецелой производной эквивалентны при соблюдении определенных ограничений
А 
это типа для положительных значений или про что это?
Наконец то я узнал о применении этого предобразования!
На самом деле преобразование Лапласа удобно для решения дифференциальных уравнений, в частности линейных, поскольку при его применение дифференциальное уравнение порядка один и более превращается в алгебраическое. После применения преобразования можно решить алгебраическое уравнение, а потом с помощью обратного преобразования восстановить решение исходного дифференциального уравнения.
Насколько я помню, смысл производной - функция, показывающая скорость изменения исходной функции. А какой может быть смысл у производных с нецелыми показателями?
И еще - может ли быть производная с отрицательными показателями? Это вроде должно быть интегрирование? Работает ли эта схема для отрицательных показателей?
Напр, моделирование всяких процессов в средах грубо говоря нецелой размерности: губка, песочек и тп.
То же и со степенями. Целая степень - сколько раз умножать число на себя. Дробные степени какой смысл имеют? А иррациональные? А комплексные?! Но работают и очень полезны в математике.
Забавно, но похоже ответ на первый вопрос: никто не знает. По крайней мере, нет общепринятого объяснения. В общем случае получается нелокальное преобразование, которое становится локальным в случае с целым показателем. Это не соответствует ни известным физическим процессам, ни математическим вопросам.
Ниже я привел ссылку на видео по этой теме, ответ оттуда.
Дробное исчисление помогает моделировать целый ряд физических процессов, например, электрохимические реакции (для вычисления потенциала ячейки применяются полу- и полуторные производные), динамику вязкоупругих материалов, неньютоновских жидкостей и т.д.
Интересное замечание. Возможно дробность все больше будет возникать в исследованиях сложных (нелинейных) динамических систем, которые не будут даже описываться аналитически, а моделироваться с помощью нейросетей, как в этой работе (публикация на Хабре). Если это все чаще востребовано в физике, то в области биологии такие системы, и такое сложное поведение норма, см. пример с выделением числа объектов в визуальных сценах в той же теме.
Вот это кстати очень тонкий вопрос! Быть может, у производной есть гораздо более глубокий смысл, которого мы не понимаем, а то, что первая производная дает скорость изменения функции - просто одно из ее, причем не главных, свойств???
А какой может быть смысл у производных с нецелыми показателями?
Математики часто выводят что-то новое не из-за смысла, а потому что так можно и не противоречит принятой аксиоматике. Например, производная от полинома любого порядка легко обобщается с помощью гамма-функции (потому что в ней используется факториал, а это частный случай гамма-функции). Есть ли у этого нового знания интуитивное представление и прикладное применение — уже другой вопрос.
Недавно наткнулся на одно занимательное видео на эту тему. https://www.youtube.com/watch?v=2dwQUUDt5Is. Рекомендую посмотреть, очень наглядно все объясняется.
> Если свойство какого‑нибудь математического объекта выражается, к примеру, натуральным числом, то почему бы не представить, что могут существовать объекты, у которых это свойство целое (то есть может быть нулем или отрицательным), дробное (рациональное), вещественное и так далее?
так далее - имеется в виду aleph-0, aleph-1, aleph-2, ... ?
честно говоря воображения не хватает представить производную порядка aleph-1
:)
После вещественных и так далее это обычно комплексные и кватернионы. Алефы это про мощность (обобщение количества), а мощность даже дробной не бывает (вот кстати и идея для обобщения ;) ).
Хм, если рассмотреть предел производных порядка n при n→∞, то можно придумать производную бесконечного порядка. Но только это не алеф, это должно быть ординальное число, т. е. ω. Считая обычные производные у производной порядка ω получаем производные порядка ω+1, ω+2, и т. д. Предельным переходом уже по ним получаем производную порядка ω+ω=2ω.
Можно ещё попробовать обобщить на дуальные числа, а потом через них найти частичную производную дробной производной по показателю производной...
Насчёт биений, равномерной сходимости и чётных функций вам может быть забавно потыкать старую-добрую дельта-функцию.
Это она, что ли, вылезает всякий раз в разных местах, не давая ряду равномерно сходиться?? (мы же говорим о дельта-функции Дирака и теории обобщенных функций)?
Ну так себя ведёт не только дельта-функция Дирака (кстати, не обязательно трогать обобщённые функции, вполне сойдёт оригинальное физическое определение дельты — как предела гауссианы при устремлённой к нулю сигме). Кроме дельты расходимостей также доставляет её скользящий интеграл — функция Хэвисайда, она же ступенька. А также вообще любой разрыв в исходной функции: ну не может сумма косинусов разорваться, с какими коэффициентами их не бери.
В математике это "обходится" игривыми фразами "почти всюду определённая / почти всюду непрерывная" (относительно исходной функции), которые означают "за исключением множества точек меры нуль". И из этого доказывается, что преобразование Фурье "почти всюду сходится" (за исключением множества точек меры нуль). Из чего почему-то делается наивный вывод, что для функций с разрывами Фурье работает хорошо, за исключением нескольких точек. Только вот это второе множество, хотя и меры нуль, не обязано быть даже счётным, так что "проблемных точек" может быть сильно больше, чем "несколько".
Добавлю PS для тех, кто не в курсе, что там не так с разложением дельта-функции в ряд Фурье. Если взять первые 10 членов разложения, то выглядеть оно будет так:
С увеличением количества членов ряда "горбы" становятся ближе друг к другу, но их максимальное значение совершенно не уменьшается (т.е. не приближаются к нулю). В пределе будет бесконечное (хотя и счётное, т.е. меры нуль) множество точек, в каждой из которых значения дельта-функции и её фурье-разложения отличаются не менее чем на 0,19. Хотя формально интеграл этой разности и будет равен нулю.
Тут у вас не дельта-Дирака, а гребень Дирака — это раз. Потому что тригонометрический ряд определён только для периодических функций, потому что он дискретный. Два — у вас графики обрезаны по оси y, а по оси x разные масштабы — написано же прямым текстом справа, горбы где были, там остались, просто количество высокочастотных составляющих увеличивается, равно как и их (горбов) высота. Три — подобную аргументацию можно и к разложению в степенной ряд применять. Многочлен же в бесконечности к бесконечности стремится, а синус — нет. Фигня значит эти ваши ряды Тейлора.
кстати, не обязательно трогать обобщённые функции, вполне сойдёт оригинальное физическое определение дельты — как предела гауссианы при устремлённой к нулю сигме
Если не рассматривать обобщённые функции, то этим пределом будет чистый ноль с разрывом в нуле. Так себе функция, без всяких интересных свойств.
Для всех кроме математиков дельта Дирака - это гауссиана с достаточно малой, но ненулевой сигмой. Конкретное значение радиуса настолько мало, что нам (мне и Дираку:) неинтересно, просто достаточно, что "мало". Для цифровой обработки это "меньше 0.5 такта", например.
Зато, в отличие от математического определения, определение Дирака более чем физично и непосредственно наблюдаемо в приборы.
Есть много интересных направлений в функциональном исчислении. Например, используя теорию суперфункций, можно вывести функциональный квадратный корень из функции g(x) — получить такую функцию f(x), для которой f(f(x)) = g(x). Суперфункцией для умножения является экспонента, а для экспоненты - тетрация, и подобно тому как определяется дробная степень, можно определить и дробный показатель тетрации.
На русском языке можно почитать статьи к.ф-м.н. Кузнецова Д. Ю. о суперфункциях и получении квадратного корня из факториала, изображённого на эмблеме физфака МГУ.
Отсутствие равномерной сходимости объясняется просто, если вспомнить, что непрерывные функции могут равномерно сходиться только к непрерывной. Если значения на концах -π и π различаются, то периодическое продолжение функции будет разрывно. Поэтому в окрестности этих точек сходимость никак не может быть равномерной. Наверное, по этой же причине и биения возникают, какой-то вариант эффекта Гиббса.
Да, замечание в тему! Но это же так сказать "краевой эффект", он, по идее, уйдет, если рассмотреть не закрытый интервал [–π, π], а открытый ]–π, π[ ?
Поведение функции а некоторой окрестности никак не зависит от "выкалывания" одной точки.
Не соглашусь! Если это так называемый "неустранимый разрыв первого рода", то очень может быть. Когда предел +0 и -0 различаются
Ну и как вы избавитесь от неустранимого разрыва выкалывая одну точку?
Ну вот следующим комментарием вроде все прояснили. Спасибо @Moonrise
Не уйдёт, пока эта точка предельная. Если отступить от неё на положительное значение, и рассмотреть отрезок [-π+ε,π-ε], то на нём да, сходимость будет равномерной. Но равномерная оценка тем хуже, чем меньше ε.
Здорово! Еще для красоты интересно посмотреть на поверхности в Oxy\alpha для функций в примерах
Если задать функцию как дискретную последовательность значений, то её производную можно определить как свертку данной последовательности с последовательностью [-1, 1]. Последнюю можно именовать оператором производной 1-го порядка. Ему соответствует (производящий) полином (t - 1). Который в свою очередь можно возводить в любую степень, в том числе и комплексную. Соответственно степеням этого полинома и будет соответствовать оператор производной заданной степени.
При этом нецелым степеням будут соответствовать бесконечные полиномы (ряд Тейлора). Свойство периодичности значений функции позволяет свернуть мономы полинома "по модулю периода" - циклическая свертка. (Неуклюже сформулировал, но надеюсь суть передал.)
Да, и надо бы проверить, совпадёт ли результат.
Это будет не производная, а конечная разность — близкие, но разные понятия. Для производной потребуется дискретная версия производной от sinc или периодической sinc, если функция во времени циклична.
Спасибо, кэп). Дискретная производная, выраженная через свертку с многочленом, наглядно демонстрирует (имхо, конечно) проблемную область дробных степеней производных. Целые степени от оператора (1 - t) - это конечный полином (и оператор). А нецелые - бесконечный. Соответственно, нужно некое правило приведения (проекции) бесконечности в конечность. И тут, мне кажется, возможен некий произвол (но могу и ошибаться). При разных правилах проекции будем получать разные определения дробных производных.
Переход от дискретной свертки к непрерывной вряд ли что-то принципиально изменит.
Спектр ядра свёртки для производной в непрерывном пространстве — прямая, спектр ядра свёртки для конечной разности в дискретном пространстве — синусоида. Достаточно большая разница на мой взгляд, чтобы не принимать её во внимание.
Добрался до компа и посмотрел, как выглядят дробные степени от разностного оператора [1, -1]. Никаких "синусоидальных биений" не увидел, - все гладко.
При изменении степени оператора от 0 до1 производная линейной функции плавно меняется от линейной до меандра, как и должно быть.
Из интересного - квадратный корень из разностного оператора выражается рядом, коэффициенты которого имеют явное выражение через числа Каталана: [1, -Catalan(k)/2^(2k+1)]. Сумма самих коэффициентов нулевая. А сумма квадратов равна, похоже, 4/pi. Наверное, известный факт, но быстро не нашел, где это отмечено.
Сорри, я не на ваше замечание отвечал, а тихо беседую в этой ветке сам с собой о свойствах дробной степени разностного оператора). Просто запостил, чтоб потом легче вспомнить было, если понадобится.
Добавлю, что коэффициенты дробного оператора (коэффициенты ряда Тейлора от полинома (1 - t)^(1/p) ) можно явно выразить не только для квадратного корня, но и для произвольной степени вида 1/p.
Для этого понадобится обобщение чисел Каталана для произвольного порядка p (называются Patalan numbers). Тогда
a(k, p) = Pat(k, p) / p^(2k+1)
Наверное, можно и для произвольных рациональных степеней вида q/p обобщить, но для хабра и так уже перебор подробностей).
Интересно, как будет выглядеть ядро свёртки дробного порядка для непрерывных функций?
Предположим, что, гипотетически, мы можем вычислять n-ю производную любой функции путём свёртки её с n-й производной дельта-функции Дирака.
Аналогично для интегрирования, но интеграл будет обладать неоднозначностью в виде постоянной составляющей (при n=-1), линейной функции (при n=-2) и т.д. Но будет ли результат однозначным при -1<n<0?
А ПИД-регулирование сюда можно как-то приткнуть?
(и вообще, диффуры?)
Вот статья по ссылке из Википедии на эту тему применительно к PID контроллерам.
Как уже выше говорилось, определение дробной производной через Фурье - не секрет. В литературе часто упоминается как производная по Riesz. В практике чаще встречал дифферинтегралы типа Капуто - неплохо расширяют наши возможности по описанию процессов переноса в сложных системах, например, фильтрационных задачах - давая формализацию явлениям суб- и супердиффузии, например. Хотя и возникает всегда вопрос, чем это лучше обычного добавления нелинейной кинетики к процессу переноса.
Хотя и возникает всегда вопрос, чем это лучше обычного добавления нелинейной кинетики к процессу переноса.
Если концептуальная модель явления известна, то как и для самих физических теорий годятся любые не противоречащие ей эквивалентные формализмы. Для КМ, например, их множество, здесь перечислено девять. Одни формализмы подчеркивают одни особенности явления, теории, другие другие, и это удобно в практических применениях.
The property of a function to have a derivative at some point is an essentially local one. All mentioned definitions like integral transforms or Fourier expansions exploit the global properties of a function. I think that it’s possible to define the derivative of the not integral order in local terms but it deserves a separate detailed article/post…
Производная с вещественным показателем тоже хорошо ложится в этот ряд. А есть еще примеры?
Мерность пространства.
В 90-х, вдохновившись Третьим посланием к человечеству от КОН, я вывел формулу объёма шара произвольной размерности. Если правильно помню, в формуле был факториал, а позже я узнал, что его можно заменить гамма-функцией.
На LOR в 2012-м люди тоже заметили.
Производная с вещественным показателем