Жорданова нормальная форма / Habr

Изучая линейную алгебру, все так или иначе сталкиваются с Жордановой нормальной формой (ЖНФ).

Когда я изучал эту тему, доказательства, которые я читал, мне казались очень запутанными и непонятными. Многие вещи опускались и считались очевидными. Для того, чтобы у меня сложилась полная картина доказательства со всеми случаями, мне понадобилось прочитать несколько учебников, конспектов и учебных пособий.

В этой статье я попытаюсь объяснить ЖНФ так, как мне кажется, наиболее понятным. Это доказательство является сб��рной солянкой из различных доказательств, но, по моему мнению, оно дает ответы на многие вопросы. После прочтения статьи(я надеюсь), помимо доказательства, вы узнаете ответы на несколько вопросов:

Почему матрица выглядит именно так?
Можно ли привести матрицу к ЖНФ несколькими способами?
Важен ли порядок векторов в матрице перехода между базисами?

Пререквизиты: Векторные пространства, линейные операторы, алгебра матриц, матрицы перехода, ядро и образ оператора, собственные вектора, инвариантные подпространства.

Зачем нужно диагонализировать оператор?

Рассмотрим известный пример (Числа Фибоначчи):

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} ^{n - 1} \cdot \begin{pmatrix} F_1 \\ F_{0} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n} \\ F_{n - 1} \\ \end{pmatrix}$

Если мы обладаем возможностью вбить в компьютер, то тут можно было бы и закончить, но, допустим, что мы не имеем такой возможности.

Что же с этим можно сделать?

Вспоминая из линейной алгебры, что:

$B^n = (C^{-1}AC)^n = C^{-1}A\underbrace{CC^{-1}}_{E}A\ldots A\underbrace{CC^{-1}}_{E}AC = C^{-1}A^nC$

Мы можем понять, что можно перевести эту матрицу в более ''удобный'' вид, в котором возвести матрицу в степень намного проще.

Самым удобным является диагональный вид, так как:

$A^k = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 &\dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2^k &\dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n^k \end{pmatrix}$

В стандартном курсе линейной алгебры изучаются собственные вектора , в базисе из которых(если такой существует) матрица имеет диагональный вид. Подробно рассматривать эту тему в этой статье я не буду.

Что делать если оператор не диагонализируем?

В таком случае нам нужно привести оператор к какому-то другому виду, в котором матрицу возводить в степень не очень сложно.

Тут и появляется Жорданова нормальная форма(далее ЖНФ). Оказывается, что можно привести любой оператор над алгебраически замкнутым полем к ЖНФ.

Будем рассматривать векторные пространства над алгебраически замкнутым полем, частным случаем которого являются комплексные числа. Это нужно для того, чтобы собственные числа принадлежали этому полю.

Дальнейшие доказательства работают и для векторных пространств над алгебраически незамкнутыми полями, но только для операторов, у которых собственные числа принадлежать полю $\mathbb{K}$ .

Жордановой нормальной формой(Жордановой матрицей) называют матрицу, состоящую из диагональных блоков $J_{r_i}(\lambda_i)$ и нулей вне этих блоков, где $J_{r_i}(\lambda_i)$ - это Жорданова клетка, которая будет рассмотрена дальше.

$\begin{pmatrix} \boxed{J_{i_1}(\lambda_1)} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \boxed{J_{i_2}(\lambda_2)} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & \boxed{J_{i_r}(\lambda_r)} \end{pmatrix}$

Жорданова клетка

Жордановой клеткой называют квадратную матрицу

$J_r(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \dots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda \end{pmatrix}$

порядка r.

Возведение Жордановой клетки в степень

Заметим, что $J_r(\lambda) = N + \lambda E$ , где N - нильпотентная матрица.

Докажем, при возведении в степень каждый столбец матрицы ''сдвигается вправо'' и что у первые столбцов нулевые.
Иными словами, докажем, что

$N^k = \begin{pmatrix} 0 & \dots & \overbrace{1}^{k + 1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 &\dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 0 &\dots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0& \dots & 0 \end{pmatrix} \\ \Updownarrow \\ N^k = ||n_{i,j}||^r_1 = || \delta_{i, j - k} ||^r_1$

$||n_{i,j}||^r_1$ - квадратная матрица порядка , где и от до .

$\delta_{i, j - k} = \begin{cases} 0, & \text{если $i \neq j - k$;} \\ 1, & \text{если $i = j - k$.} \end{cases} \quad \text{(символ Кронекера)}$

(В столбце единица стоит на строчке)

Докажем по индукции

База:

$N^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$

Переход:

$N^{k + 1} = N \cdot N^k = \\= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & \dots & \overbrace{1}^{k + 1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 &\dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 0 &\dots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & \dots & 0 & 0& \dots & 0 \end{pmatrix} =\\= \begin{pmatrix} 0 & \dots & \overbrace{1}^{k + 2} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 &\dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 0 &\dots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & \dots & 0 & 0& \dots & 0 \end{pmatrix}$

Таким образом мы получаем, что $N^k = || \delta_{i, j - k} ||^n_1$ .

Доказательство закончено.

Зная, что $J_r(\lambda) = N + \lambda E$ мы получаем, что

$J_r(\lambda)^k = (N + \lambda E)^k = \sum\limits_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} \cdot \lambda^{k - i} \cdot N^i = \sum\limits_{i = 0}^{min(k, r - 1)} \binom{k}{i} \cdot \lambda^{k - i} \cdot N^i$

(Так как )

Что достаточно просто считается.

К какому базису нужно тогда приводить? (Корневые подпространства и вектора)

Вектор называется корневым вектором линейного оператора $\mathcal{A}$ , отвечающим числу $\lambda \in \mathbb{K}$ , если $(\mathcal{A} - \lambda \cdot id)^p(v) = 0$ для некоторого $p \in \mathbb{Z}_+$ (где - это тождественный оператор). Наименьшее из таких называется высотой корневого вектора . Далее вектор высоты будем обозначать $v^{(p)}$
Высоту вектора будем обозначать $ht \text{ } v$ .

Примеры

Собственные вектора - вектора высоты 1.
Нулевой вектор - вектор высоты 0.

Корневые векторы соответствующие одному собственному значению образуют подпространство . Оно называется корневым подпространством и обозначается $V_{\lambda}$ .

А как это вообще связано с ЖНФ?

Пусть $\dim V = p$ . Тогда если оператор $\mathcal{A}$ имеет вектор высоты , то $V = \langle v^{(1)}, v^{(2)},\dots, v^{(p-1)}, v^{(p)}\rangle$ , где $v^{(i)} = \mathcal{A}^{p - i}v^{(p)}$

$(\mathcal{A} - id \cdot \lambda)^p (v^{(p)}) = (\mathcal{A} - id \cdot \lambda)^{p - 1}(\mathcal{A} - id \cdot \lambda) (v^{(p)})= \\ =(\mathcal{A} - id \cdot \lambda)^{p - 1} (\mathcal{A}v^{(p)} - \lambda \cdot v^{(p)})= 0 \implies \\ \implies \mathcal{A}v^{(p)} - \lambda \cdot v^{(p)} = v^{(p - 1)} \implies \mathcal{A}v^{(p)} = \lambda \cdot v^{(p)} + v^{(p - 1)}$

$\mathcal{A}v^{(p)} - \lambda \cdot v^{(p)} \neq 0$ , так как $ht\text{ }v^{(p)} = p$ . $\mathcal{A}v^{(p)} - \lambda \cdot v^{(p)}$ - вектор высоты , обозначим его за $v^{(p - 1)}$ .

Это значит, что при рассмотрении пространства, в котором базисом являются корневые вектора линейного оператора $\mathcal{A}$ линейный оператор будет выглядеть как Жорданова клетка размера .

$A(v^{(k)}) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} =\\ = \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & \overbrace{1}^{k - 1} & \underbrace{\lambda}_k & \dots & 0 \end{pmatrix}^T %\text{ }(\forall k \in \mathbb{N})$

Логично, что вектор высоты 1 должен быть первым, так как он переходит в себя, домноженного на лямбду, плюс вектор высоты 0.

А что если у нас несколько линейно независимых корневых векторов одной высоты в корневом подпространстве?

Давайте рассмотрим вместо оператора $\mathcal{A}$ оператор $\mathcal{N} = \mathcal{A} - \lambda \cdot id$ .
Очевидно, что если оператор $\mathcal{N}$ приводится к ЖНФ, то и $\mathcal{A}$ приводится к ЖНФ, так как $C^{-1}AC = C^{-1}(N + \lambda E)C = C^{-1}NC + \lambda E$ .

Пусть $e^{(p)}$ - корневой вектор оператора $\mathcal{A}$ высоты . $\implies \mathcal{N}^k(e^{(p)}) = (\mathcal{A} - \lambda \cdot id)^k(e^{(p)}) = e^{(p - k)}$ .
Подпространство $U = \langle e, \mathcal{N}e, \mathcal{N}^2e,\dots,\mathcal{N}^{p - 1}e \rangle$ называется циклическим подпространством.
Очевидно, что инвариантно относительно $\mathcal{N}$ . Ограничение оператора $\mathcal{N}$ на задается матрицей

$J_p(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$

Докажем, что существует инвариантное относительное $\mathcal{N}$ подпространство $W \subset V$ , такое что $V = U \oplus W$ . $U = \langle e, \mathcal{N}e,\mathcal{N}^2e,..., \mathcal{N}^{p-1}e \rangle$ , где максимально.

Возьмем максимальное инвариантное подпространство , которое не имеет пересечения с . Такое всегда есть, например, нулевое.

Докажем, что $V = U \oplus W$ от противного:

Возьмем вектор $v \notin U + W$ .
содержит в себе вектор максимальной высоты , поэтому $\forall v ~~ \mathcal{N}^{p}v = 0$ .
Из этого следует, что существует такое, что $\mathcal{N}^{k - 1}(v) \notin U + W \text{, но }\mathcal{N}^{k}(v) \in U + W$ , так как $\mathcal{N}^p(v) = 0$ .

(Далее будем обозначать $\mathcal{N}^{k - 1}(v)$ за ).

$\mathcal{N}(v') \in U + W \implies \mathcal{N}(v') = u + w (u \in U, w \in W)$ $\mathcal{N}^{p - 1}(\mathcal{N}(v')) = \mathcal{N}^{p - 1}(u + w) = \mathcal{N}^{p - 1}(u) + \mathcal{N}^{p - 1}(w) = 0$ $U \cap W = 0 \implies \mathcal{N}^{p - 1}(u) = \mathcal{N}^{p - 1}(w) = 0$

(так как и инвариантны относительно $\mathcal{N}$ ) и линейно независимы

$ht \text{ } u < p \text{, так как } \mathcal{N}^{p - 1}(u) = 0 \implies u \in \langle \mathcal{N}e, \mathcal{N}^2e,\dots,\mathcal{N}^{p - 1}e \rangle$

Пусть $u = \mathcal{N}u'(u' \in U)$ . Такой существует, так как высота меньше .

$\mathcal{N}(v') = u + w = \mathcal{N}(u') + w \implies \mathcal{N}(v' - u') = w\text{, где }v' - u' \notin U + W$ $v' - u' \notin U + W \text{, так как } v' \notin U + W \land u' \in U$

Рассмотрим $W' = W + \langle (v' - u') \rangle$ .

инвариантно, так как инвариантно, а $\mathcal{N}(v' - u') \in W$

Докажем, что $W' \cap U = 0$ , таким образом расширив "максимальное"

Возьмем $y = z + \alpha (v' - u') (y \in W' \cap U; z \in W)$ .

$\implies \alpha \underbrace{(v' - u')}_{\notin U + W} = \underbrace{y - z}_{\in U + W}$

$y - z \in U + W$ , так как $y \in W' \cap U \implies y \in U$ , а $z \in W$ .

Значит $\alpha = 0$ , но тогда $y = z \implies y \in W$ , но $W \cap U = 0 \implies y = 0$

Мы доказали, что $U \cap W' = 0$ .

Значит $U \cap W' = 0$
В итоге получим, что можно расширить до , получая противоречие. $\implies V = U + W = U \oplus W$ (так как $U \cap W = 0$ ).

Доказательство закончено.

Такой алгоритм мы можем применять пока $W \neq 0$ (дальше смысла нет), таким образом раскладывая в прямую сумму инвариантных подпространств.

Из этого следует, что корневое подпространство раскладывается в прямую сумму циклических подпространств. Они инвариантны, поэтому представляются в виде блочно-диагональной матрицы из жордановых клеток.

Что делать, если у оператора несколько различных собственных значений?

Существует такое , начиная с которого $Ker \mathcal{N}^p = Ker\mathcal{N}^{p + i} ~~~ \forall i > 0$ .(Теорема о стабилизации)

Напомним, что $\mathcal{N} = \mathcal{A} - \lambda \cdot id$ .
Очевидно, что $Ker\mathcal{N}^i \subset Ker\mathcal{N}^{i + 1}$ , а также $dimKer\mathcal{N}^i$ ограничено $\dim V$ .
Поэтому начиная с какого-то момента $Ker\mathcal{N}^p = Ker\mathcal{N}^{p + 1}$ . Осталось доказать, что если соседние элементы равны, то так будет и дальше( $Ker\mathcal{N}^{p} = Ker\mathcal{N}^{p + i}$ $\forall i > 0$ ).
По условию $\mathcal{N}^p(v) = 0 \Longleftrightarrow \mathcal{N}^{p + 1}(v) = 0$

Пусть $\exists v : \mathcal{N}^{p + i}(v) = 0$

$\mathcal{N}^{p + i}(v) = \mathcal{N}^{p + 1}(\mathcal{N}^{i - 1}v) = \mathcal{N}^{p}(\mathcal{N}^{i - 1}v) = \mathcal{N}^{p + i - 1}(v) = 0$

Таким образом мы можем действовать, пока

Теорема доказана

Пусть линейный оператор $\mathcal{A}$ (над ) имеет собственное значение $\lambda$ . Тогда имеет место разложение в прямую сумму, $V = V_{\lambda} \oplus W$ , где - инвариантное подпространство, причем ограничение оператора на невырождено.

Очень похоже на доказательство с циклическими подпространствами

Воспользуемся тем же методом. Будем рассматривать $\mathcal{N} = \mathcal{A} - \lambda \cdot id$ . Тогда собственным значением для $\mathcal{N}$ будет .

Положим $\mathcal{N}^p$ (где начиная с последовательность $\mathcal{N}^i$ стабилизируется) и докажем, что $V = V_\lambda \oplus W = Ker$ $\mathcal{N}^p \oplus Im$ $\mathcal{N}^p$ .

Инвариантность очевидна, так как $\mathcal{N}^{p + 1}(v) = \mathcal{N}^{p}(\mathcal{N}(v)) \in Im\mathcal{N}^p$ . $\implies Im\mathcal{N}^{p + 1} = Im\mathcal{N}^p$

По известной теореме(например, можно найти в Винберге 5.2.2(201 страница))\

$\dim Ker \mathcal{N}^p + \dim Im \space \mathcal{N}^p = dim \space V$

Поэтому можно лишь доказать, что их пересечение равно нулю, из чего будет следовать разложение в прямую сумму.

Пусть $v \in Ker \mathcal{N}^p \cap Im \space \mathcal{N}^p$ . $v \in Im ~ \mathcal{N}^p \implies \exists w : \mathcal{N}^p(w) = v$

$Ker \mathcal{N}^p = Ker \mathcal{N}^{2p} \implies w \in Ker \mathcal{N}^p \text{, так как $\mathcal{N}^{2p}(w) = \mathcal{N}^{p}(v) = 0$} \\ \implies \mathcal{N}^{p}(w) = 0 \\ \implies v = 0$

Следовательно $Ker \mathcal{N}^p \cap Im \space \mathcal{N}^p = 0$ .

Таким образом мы можем разложить пространство в прямую сумму корневых подпространств(закончив в тот момент, когда ).
Они будут инварианты относительно $\mathcal{A}$ . Поэтому матрицу можно представить в виде блочно-диагональной матрицы, блоки которой представляют из себя жордановы клетки.

Приведение к ЖНФ

Таким образом мы доказали и описали алгоритм нахождения ЖНФ.

Теперь посмотрим, как это использовать на практике, и ответим на некоторые вопросы, которые могут возникнуть:

Можно ли выбрать любой корневой вектор при построении базиса?(одной высоты и с одним собственным числом)
Важен ли порядок векторов?
Важен ли порядок клеток?

Ответы на эти вопросы должны быть понятны исходя из доказательства, но если отвечать коротко:

Да, можно выбрать любой корневой вектор
Да, порядок векторов важен
Нет, порядок клеток не важен

Приведем матрицу к ЖНФ и заодно проверим это

$A = \begin{pmatrix} 0 & -6 & -7 & -9 \\ 1 & 5 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Найдем собственные числа(корни характеристического уравнения)

$\det (A - \lambda E) = \begin{vmatrix} -\lambda & -6 & -7 & -9 \\ 1 & 5 -\lambda & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 4 -\lambda & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 -\lambda \end{vmatrix} = \\ = -\lambda \cdot \begin{vmatrix} 5 -\lambda & 3 & 4 \\ 0 & 4 -\lambda & 2 \\ 0 & -1 & 1 -\lambda \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -6 & -7 & -9 \\ 0 & 4 -\lambda & 2 \\ 0 & -1 & 1 -\lambda \end{vmatrix} = \\ = -\lambda \cdot (5 -\lambda) \cdot \begin{vmatrix} 4 -\lambda & 2 \\ -1 & 1 -\lambda \end{vmatrix} - 1 \cdot (-6) \cdot \begin{vmatrix} 4 -\lambda & 2 \\ -1 & 1 -\lambda \end{vmatrix} = \\ = -\lambda \cdot (5 -\lambda) \cdot (\lambda^2 -5\lambda + 6) - 1 \cdot (-6) \cdot (\lambda^2 -5\lambda + 6) = \\ = (\lambda - 3) (\lambda - 2)(-\lambda \cdot (5 -\lambda) - 1 \cdot (-6)) = \\ = (\lambda - 3) (\lambda - 2) \cdot (\lambda^2 - 5\lambda + 6) = (\lambda - 3)^2 (\lambda - 2)^2$

Таким образом получаем, что имеет 2 собственных числа: $\lambda_1 = 3$ кратности 2 и $\lambda_2 = 2$ кратности 2.

Найдем базис корневого подпространства $V_{\lambda_1}$

Подпространство $V_{\lambda_1}$ размерности 2, поэтому существует несколько возможных базисов: 2 корневых вектора высоты 1, и один корневой вектор высоты 2 и один высоты 1.

Чтобы определить, сколько у нас векторов высоты 2, нам нужно посмотреть на решения уравнения $(A - \lambda_1 E)^2v = 0$ , затем проверить, есть ли среди них вектор высоты 2.

Это можно сделать домножив каждый из них на $(A - \lambda_1 E)$ если какой-то из них не равен 0, то он будет являться вектором высоты 2.

Сначала найдем решения уравнения $(A - \lambda_1 E)^2v = 0$ .

Для этого сначала посчитаем $(A - \lambda_1 E)^2$ :

$\begin{pmatrix} -3 & -6 & -7 & -9 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -6 & -7 & -9 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} =\\= \begin{pmatrix} 3 & 6 & 5 & 7 \\ -1 & -2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Запишем систему в матричном виде:

$\begin{pmatrix} 3 & 6 & 5 & 7 \\ -1 & -2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Упростим систему воспользовавшись эквивалентными преобразованиями матриц:

$\begin{pmatrix} 3 & 6 & 5 & 7 \\ -1 & -2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 6 & 5 & 7 \\ -1 & -2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & -2 \\ -1 & -2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Осталось найти решения такой системы:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ранг матрицы равен 2, поэтому нам нужно найти 2 линейно-независимых вектора, которые и будут составлять базис корневого подпространства.

Возьмем 2 любых линейно-независимых вектора:

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} ;~~ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Домножим каждый из них на $(A - \lambda_1 E)$ . Если среди них есть вектор высоты 2, то он должен перейти в вектор высоты 1, а другой должен перейти в 0.

$\begin{pmatrix} -3 & -6 & -7 & -9 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} -3 & -6 & -7 & -9 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Оба вектора оказались векторами высоты 2, но базис должен состоять из вектора высоты 1 и высоты 2, чтобы выглядеть как жорданова клетка. Глядя на них, видно, что , и $(A - \lambda_1 E)v_1$ линейно зависимы.

Базис найден, но...

Мы нашли 2 различных корневых вектора высоты 2:
и . Значит с каждым из них можно составить базис, в котором матрица A жорданова(Это мы проверим позже).

Главное - чтобы векторы были в таком порядке, чтобы
вектор высоты , переходил в вектор высоты , лежащем в том же циклическом подпространстве. Тогда сужение A(в жордановом базисе) на это циклическое подпространство будет выглядеть, как жорданова клетка.

Теперь найдем базис корневого подпространства $V_{\lambda_2}$

Подпространство $V_{\lambda_2}$ размерности 2, поэтому будем действовать так же, как и в предыдущем случае: сначала узнаем количество корневых векторов высоты 2.

Найдем решения уравнения $(A - \lambda_2 E)^2v = 0$ :

$\begin{pmatrix} -2 & -6 & -7 & -9 \\ 1 & 3 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & -6 & -7 & -9 \\ 1 & 3 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} =\\= \begin{pmatrix} -2 & -6 & -9 & -11 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

Запишем систему в матричном виде:

$\begin{pmatrix} -2 & -6 & -9 & -11 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Упростим систему воспользовавшись эквивалентными преобразованиями матриц:

$\begin{pmatrix} -2 & -6 & -9 & -11 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -2 & -6 & -9 & -11 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Осталось найти решения такой системы:

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Возьмем 2 любых линейно-независимых вектора:

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix} ;~~ v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$

Домножим каждый из них на $(A - \lambda_2 E)$ . Если среди них есть вектор высоты 2, то он должен перейти в вектор высоты 1, а другой должен перейти в 0.

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Следовательно оба вектора высоты 1. Поэтому жорданова форма сужения на подпространство $V_{\lambda_2}$ будет состоять из двух клеток порядка 1.

Теперь можно спокойно привести матрицу к ЖНФ

Мы знаем, что матрица состоит из 3 жордановых клеток: , и

Давайте проверим, что базисы корневых подпространств могут быть разными:

Можно вспомнить, что для $V_{\lambda_1}$ мы нашли 2 различных корневых вектора высоты 2: и . Давайте приведем матрицу к двум различным жордановым базисам, но к одной форме(матрицы выглядят одинаково, а базисы разные).

Запишем матрицу в двух базисам и проверим, что эти матрицы действительно являются Жордановыми нормальными формами матрицы .

Первый базис:

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$

Как мы знаем, порядок корневых векторов важен: если вектор высоты 2 переходит в вектор высоты 1, то вектор высоты 2 должен идти сразу после вектора высоты 1. Порядок векторов принадлежащих различным циклическим подпространствам не важен(мы можем менять жордановы клетки местами).

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1& 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1& 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1& 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -1 \end{pmatrix}^{-1}$

Проверим это кодом. Заметим, что если $A = CJC^{-1}$ , то . Будем проверять последнее выражение, так как в первом нужно считать обратную матрицу, при вычислении которой появляется погрешность из-за вычислений с плавающей запятой.

Код:

import numpy as np
A = np.matrix([[0, -6, -7, -9], [1, 5, 3, 4], [0, 0, 4, 2], [0, 0, -1, 1]])
J = np.matrix([[3, 1, 0, 0], [0, 3, 0, 0], [0, 0, 2, 0], [0, 0, 0, 2]])
base_vectors = np.matrix([[-2, 1, 0, 0], [1, -1, 2, -1], [0, 1, 3, -3], [1, 0, 1, -1]])

print(A * base_vectors.T)
print(base_vectors.T * J)
print(base_vectors.T * J == A * base_vectors.T)

Вывод:

[[-6  1  0  2]
 [ 3 -2  2  0]
 [ 0  6  6  2]
 [ 0 -3 -6 -2]]
[[-6  1  0  2]
 [ 3 -2  2  0]
 [ 0  6  6  2]
 [ 0 -3 -6 -2]]
[[ True  True  True  True]
 [ True  True  True  True]
 [ True  True  True  True]
 [ True  True  True  True]]

Второй базис:

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$

Упорядочив вектора мы получаем:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1& 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1& 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1& 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}^{-1}$

Код:

import numpy as np
A = np.matrix([[0, -6, -7, -9], [1, 5, 3, 4], [0, 0, 4, 2], [0, 0, -1, 1]])
J = np.matrix([[3, 1, 0, 0], [0, 3, 0, 0], [0, 0, 2, 0], [0, 0, 0, 2]])
base_vectors = np.matrix([[2, -1, 0, 0], [1, 0, -2, 1], [0, 1, 3, -3], [1, 0, 1, -1]])

print(A * base_vectors.T)
print(base_vectors.T * J)
print(base_vectors.T * J == A * base_vectors.T)

Вывод:

[[ 6  5  0  2]
 [-3 -1  2  0]
 [ 0 -6  6  2]
 [ 0  3 -6 -2]]
[[ 6  5  0  2]
 [-3 -1  2  0]
 [ 0 -6  6  2]
 [ 0  3 -6 -2]]
[[ True  True  True  True]
 [ True  True  True  True]
 [ True  True  True  True]
 [ True  True  True  True]]

Дополнительная литература

Э. Б. Винберг - Курс алгебры. (Тут можно почитать про циклические подпространства и разложение в сумму циклических подпространств. Книга по алгебре, поэтому тут многие вещи считаются очевидными и опускаются. Интересная часть про функции от линейного оператора, в которой рассматривается матричная экспонента и решение систем однородных линейных уравнений)
В. В. Прасолов - Задачи и теоремы линейной алгебры. (Интересные задачи с решениями. В доказательствах иногда опускаются некоторые ''очевидные'' вещи. Есть много всего интересного, но сложного для неподготовленного читателя. Рассматриваются другие нормальные формы)
А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов - Задачи по линейной алгебре и геометрии
(Тут рассматривается ЖНФ с более прикладной точки зрения. Содержит разборы типовых задач.)
В. М. Мануйлов - Линейная алгебра и геометрия(Конспект лекций Мехмата МГУ)
(Наиболее понятное объяснение ЖНФ из выше перечисленных, по моему мнению. Также можно посмотреть видеозаписи лекций на teach-in.ru