Физический смысл метрического тензора

В специальной (СТО) и общей (ОТО) теориях относительности широко используется понятие метрического тензора (метрики). В разных источниках можно найти несколько определений этого понятия, но все они страдают общим недостатком -- крайней математизированностью. Для людей с математическим складом мышления, уже когда-то понявшими, что такое метрический тензор, приводимые в литературе определения, вероятно, представляются ясными и очевидными. Но они не помогают, а, напротив, лишь затрудняют постижение сути этого понятия человеку с обыденным мышлением, впервые с ним столкнувшимся. Дело в том, что математические определения не раскрывают физического смысла метрического тензора, то есть, не позволяют представить его роль и место в физическом мире.

В этом тексте мы попытаемся изложить смысл метрического тензора с физической, даже обыденной точки зрения, не выходя при этом за пределы самой простой математики.

Цель, ради которой метрику и метрический тензор ввели в научный оборот, -- желание описать конфигурацию любого пространства с помощью математических формул. Как это можно сделать?

Начнём с простейшего случая. Представим себе две бесконечно близкие точки А и В в обычном евклидовом пространстве. Будем считать, что мы перемещаемся из точки А в точку В по кратчайшему пути. В таком случае расстояние между точками определяется длиной вектора ds, проведённого из точки А в точку В.

Считаем пространство плоским (двумерным). Введём в нём прямоугольную декартову систему координат. Тогда разности одноимённых координат точек А и В в этой системе равны dx¹ и dx². (В тензорном исчислении и основанной на нём ОТО координаты принято обозначать x¹ и x², то есть xⁱ, а не через привычные x и y. В данном случае dx¹ это то, что в школьной геометрии обозначали dx, а dx² – dy). Квадрат длины вектора ds² рассчитывается по теореме Пифагора:

            ds² = (dx¹)² + (dx²)²  = dx¹∙dx¹ + dx²∙dx² = Σdxⁱ∙dxⁱ , (1)

или, опуская знак суммы, как это принято в теории относительности

ds² = dxⁱ∙dxⁱ. (2)

Вместе с тем на практике приходится решать задачи, в которых система координат может отличаться от декартовой. Более того, в СТО мы имеем дело уже не с привычным нам пространством, а с четырехмерным пространством-временем, геометрия которого не евклидова. В ОТО пространственно-временной континуум вообще криволинейный.

Поэтому формула (1) должна быть модернизирована. В общем случае она должна содержать произведения всех разностей координат, взятых попарно (то есть, dxⁱ∙dx^k), а перед каждым произведением должен стоять коэффициент, который принято обозначать g_ik. (Математическое обоснование этого утверждения можно посмотреть в [1, с. 392]). Например, для обычного трёхмерного пространства, в котором разности одноимённых координат двух бесконечно близких точек равны dx¹, dx² и dx³, формула для ds² записывается так:

ds² = g₁₁∙dx¹∙dx¹ + g₂₁∙dx²∙dx¹ + g₃₁∙dx³∙dx¹ +

     + g₁₂∙dx¹∙dx² + g₂₂∙dx²∙dx² + g₃₂∙dx³∙dx² +

      + g₁₃∙dx¹∙dx³ + g₂₃∙dx²∙dx³ + g₃₃∙dx³∙dx³,       (3)

или, переходя к виду, аналогичному (2):

ds² = g_ik∙dxⁱ∙dx^k.       (4)

Трудоёмкость и даже сама возможность определения числовых значений коэффициентов g_ik зависят от степени сложности геометрии пространства. При замене в евклидовом пространстве прямоугольных декартовых координат на косоугольные значения g_ik легко рассчитываются из чисто геометрических соображений, через синусы и косинусы. В пространстве ОТО, геометрия которого определяется гравитацией, в общем случае значения g_ik зависят от положения (расстояния) точек относительно гравитирующего тела (например, как в известном решении Шварцшильда), а совсем уж в общем случае, и от времени. В таких сложных условиях нахождение значений g_ik представляет собой непростую задачу.

Коэффициенты g_ik могут быть записаны, как это принято в математике, в виде двумерной матрицы, состоящей из равного числа строк и столбцов, её компоненты можно увидеть в (3), если мысленно убрать из правой части произведения разностей координат и знаки «+», оставив только g_ik. Именно матричное представление g_ik подразумевается в (4), которая представляет собой формулу расчёта ds² в самом что ни на есть общем виде, и потому она справедлива для любых пространств.

Следует заметить, что формула Пифагора (1) также содержит коэффициенты g_ik. Матрица в этом случае диагональная: g₁₁=g₂₂=1, в других попарных произведениях разностей координат dx¹ и dx² (при i≠k) компоненты g_ik равны 0, поэтому соответствующие члены отсутствуют в (1). С учётом этих обстоятельств, а также различия размерности пространств, (1) полностью эквивалентно (3).

g_ik в матричной форме и получил название метрического тензора. Он описывает геометрию пространства (любого – евклидова, СТО и ОТО). Физический смысл метрического тензора вытекает из (4) (в равной мере, из (1)-(3), являющихся частными случаями этой общей формулы). Суть в том, что, если известны значения компонент матрицы метрического тензора g_ik, мы можем по ним «построить» пространство – точно так же, как строим график функции y=f(x) на плоскости. Аналогом зависимости y=f(x) в данном случае является формула (4): ds = f(g_ik, dxⁱ). Из неё следует, что кратчайшее расстояние ds между двумя точками, одноименные координаты которых отличаются на dxⁱ (в ОТО i = 0, 1, 2, 3), определяется значениями компонент g_ik. По формуле (4) мы и будем «строить» пространство, просто перемещаясь от точки к точке (в пределе они бесконечно близки друг к другу).

В ОТО кратчайшим расстоянием между точками является геодезическая, поэтому g_ik, определяя значение ds, задаёт форму геодезической, то есть, форму (кривизну) пространства-времени.

Итак, метрический тензор g_ik определяет вид и форму (геометрию) пространства. Например, если все компоненты на главной диагонали матрицы – в (3) это g₁₁, g₂₂ и g₃₃ – равны +1, а компоненты вне диагонали нулевые, то такой метрический тензор описывает евклидово пространство в декартовой системе координат. В косоугольной системе координат компоненты матрицы g_ik вне диагонали уже не будут нулевыми, но пространство останется евклидовым. Если на главной диагонали присутствуют не только +1, но и –1, мы имеем дело с плоским пространством-временем СТО. В ОТО метрический тензор определяет геометрию криволинейного пространства-времени, поэтому именно компоненты g_ik являются аргументами (искомыми величинами) в уравнениях Эйнштейна. В этих уравнениях физический смысл метрического тензора раскрывается с предельной ясностью.

Необходимо указать на связь компонент метрического тензора с базисом принятой системы координат. Например, тот факт, что в (3) g₁₁, g₂₂ и g₃₃ равны +1, а компоненты вне диагонали нулевые, является следствием того, что выбраны единичные базисные вектора e₁, e₂, e₃. Но это не обязательное условие: можно выбрать и другие базисные вектора. В этом случае значения компонент матрицы  g_ik поменяются. Но одновременно и разности координат dx¹, dx², dx³ изменятся таким образом, что значение ds² останется прежним. Поэтому компоненты g_ik соответствуют конкретному базису, и только ему. Метрический тензор описывает геометрию пространства только в связке с определённым базисом. Сам по себе, без привязки к базису, g_ik не несёт никакого содержания и ничего не говорит нам о геометрии пространства.

Последний момент, который осталось уточнить. Координатные оси, вдоль которых отсчитываются разности координат dxⁱ, в общем случае криволинейные. Возникает закономерный вопрос: как мы можем измерить dxⁱ вдоль криволинейных осей и рассчитать ds, если саму эту криволинейность мы определяем только по результатам расчёта? Для ответа следует вспомнить начало этого текста: соседние точки пространства располагаются бесконечно близко друг к другу. Поэтому ситуация аналогична определению производной в матанализе: как угол наклона касательной к кривой стремится к истинному значению при dx, стремящемуся к нулю, так и (кратчайшее) расстояние между соседними точками пространства ds стремится к истинному значению при dxⁱ, стремящемуся к нулю.

Литература

1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд. 9-ое. – М.: «Наука», 1965. – 426 с.

(https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Kochin1965ru.pdf)