Comments 12
Насколько я могу видеть эта теорема по-сути просто одна из многочисленных возможных формулировок аксиомы непрерывности. В том смысле, что теорема к ней сводится в несколько шагов, да и очевидно, что сама аксиома непрерывности довольно легко может быть выведена как теорема, если аксиоматизировать утверждение Гейне-Бореля-Лебега .
Жаль, не освещено самое интересное: как же так вышло, что матанализ был создан за века до доказательства этого ФУНДАМЕНТАЛЬНЕЙШЕГО утверждения, и все это время прекрасно работал без него? Нет ли тут какого-то подвоха?
Работал, но не прекрасно. Эйлер доказывал, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12 и тому подобный бред.
Собственно из за многочисленных галлюцинаций при операциях с числовыми рядами и пришлось создавать матан с его аксиомами, леммами и теоремами. А до этого вполне обходились доказательствами на пальцах.
Тут нет противоречия. Например, вы знаете утверждение, называемое теоремой Пифагора. Вы (или кто-то другой) проверили это утверждение на множестве примеров (померили линейкой треугольники), а строго доказать не можете. Что мешает пользоваться теоремой Пифагора без её доказательства? Или вы знаете значение числа π с достаточно высокой точностью (допустим, 20 знаков) и ошибочно полагаете, что это точное значение π. Это как-то помешает пользоваться числом π для технических задач?
Мешает вероятность облажаться, случайно наступив на неизвестный контрпример.
А ещё интересно, с какой стати некоторые теоремы для треугольников верны для абсолютно ВСЕХ треугольников) планирую этот вопрос осветить)
Эх, все шутки объяснять надо.
Изложенное не относится к сути матанализа, его изначальному содержанию (изучению того, что такое дифференциальные отношения, с дальнейшей целью решать уравнения), и в учебниках матанализа болтается по недоразумению. Просто потому, что путь, по которому математический мэйнстрим начал "срогую формализацию", оказался крайне неудачным. Со временем в нем обнаружилось много дыр, их пришлось залатывать. Началось накручивание циклов на эпициклы и притягивание вещей, которые не имеют никакого отношения к тем математическим сущностям, которые изначально были целью рассмотрения. Поэтому элементарные (для Ньютона и Лейбница) вещи - ныне излагаются пер анус, загребая кучу лишнего.
Разумеется, есть попытки отыграть обратно, и построить формализацию (строгую, заметьте! но гораздо более лаконичную) иначе, - но тут уже инерция традиции.
Мешает. Если вы знаете значение числа Пи пусть даже с бесконечной точностью, но чисто практическими методами(не понимая смысл этого числа и границ его применения) то вы облажаетесь уже при подсчёте периметра достаточно большого круга на Земле. Т.к. поверхность земли сфера, а отношение радиуса к длине окружности на сфере не равно Пи.
Ок, вы утверждаете, что надо измерять по прямой, а не по поверхности Земли и тогда всё будет норм?
Попытаетесь посчитать объём нейтронной звезды, исходя из её радиуса и опять облажаетесь.
Вы смешиваете разные темы. Например, вы пишете о вычислениях для земной поверхности. Надо знать, что Земля шарообразная и знать земной радиус. Как тут поможет доказательство теоремы Пифагора или знание, что π иррационально?
Если я не понимаю смысл числа π (как вы пишете), это число для меня бесполезно и бессмысленно.
Я это к тому, что пи, это не просто отношение длины окружности к диаметру.
Не каждое отношение длины окружности к диаметру равно Пи.
У Пи есть границы применимости, и если этого не понимать, то можно облажаться.
Доказательство поможет тем, что оно строится на аксиомах. Т.е. утверждениях при верности которых Пи является отношением длины окружности к диаметру.
Соответственно, если одна из аксиом не верна (например параллельные прямые на сфере пересекаются) то и Пи не будет отношением длины окружности к диаметру.
Одно из самых фундаментальных утверждений математики — теорема Гейне-Бореля-Лебега