Comments 53
Спасибо за дружелюбный тон!! Дерзил, был не прав, однако ожидал более академичного ответа.
Открыв учебник теормеха еще раз, можно сообразить немного побольше.
Да, действительно b повернется вокруг B 4 раза.
Применил тот же подход, разделяя поступательное движение и вращение. При внимательном рассмотрении вращательного движения окажется, что b совершает сложное вращение - относительно B и относительно A. И угол поворота окружности b можно описать формулой
На рис. 1 показано качение круглого тела OB по окружности радиусом Ra из положения OB в положение O`B` за время t. За это время тело OB повернется вокруг A на угол ψ. И на угол ɛ вокруг B - его можно вычислить, зная, что OQ = O`Q, то есть .
Общий поворот 
На рис. 1 показан масштаб задачи - Ra = 3, Rb = 1, ψ=π/4 - получаем φ=π.
Для ψ=2π, получаем угол φ=4*2π - то есть 4 оборота.
Для задачи с одинаковыми монетками - 2*2π.
К моменту когда окружность a вернется в начальную позицию, как много оборотов она совершит?
Наверно, опечатка, имеется в виду откружность b?
Мне кажется, фокус в том, что в статье есть бездоказательный переход в том месте, что длина траектории точки B кратна числу оборотов окружности b, примерно как хитрое извлечение корня в доказательстве, что 2 + 2 = 5. По-моему это неправильно. Ну и в конце путается процесс вращения и обращения (в терминах астрономии)
есть бездоказательный переход в том месте, что длина траектории точки B кратна числу оборотов окружности b
Да, есть такое:) Не хотелось на этом акцентироваться, поскольку мне это утверждение казалось довольно интуитивным. По ссылке это более подробно объясняется. Лучше чем у меня могло бы получиться.
В принципе, мы можем проследить траекторию движения не центра окружности b, а точки H' лежащей на окружности. Пускай радиус окружности b равен r. В таком случае для вращения окружности b вокруг окружности a с равным радиусом, траектория точки будет представлять собой кардиоиду длиной 16r, а для движения по прямой циклоиду длиной 8r.
Тоже не понял - коварства и отсутствия правильного ответа.
Если не ошибаюсь, то это пример из каких-то тестов в США, которые проводились в середине прошлого века или около того. С месяц назад попадал на видео на эту тему.
Этому в видео уделили много времени, но тут опущено. Это был аналог ЕГЭ в США, и пришлось аннулировать этот вопрос (и пересчитать все баллы) после нескольких писем от проходивших. Автор вопроса решил, что правильным ответом было 3.
Нет никакого фокуса. Оборот — термин, подразумевающий точку отсчёта. Добавляя оборот вокруг центра большой окружности "фокусник" мошенничает, смешивая две системы координат. Поэтому ответ 3 будет корректным, а при отбраковке такого ответа на апелляции студенту достаточно указать, что точка отсчёта в задаче не указана, поэтому студент выбрал наиболее естественную для смысла задачи систему, имеющую центр малой окружности в качестве точки отсчёта. И в этой системе количество оборотов равно трём.
Это как если бы в эйнштейновских системах за точку отсчёта выбрать точку "середина расстояния между точкой старта и текущим положением объекта" и таким образом доказать, что и объект, и точка старта равно ускоряются, а, следовательно, разницы скорости хода локального времени у них нет, как и не существует парадокса близнецов.
По ссылке объясняют деталями терминологии, мол, есть несколько определений слова revolution (вращение). В задаче не сказано о сумме итераций по всем возможным определениям, следовательно, как я и говорил, студент вправе выбрать одно любое и предъявить ответ, соответствующий исключительно этому определению. Предложенные варианты, впрочем, недвусмысленно намекают на одно конкретное определение, которое подразумевали составители вопроса, и это то же самое, которое приходит на ум самым первым при прочтении.
не очень понял результат. я сейчас взял два круга от детской игры гольф, где один круг в 3 раза больше другого, на них нарисованы животные. Начал вращать руками как на картинке 1, у меня получилось ровно 3 оборота.
Скорее всего вращали с проскальзыванием. Должно получиться как на видео.
По определению - один полный оборот окружности соответствует углу в 360°. Вращение окружности B вокруг окружности A в определение оборота не попадает, таким образом правильный ответ 3.
Возможно, в английском языке другие определения, и там этот фокус работает, в русском - нет.
Кто читал «Вокру́г све́та за во́семьдесят дней», правильный ответ очевиден ;-)
Но я не сразу сообразил, что "подвох" - именно в его отсутствии среди предложенных. Даже на какой-то момент усомнился: а не ошибся ли я?
студенты, сдававшие SAT тест
Так все-таки, откройте главный секрет: у студентов на тестировании тоже не было правильного ответа?
Верно. Ошиблись составители теста. Трое студентов сообщили им об ошибке. В итоге всем прошедшим тест накинули баллы за этот вопрос как за правильный, не зависимо от их ответа.
Ну хоть Веритасиума самого процитировали, а не контентососов из Верт Дайдер.
Я читаю и думаю "а что, так можно было?"
Смотрел оригинал Веритассиума. Когда начал читать статью, подумал, наверняка перевод. Но нет, автор не указывает оригинал и не ставит перевод.
Статья один-в-один повторяет видео. Но, что самое интересное, видео приложено.
Я хотел пойти поругаться в комменты, что автор - тырит контент и нагоняет людей к себе в телеграмчик, но с удивлением НЕ обнаружил телеграм-канала.
Это что вообще? Это мы так обленились, или это я чего то недопонял.
Люди, дорогие! Я тоже очень люблю Веритасиума, но свет клином на нем не сошелся. Тема боянистая, и в том же ютубе раньше (и куда глубже!) ну вот хотя бы тут было:
https://youtu.be/oEN0o9ZGmOM?si=aU22enc9xZs51n8C&t=526
Статья один-в-один повторяет видео.
Стоп, а как же КДПВ?! Я же старался!
Можно объяснить ответ так: 3 оборота получается за счёт того, что монета катится, прибавляем к этому один оборот за счёт того, что в добавок к качению монета как бы вращается за счёт движения по окружности
Вот оно, следствие исчезновения предмета "астрономия" из школьной программы. Ну ведь та же фигня с разницей длительности звездного и солнечного года в одни сутки :)
Нет, звездный (сидерический) и солнечный (тропический) не отличаются на сутки и то отличие, которое между ними есть обусловлено причинами не из темы данной заметки. Скорей всего имелось ввиду разница между числом суток в году и числом оборотов Земли вокруг оси, вот тут отличие в 1 как раз по теме данной заметки.
Задача с подвохом, формулировка нечёткая. Можно насчитать и 3 и 4 и 5
оборотов, в зависимости от системы отсчёта и интерпретации, что такое
'вращение'. Например если представить что мы живём на маленькой монете,
как на планете, то мы увидим большую 3 раза. Если мы поместим
наблюдателя в центр большой монеты и будем следить за маленькой,
поворачиваясь за ней, то увидим одну точку 3 раза. Но при этом мы можем
добавить ещё свой собственный оборот, то есть выйдет 4. Если система
отсчёта связанна с наблюдателем неподвижным, то тогда 4 вокруг
собственной оси, то есть 4 раза монета будет ориентирована одинаково
относительно направления на север наблюдателя. Но есть ещё движение, оно
тоже вращательное, вокруг большой монеты, тогда выходит 5.
Если взять учебник по теоретической механике, то можно прийти к таким соображениям:
Окружность
bкатится по окружностиaи, тем самым, совершает плоское движение (двигается не поступательно).При этом, движение
bможно разложить на два движения - поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Выберем полюсомB. Тогдаbпоступательно перемещается по траекторииa(двигается поступательно по окружности - это не считается вращением и не совершается оборот) и вращается вокругB.Особо стоит отметить, что направление и величина угла поворота не зависят от выбора полюса.
Примем, что оборот - это вращение фигуры вокруг полюса на
2πрад. Следовательно нужно определить на какой угол повернулась окружностьbвокругBи поделить на2π.Рассмотрим вращение
bвокругB. Так какbкатится без проскальзывания по всейaодин раз, то точки окружностиbпреодолели расстояние, равное длине окружностиa. То есть повернулись вокругBна угол2π * Ra / Rb = 3*2π, а значит сделали 3 оборота.
В статье и в видео указано, что длина окружности c Lc = 4*2π. Из чего делается вывод о том, что b повернется на 4 оборота. Но это не так, потому что B проходит расстояние Lc в поступательном движении и 0 при вращательном (если выбрать B за полюс, что удобно в этом случае). А вращение происходит на угол, такой, что точки окружности b, соприкасающиеся с окружностью a переместятся на расстояние La = 2π * Ra - следовательно вращение происходит на угол 2π * Ra / Rb.
@ABy пожалуйста опровергните мой комментарий или свою статью.
Хороший комментарий. Спасибо что потратили время.
Могу возразить что для меня не очевидно что "оборот" должен совершаться обязательно во вращательном движении. Из вики
Оборот (цикл, круг, полный угол) — единица измерения угла, либо фазы колебаний.
При измерении угла обычно используется название «оборот», а при измерении фазы — «цикл». Один оборот равен минимальному углу поворота, при котором положение (несимметричной) системы совпадает с первоначальным. Один цикл равен фазе, соответствующей времени в один период.
Скажем у нас не две окружности, а два соприкасающихся квадрата. Один квадрат скользит по стороне другого. Когда он вернется в первоначальное положение, это будет считаться оборотом? Мы ведь можем провести из центра неподвижного квадрата прямую к центру движущегося и замерять угол поворота во время движения.
Либо когда мяч отскакивает от пола. Когда он вернется в первоначальное положение - это можно назвать оборотом?
Ну или в магазин за пивом сбегать и быстро "обернуться"
Я тут ещё подумал, и скажем, в случае мяча, вектор его скорости будет совершать мгновенный оборот на 180° в момент соприкосновения с поверхностью и в верхней точке тракетории. По крайней мере возможна такая интерпретация.
Спасибо за дружелюбный тон!! Дерзил, был не прав, однако ожидал более академичного ответа.
Открыв учебник теормеха еще раз, можно сообразить немного побольше.
Да, действительно b повернется вокруг B 4 раза.
Применил тот же подход, разделяя поступательное движение и вращение. При внимательном рассмотрении вращательного движения окажется, что b совершает сложное вращение - относительно B и относительно A. И угол поворота окружности b можно описать формулой
На рис. 1 показано качение круглого тела OB по окружности радиусом Ra из положения OB в положение O`B` за время t. За это время тело OB повернется вокруг A на угол ψ. И на угол ɛ вокруг B - его можно вычислить, зная, что OQ = O`Q, то есть .
Общий поворот
На рис. 1 показан масштаб задачи - Ra = 3, Rb = 1, ψ=π/4 - получаем φ=π.
Для ψ=2π, получаем угол φ=4*2π - то есть 4 оборота.
Для задачи с одинаковыми монетками - 2*2π.
двигается поступательно по окружности - это не считается вращением и не совершается оборот
Это смотря как интерпретировать. Вокруг своей оси не совершает, но совершает оборот вокруг оси большой монеты. Земля ведь совершает оборот вокруг Солнца и плюс каждые сутки вокруг своей оси. Это два независимых вращения.
Просто задача допускает интерпретации в силу нечёткой формулировки. И соответственно ответы от 3 до 5 включительно.
Окружность - это математический объект, на котором нет ни вмятин, ни штрихов, по этому, он не может совершать обороты и в таких задачах должно отдельно оговариваться что и вокруг чего совершает обороты и в какой системе отсчета их счиатать. По моему, правильный ответ - один оборот. Но и 3 оборота тоже правильный ответ, кроме того если учитывать что малая окружность кроме "качения" ещё и совершает оборот вокруг большой окружности путем перемещения своего центра, то это можно трактаковать как 4 оборота. Все ответы верные в зависимости от того что описывает указанное построение из окружностей. Вот в этом и проблема ЕГЭ и подобных систем оценки "знаний".
Составитель вопросов - "молодец", смог обмануть студентов, но что он узнал из их ответов?
по 2*π*r смотрим длины окружностей и кратны ли они целому числу - если да - у задачи есть решение, если нет - то шестерня провернется больше (меньше) чем на количество целых оборотов. Кстати, кожура больше апельсина.
Впору спросить уважаемую аудиторию: за какое время Земля совершает полный оборот вокруг своей оси? А потом удивляться правильному ответу 23:56.
Затем можно было бы рассказать о разнице синодичечкого, сидерического и драконичечкого месяцев. А так заметка — детский сад какой-то.
Все ж в задаче не указана ось вращения для подсчета. Вокруг оси малой окружности - 3 оборота. И это - самое очевидное предположение. Вокруг оси большой монеты - 1 оборот. Если вся система вращается вокруг чего-то, например, нарисована на грампластинке, то и еще могут быть обороты. Если катится достаточно долго, то стоит посчитать вращение всей системы вокруг оси вращения планеты и это тоже будет оборотами. Только все это - обороты вокруг разных осей вращения. И выбор оси вращения в центре малой окружности - нормальное допущение.
Все ж в задаче не указана ось вращения для подсчета.
Ни ось, ни система отсчёта.
Вокруг оси малой окружности - 3 оборота.
Это только в системе отсчёта (СО) направленной от центра малой монеты к большой. В неподвижной системе отсчёта - 4 оборота вокруг оси малой окружности, да плюс 1 вокруг вокруг оси большой монеты, то есть 5.
Можно ссылку на первоисточник задачи?
Математика, математикой, но против логики не попрёшь.
Есть в конце статьи.
На организаторов теста ссылок у меня нет.
В википедии есть ссылка на статью в The New York Times:
ERROR FOUND IN S.A.T. QUESTION
The disputed question shows a large circle, B, and to the left of it a small circle, A, touching B. ''In the figure above,'' the problem states, ''the radius of circle A is one-third the radius of circle B. Starting from position shown in figure, circle A rolls around circle B. At the end of how many revolutions of circle A will the center of circle A first reach its starting point?''
Я думаю тот тот же принцип что и в кругосветном путешествии. Смотря какую систему координат выберем получим различный результат.
Ничего не понял – слишком много уже комментариев.
В оригинальном youtube-ролике речь идет про центр окружности A. Какого, простите, <специя>, автор перевода это слово упустил?
Парадокс вращения монеты — иллюзионист от мира математики