Для понимания этой статьи рекомендую ознакомиться с тем, что такое красно-черные деревья (КЧД) и тем, как они работают
При написании пар по алгоритмам и структурам данных, я столкнулся с тем, что существует достаточно мало материалов по AA-деревьям, а конкретных примеров и еще меньше. Так что это статья для таких же "ищущих" как и я :)
Что такое AA-дерево?
АА-дерево - это модификация красно-черного дерева с целью упрощения реализации
Для реализации будем использовать узел (ноду), что используется для реализации КЧД
from __future__ import annotations
from dataclasses import dataclass, field
from typing import Any, Literal
@dataclass
class Node:
key: Any
parent: Node | None = field(default=None)
right: Node | None = field(default=None)
left: Node | None = field(default=None)
height: int = field(default=1)
color: Literal["red", "black"] = field(default="black")
key - полезная информация в ноде (строка, число, etc.)
parent - ссылка на родительскую ноду
right - ссылка на правого ребенка
left - ссылка на левого ребенка
height - высота
color - цвет
Правила АА-дерева:
Цвет вершины может быть черным или красным
Корень всегда черный
Листья всегда черные
Каждая красная вершина должна иметь двух черных сыновей
Пути от вершины к ее листьям должны содержать одинаковое количество черных вершин (черная высота)
В дереве не может быть левого красного сына
Также в АА-дереве меняется понятие высоты
Высота здесь - это не количество нод от корня до узла, а отдельная величина для узла и увеличивается посредством операций при перебалансировке
Как определяется высота:
У None листьев высота = 0
У листьев высота = 1
У красных нод высота та же, что и у его родителя
У черных нод высота на 1 меньше, чем у их родителей
![Пример AA-дерева Пример AA-дерева](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/315/b8c/a0d/315b8ca0d508db36820a83d65c645bac.png)
Корень - 46
Высота 1: 8, 9, 24, 35, ...
Высота 2: 18, 29, 57, 72
Высота 3: 46, 68
Связи м-ду нодами на одной высоте (46 и 68 например) называются горизонтальными
Горизонтальная связь всегда ведет к красной ноде
Вставка элемента в AA-дерево
Делается по аналогии с красно-черным деревом
Ищем куда добавить ноду
Добавляем красную ноду
Производим балансировку
Благодаря новому условию (левый ребенок не может быть красным), проблемы при балансировке вызывают всего 3 (вместо прошлых 7) кейса, давайте их рассмотрим
Случай 1. Корень красный
По аналогии с КЧД, просто красим ноду в красный
Случай 2. Левая горизонтальная связь
Для начала рассмотрим случай если родитель черный
![Левая горизонтальная свзяь Левая горизонтальная свзяь](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/bee/d88/271/beed882713f69d8f96e429e92542ec1b.png)
Обобщим такой случай
![Обобщенная левая горизонтальная связь Обобщенная левая горизонтальная связь](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/cec/a0d/246/ceca0d24627b12e86e6f6bd17af91bd5.png)
X, Y, Z - некоторые поддеревья
Что делать в таком случае?
Правый поворот м-ду левым сыном (A) и отцом (B)
Перекрашиваем сына в черное
Перекрашиваем отца в красное
Высота в этом случае ни у кого не изменяется
![Убираем левую горизонтальную связь, операция skew Убираем левую горизонтальную связь, операция skew](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/7e7/5d4/c7e/7e75d4c7ef8b46c103a476c42bf31e88.png)
Назовем это преобразование skew
Благодаря тому, что последнее правило АА-дерево несиметрично (левого красного сына быть не может), симметричный кейс проблем у нас не вызывает
Применим skew к нашему примеру
![Применили skew, убрали левую горизонтальную связь Применили skew, убрали левую горизонтальную связь](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/689/054/8cd/6890548cd63d091255628cedaca8a630.png)
Реализуем skew
def skew(node: Node) -> Node:
child = node.left
subtree = child.right
node.left = subtree
subtree.parent = node
child.right = node
child.parent = node.parent
node.parent = child
child.color = "black"
node.color = "red"
return child
Теперь рассмотрим случай, если родитель красный
![AA-дерево, добавим ноду 46 AA-дерево, добавим ноду 46](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/646/551/95a/64655195a800240197aa135216253113.png)
Добавляем в это дерево ноду 46 (слева от 55)
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/172/908/79a/17290879a380f9dff3840dc35c70b70e.png)
Нода 46 добавляется на одной высоте с 55
Получаем левую горизонтальную связь с красным родителем 55
Что делать?
Правый поворот м-ду сыном и отцом
Перекраска в этом случае не делается
![Убрали новую левую горизонтальную связь Убрали новую левую горизонтальную связь](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/fd9/32e/c04/fd932ec0438dfaf32050bbfd45099a85.png)
Доработаем функцию skew
def skew(node: Node) -> Node:
child = node.left
subtree = child.right
node.left = subtree
subtree.parent = node
child.right = node
child.parent = node.parent
node.parent = child
if node.color == "black":
child.color = "black"
node.color = "red"
return child
Случай 3. Двойная горизонтальная связь
Речь пойдет о двойной правой горизонтальной связи
Двойная левая горизонтальная связь невозможна, фиксится как 2 случая левой горизонтальной связи
![Двойная горизонтальная связь Двойная горизонтальная связь](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/54f/76f/f10/54f76ff10cc8a81ac1adaa30eaef172e.png)
Обобщим этот случай
![Обобщенный случай двойной горизонтальной связи Обобщенный случай двойной горизонтальной связи](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/7c9/65d/bca/7c965dbcafa748bf0df0072850c5d56e.png)
X, Y, Z, W - некоторые поддеревья
Что делаем?
Левый поворот м-ду A и B
Увеличиваем высоту у B
Перекрашиваем C в черный
В этом случае высота увеличивается только у B
![Разрешение двойной горизонтальной связи Разрешение двойной горизонтальной связи](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c66/7aa/93f/c667aa93f24db355ee6505e08a07cd01.png)
Назовем это преобразование split
По итогу преобразования можем получить 3 случая:
B становится корнем дерева
Обрабатываем как первый случай
B образовывает левую горизонтальную связь
Обрабатываем как второй случай
B образовывает правую горизонтальную связь
Тут проблем нет
Вернемся к примеру и разрешим двойную горизонтальную связь
![Разрешение двойной горизонтальной связи из примера Разрешение двойной горизонтальной связи из примера](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/221/504/900/221504900732ef86a904d37f2aacae2e.png)
Реализуем split
def split(node: Node) -> Node:
child = node.right
subtree = child.left
child.parent = node.parent
node.parent = child
child.left = node
node.right = subtree
child.height += 1
child.right.color = "black"
return child
С полным процессом построения AA-дерева руками можно ознакомиться в видео ниже
Здесь строится дерево для массива [57, 55, 72, 18, 46, 68, 24, 9, 59, 97, 29, 35, 89, 8]
Соберем весь код вставки
Сначала сделаем функцию которая будет исправлять все проблемы при перебалансировке
def insert_fix(tree: Node, node: Node):
while node.parent is not None:
if node.left is not None and node.left.color == "red":
node = skew(node)
elif node.right is not None and node.right.color == "red" and node.right.right is not None and node.right.right.color == "red":
node = split(node)
else:
node = node.parent
tree.color = "black"
А теперь сделаем непосредственно функцию вставки
def insert(tree: Node, key: Any):
parent = None
curr = tree
while curr is not None:
parent = curr
if key < curr.key:
curr = curr.left
else:
curr = curr.right
node = Node(key=key, color="red")
if parent is None:
tree = node
else:
node.parent = parent
node.height = parent.height
if key < parent.key:
parent.left = node
else:
parent.right = node
insert_fix(tree, node)
Удаление элемента из AA-дерева
Рассмотрим 4 возможных случая
Будем рассматривать случаи на следующем дереве
![Пример дерева для удаления Пример дерева для удаления](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/ed4/f9c/116/ed4f9c116f2063b0c1ed1c2b9fae0e27.png)
Случай 1. Удаляем красный лист
Просто удаляем лист, ничего больше не нужно т.к. черная высота не изменяется
В нашем примере - нода 9
![Дерево после удаления красного листа Дерево после удаления красного листа](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c98/d90/c1e/c98d90c1e35d09f69e780aad7a5011b6.png)
Реализуем функцию удаления красного листа
def delete_red_leaf(node: Node):
parent = node.parent
parent.right = None
node.parent = None
Случай 2. Удаляем черный лист с красной нодой
Удаляем ребенка
Заменяем значение ноды на значение ребенка
Перекрашиваем ноду в черный
В нашем примере - нода 8
![Пример дерева Пример дерева](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c9d/b31/3bb/c9db313bbf4b65f2baafd08c8d7b5459.png)
![Дерево после удаления ноды 8 Дерево после удаления ноды 8](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/ea2/92a/a72/ea292aa724804174e4a7d66dd113231a.png)
Реализуем функцию под этот случай
def remove_black_leaf_red_right(node: Node):
node.key = node.right.key
delete_red_leaf(node.right)
Случай 3. Удаляем узел с двумя детьми
Для замены значения в удаляемой ноде нам необходимо найти некоторый узел
Назовем этот узел наследником
В зависимости от реализации наследниками могут быть:
Минимальное значение, большее чем текущее ("потомок")
Максимальное значение, меньшее чем текущее ("предшественник")
Для реализации будем трактовать наследника как потомка
Заменяем удаляемую ноду наследником и обрабатываем наследника:
Если наследник - черный лист с красной нодой, обрабатываем как второй случай
Иначе - см. случай 4 (см. ниже)
Реализуем функцию получения наследника
def find_successor(node: Node):
successor = node.right
while successor.left is not None:
successor = successor.left
return successor
![Пример дерева Пример дерева](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/dd4/2f7/006/dd42f7006e116f32d6916f788f54adc5.png)
Удалим ноду 18, наследник для нее - 24
Заменим значения и обработаем наследника по случаю 2
![Удаляем 18 из дерева Удаляем 18 из дерева](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/756/814/0d1/7568140d170751530811298224dd9d1d.png)
Реализуем функцию
def delete_with_red_node_successor(node: Node)
successor = find_successor(node)
node.key = successor.key
remove_black_leaf_red_right(successor)
Случай 4. Удаляем черный лист
Самый сложный случай
Удаляем ноду
Идем от удаленной ноды до корня
Для каждой ноды (𝑝) на пути с двумя детьми делаем следующее:
Если есть ребенок с высотой с разницей в 2 по сравнению с текущим:
Уменьшаем высоту 𝑝
Если правый ребенок - красный, уменьшаем и его высоту
При необходимости делаем
skew(𝑝)
skew(𝑝.𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡)
skew(𝑝.𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡.𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡)
split(𝑝)
split(𝑝.𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡)
Если 𝑝 - красный и у родителя высота больше, красим 𝑝 в черный
При уменьшении высоты, красим детей той же высоты в красный цвет
Для примера возьмем построенное выше дерево и попробуем удалить корень - 46
![Построенное дерево из видео Построенное дерево из видео](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e2d/a88/be6/e2da88be6c513a1c967483108247fdec.png)
Наследник корня - 55
Заменим значение и удалим наследника
![Дерево после удаления ноды 55 Дерево после удаления ноды 55](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/fa2/c74/6b2/fa2c746b2ed0cdb170b254a4365e772c.png)
У ноды 57 есть левый ребенок, который отличается по высоте от родителя на 2
(у None высота = 0, у ноды 57 высота = 2)
Уменьшаем высоту у ноды 57
Тк у 57 есть правый ребенок той же высоты (высоты 1), красим его в красный
![Уменьшаем высоту у ноды 57 Уменьшаем высоту у ноды 57](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/8be/aa9/968/8beaa9968e95d6c3c924cfde99eaa2e5.png)
Заметим, что у ноды 68 есть ребенок, отличающийся по высоте на 2 (нода 57)
Понизим высоту у ноды 68
![Уменьшаем высоту 68 Уменьшаем высоту 68](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/0d5/e54/416/0d5e54416f5709ebe0159b327de7c117.png)
Покрасим ноды на одной высоте в красный
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/99e/f34/b2d/99ef34b2dc7509e520b47a4a1e558582.png)
Нода 68 красная, у ноды 55 высота на 1 выше => красим 68 в черное
![Перекрашиваем 68 Перекрашиваем 68](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/9fd/ce2/46e/9fdce246ead6ec32d5d4e3e958fd189c.png)
Теперь попробуем удалить ноду 35, чтобы увидеть как работает skew при перебалансировке
![Удаляем 35 Удаляем 35](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/559/1d2/058/5591d205830a2a44cc80db7ec3f0b400.png)
У 29 есть ребенок с высотой 0 => понижаем высоту 29 и красим 24 в красное
![Дерево после понижения высоты Дерево после понижения высоты](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/186/d44/fe9/186d44fe98b678cb48cfae4c6c1025f5.png)
Делаем skew(29), напомню что в этом случае перекраска не происохдит
![Произвели skew Произвели skew](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3b6/7f4/1b1/3b67f41b12f844ad8abe7125f199e15e.png)
Нода 24 красная, родитель - черный с высотой на 1 больше => красим 24 в черное
![Перекрашиваем 24 Перекрашиваем 24](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/1d7/355/602/1d7355602f799e731c9014ebdf5f6cdc.png)
Также есть визуализация алгоритма удаления, где используются и skew, и split, рекомендую ознакомиться
Реализуем функцию для этого случая
Для начала сделаем вспомогательные функции
def get_height(node: Node | None):
if node is None:
return 0
return node.height
def check_skew(node: Node):
return node.left.height == node.height and node.left.color == "left"
def check_split(node: Node):
child = node.right
grandson = child.right
return node.height == child.height and child.height == grandson.height and child.color == "red" and grandson.color == "red"
def decrease_height(node: Node):
node.height -= 1
if get_height(node.right) == node.height:
node.right = "red"
elif get_height(node.left) == node.height:
node.left = "red"
return node
А теперь непосредственно функция для рассмотренного случая
def delete_black_leaf(node: Node):
successor = find_successor(node)
node.key = successor.key
p = successor.parent
if p.left = successor:
p.left = None
else:
p.right = None
while p.parent is not None:
height = get_height(p)
if height - get_height(p.right) > 1 or height - get_height(p.left) > 1:
p = decrease_height(p)
if get_height(p.right) > node.height or p.right.color == "red":
decrease_height(node.right)
if p.left is not None and check_skew(p):
p = skew(p)
if p.right is not None and p.right.left is not None and check_skew(p.right):
p.right = skew(p.right)
if p.right is not None and p.right.right is not None and p.right.right.left is not None and check_skew(p.right.right):
p.right.right = skew(p.right.right)
if p.right is not None and p.right.right is not None check_split(p):
p = split(p)
if p.right is not None and p.right.right is not None and p.right.right.right is not None check_split(p.right):
p.right = split(p.right)
if p.color == "red" and p.parent.height > p.height:
p.color = "black"
p = p.parent
Соберем весь код удаления
def delete(tree: Node, key: Any):
node = tree
if key < node.key:
node = node.left
elif key > node.key:
node = node.right
else:
if node.color == "red" and node.height == 1:
delete_red_leaf(node)
elif node.color == "black" and node.height == 1 and node.right is not None:
remove_black_leaf_red_right(node)
elif node.right is not None and node.left is not None:
successor = find_successor(node)
if successor.height == 1 and successor.right is not None:
delete_with_red_node_successor(node)
else:
delete_black_leaf(node)
else:
delete_black_leaf(node)