Квантовая электродинамика (далее КЭД), любимое, но капризное дитя нерелятивистской квантовой механики и специальной теории относительности — весьма непростая физическая теория с зубодробительным математическим аппаратом. Но, в отличие от многих других сложных теорий, в её инструментарии есть одна небольшая и сравнительно обособленная часть, допускающая примитивную, но наглядную трактовку. Я имею в виду так называемые «диаграммы Фейнмана». Выглядят они примерно так:
и сегодня непросто написать статью по квантовой теории поля, не начертив нескольких подобных картинок, а в некоторых работах они встречаются чаще, чем знаки элементарной арифметики. Как следует из названия, изобрёл эти диаграммы выдающийся американский физик Ричард Фейнман. Сделал он это в конце 1940-х годов для графического описания некоторых математических выражений, возникающих в КЭД. Сразу оговорюсь: разумеется, вычислять диаграммы Фейнмана, за исключением нескольких самых примитивных, очень непросто. За каждой из них стоит строго определённое математическое выражение, обычно весьма сложное. Но при этом у них есть замечательное свойство — они допускают простую качественную словесную интерпретацию и помогают понять некоторые основополагающие идеи, лежащие в основе современной квантовой теории. Идеи эти скорее непривычны, чем сложны и, как мне кажется, в них вполне может на базовом уровне разобраться даже успевающий школьник.
Про эти диаграммы и содержащиеся в них идеи я и хочу рассказать. При этом никаких формул в тексте не будет вообще — только слова и картинки. Мы будем двигаться вперёд «методом последовательных приближений» — это, как мы увидим ниже, вполне в духе КЭД. В некоторых случаях я сначала буду сообщать вам не всю правду, а потом вносить уточнения. Впрочем, полной правды я, конечно, вам не расскажу — она просто не вместится в формат популярного текста.
Кроме того, некоторые сведения, которые неважны для базового понимания текста (но при этом могут быть любопытны) я буду выделять курсивом.
Итак, поехали. Диаграммы Фейнмана, описывающие процессы, происходящие в квантовой электродинамике, устроены очень просто. Они конструируются из трёх элементов.
Первый элемент — это электрон, частица с ненулевыми электрическим зарядом и массой, которая обозначается сплошной прямой линией со стрелкой вправо:
В КЭД принято понимать термин «электрон» более общим, чем обычно, образом: «электроном», если это не приводит к путанице, иногда называют любой имеющий электрический заряд и массу фермион: например, протон, мюон и т.д. (Для понимания дальнейшего вам не обязательно знать, что такое «мюон» или даже «протон».) Удобно также считать, что заряд электрона –e отрицателен, а положительная величина +e — это так называемый «элементарный электрический заряд», величина, которой кратны заряды всех свободных элементарных частиц.
По традиции принято считать, что время на диаграммах течёт слева направо. Стрелка на линии, таким образом, говорит, что электрон «движется из прошлого в будущее».
Мы можем поменять это направление, нарисовав вот такую линию со стрелкой влево:
Такая линия обозначает позитрон, то есть антиэлектрон — частицу с зарядом +e, равным по модулю и противоположным по знаку заряду электрона. Иногда выражаются красиво: позитрон — это электрон, летящий назад во времени.
Таким образом, первый элемент конструктора — это сплошная прямая линия со стрелкой. Ниже, если не нужно будет специально уточнять, электрон или позитрон эта линия символизирует, мы будем называть её «фермионной линией».
Фермионы — это специальный большой класс элементарных частиц, из которых состоит материя. К ним относится электрон и позитрон, протон и антипротон, а также множество других, более экзотических, частиц.
Второй элемент диаграмм Фейнмана — это фотон, квант света, переносчик электромагнитных взаимодействий, частица без электрического заряда и со строго нулевой массой. Он обозначается волнистой линией:
Так как стрелки на ней нет, менять её направление бессмысленно, получится тот же самый фотон. Физики говорят про это так: фотон — абсолютно нейтральная частица, у неё нет античастиц.
Третий элемент - это так называемая «вершина взаимодействия»: точка, в которой к фермионной линии присоединён ровно один фотон:
Линиям фермиона и фотона, описанным выше, сопоставляются некоторые нетривиальные математические выражения, которые мы обсуждать не будем, а вот выражение для вершины очень простое — это константа, равная элементарному электрическому заряду e. И этот факт будет использован ниже.
Конструктор готов. Любая диаграмма, состоящая из фермионных линий, фотонных линий и вершин, соответствует какому-то реальному процессу. (Ну, не совсем любая, но об этом чуть позже.) Здесь проявляется замечательный либерализм квантовой теории: в ней может происходить любой процесс, который прямо не запрещён каким-нибудь законом.
Мне кажется, что с созданием подобных диаграмм справится и дошкольник, если снабдить его детальками трёх типов с дырочкам для соединения.
Итак, начнём играть с полученным конструктором. Нарисуем такую диаграмму:
Что здесь произошло? Слева летели два свободных (то есть невзаимодействующих) электрона (помните, время направлено слева направо). Потом между ними произошло взаимодействие: один из них (для КЭД неважно, какой) излучил фотон, а другой его поглотил, после чего электроны, забыв друг о друге, свободно полетели дальше. Такой процесс взаимодействия двух частиц называют «рассеянием». В данном случае говорят, что между частицами произошёл «однофотонный обмен». Ещё пара важных терминов: линии, оба конца которых присоединены к точкам, соответствуют «виртуальным» частицам, те же, конца которых торчат наружу — «реальными» или «физическим» частицами. В нашей диаграмме электроны — реальные, они влетают в зону взаимодействия и вылетают из неё, а фотон — виртуальный, он рождается и умирает внутри диаграммы.
Электроны могут обменяться и несколькими виртуальными фотонами, например, так:
Или так:
Или даже так (так (обратите внимание: фотонные линии здесь проходят друг сквозь друга без точки, а значит, настоящего пересечения нет!):
Важной характеристикой диаграммы является количество содержащихся в ней точек (вершин), которое называется «порядком диаграммы» N. Выше я сказал, что вершина — это просто константа e. Все вершины, входящих в одну диаграмму, перемножаются. Поэтому мы точно знаем, что математическое выражение, соответствующее диаграмме (может быть, очень сложное), пропорционально eN. Оказывается, что физические величины, которые вычисляются в КЭД, выражаются через квадраты абсолютных значений величин, которым соответствуют диаграммы. Тогда диаграмме порядка N соответствует вклад в эту величину, пропорциональный (eN)2 = αN. Здесь α = e2 — знаменитая «постоянная тонкой структуры» или просто «альфа», которая численно примерно равна 1/137, то есть много меньше единицы.
Выше содержится небольшая недосказанность. На самом деле в системе СГСЕ α = e2/ħc, где ħ — приведённая постоянная Планка, а c — скорость света. Но в КЭД практически повсеместно используется так называемая «релятивистская система единиц», в которой ħ=1 и c=1.
То, что α довольно мало — большая удача для теоретиков! В самом деле, как мы видели, для описания взаимодействия двух электронов мы должны учесть обмен одним, двумя, тремя (см. диаграммы выше) и так далее, до бесконечности, фотонами. Но первая диаграмма имеет порядок 2, то есть даёт вклад в интересующие нас величины, пропорциональный α2. А порядок второй — 4, её вклад в 1372, то есть примерно в 20000 раз меньше. Таким образом, любая физическая величина, которую мы будем вычислять в КЭД — это сумма последовательно уменьшающихся вкладов (математики назовут эту сумму асимптотическим рядом), и это суммирование мы можем оборвать, достигнув нужной нам точности. В этом и состоит «метод последовательных приближений», который я упоминал выше.
Теоретики называют теории подобного рода, в которые входит разложение по малому параметру, «теориями возмущений».
Продолжим наши игры. Мы можем перевернуть диаграмму для однофотонного обмена между электронами на 90 градусов:
Здесь происходит другой процесс. Слева летят два фермиона, причём один — «хвостом вперёд». То есть, по нашей договорённости, это электрон и позитрон. Потом они исчезают («аннигилируют») с образованием виртуального фотона. Наконец, этот фотон снова распадается на электрон и позитрон. Конечно, это тоже рассеяние, но, как мы видим, у электрона и позитрона его внутренний механизм совсем не такой, как у двух электронов.
Тут у внимательного читателя должен возникнуть вопрос: почему я не начал с ещё более простых диаграмм. Например, с такой:
Или с такой:
Или даже с такой:
Увы, когда я выше говорил, что в КЭД разрешён любой процесс, диаграмму которого можно нарисовать, то я слегка покривил душой. На самом деле, есть важное дополнительное требование: должны соблюдаться и законы сохранения. Основных законов два с половиной: сохранение электрического заряда, энергии и импульса (с точки зрения теории относительности последние два объединяются в один — закон сохранения энергии-импульса). (Есть ещё нюансы, связанные с законом сохранения момента импульса, но с ними мы здесь разбираться не будем.) С сохранением заряда в диаграммах Фейнмана всё в порядке: немного подумав, можно понять, что заряд течёт вдоль фермионных линий, и, следуя описанным правилам, нарисовать диаграмму, в которой суммы зарядов частиц до взаимодействия и после него не равны, просто невозможно. А вот с сохранением энергии-импульса хуже: его каждый раз надо отдельно проверять.
Я обещал не писать формул, поэтому попробую объяснить на словах. Представим себе какую-то частицу, которая хочет распасться на несколько других частиц. Всегда ли, с точки зрения законов сохранения, ли она может это сделать? Нет! Пусть M — масса исходной частицы, а m — сумма масс частиц, на которые она распадается. Перейдём в систему отсчёта, в которой исходная частица находится в покое (первый постулат Эйнштейна нам это разрешает). Тогда её полная энергия равна её же массе M. А энергии продуктов распада — не меньше m (а скорее всего — больше, потому что они, вероятно, движутся, и их энергии состоят из «энергии покоя», равной массе, и кинетической энергии). Таким образом, распад возможен, только если M > m (равенство этих масс — специальный случай, в котором мы разбираться не будем).
Посмотрим теперь на три верхние диаграммы (рис. 10-12). Первая (рис 10) описывает распад фотона (у которого нулевая масса) на две частицы ненулевой массы. Закон сохранения энергии этого не разрешает. Третий процесс (рис. 12) — излучение фотона свободным фермионом — запрещён по той же причине. А второй процесс (рис.11) — аннигиляция электрон-позитронной пары в фотон — это просто процесс, обратный первому, и потому он тоже запрещён.
На всякий случай уточню: закон сохранения энергии-импульса запрещает только некоторые реальные процессы, он ничего не имеет против того, чтобы блоки с рис. 10-12 использовались как составные части других, более сложных диаграмм. Если этот закон «чуть-чуть и ненадолго» нарушается виртуальными частицами, то квантовая теория смотрит на такое нарушение сквозь пальцы.
Кстати, против аннигиляции пары электрон-позитрон в два фотона закон сохранения энергии не возражает, он вполне возможен:
А может ли быть такое?
Ответ: и да, и нет. Такие процессы возможны, но они теоретиков почти никогда не интересуют. В самом деле, что изображено на рис. 14? Электрон летит, излучает виртуальный фотон, а потом сам же его и поглощает. А может быть и сложнее, например:
или
То есть электрон как бы движется в «шубе» им же порождённых виртуальных фотонов. Можно показать, что такие процессы приводят только к одному: они меняют массу фермиона. А так как мы эту массу можем определить в эксперименте, то можем везде её с самого начала и использовать, а диаграммы, описывающие фотонную «шубу», просто игнорировать.
Кстати, по этим же причинам не нужно отдельно учитывать любые диаграммы с «фермионом в шубе», например, такую:
Эти диаграммы уже учтены изменением массы электрона в более простой диаграмме рис. 5.
Продолжим экскурсию по зоопарку диаграмм:
Летели два фотона, превратились в виртуальные электроны и позитроны, которые потом снова схлопнулись в фотоны. Иными словами, произошло их взаимодействие. Быть может, вы знаете, что в классической оптике такое невозможно. С точки зрения физики XIX века вы можете поставить два прожектора, лучи которых будут пересекаться, и при этом никак не влиять друг на друга. Оказывается, что в КЭД такое всё-таки возможно, свет действительно рассеивается на свете. Просто процесс этот очень слабый и малозаметный, потому что соответствующая диаграмма имеет порядок 4.
Выше я сказал, что электроны и позитроны на диаграммах отличаются направлением стрелки. Пришло время уточнить: это относится только к реальным частицам. Именно в их отношении декйствует договоренность, что время течёт слева направо. Тогда входящие фермионные линии со стрелками вправо соответствуют электронам, а со стрелками влево — позитронам. Если же это фермионная линия виртуальной частицы, как на рис. 18, то не имеет смысла спрашивать, электрон это или позитрон — в каком-то смысле, это и то, и другое одновременно.
Тем не менее, смысл в стрелках на фермионных линиях виртуальных частиц есть. Рассмотрим такую диаграмму:
Закон сохранения энергии прямо её не запрещает (потому что массы всех частиц, учавствующих в реакции, равна нулю). Тем не менее, такую диаграмму можно не рассматривать. И об этом нам говорит последнее правило конструктора Фейнмана, про которое я выше умолчал. А именно: любую диаграмму, в которой присутствует фермионная петля с выходящим из неё нечётным числом фотонов, можно игнорировать.
На самом деле, ситуация здесь интереснее. Формально диаграмма со вставкой рис.19, не равна нулю. Но к ней мы должны прибавить другую, в которой фермион в петле движется в противоположную сторону:
А у неё, как можно доказать, та же величина и противоположный знак.
Этот факт носит название «теоремы Фарри». Связан он, между прочим, с тем, что электроны — это фермионы, то есть подчиняются статистике Ферми-Дирака.
Таким образом, для любой диаграммы, содержащей структуру с рис.19, есть альтернативная, со структурой с рис.20, и их сумма всегда строго равна нулю.
В остальном же мы можем ни в чем себе не отказывать. Возможна, ну, скажем, вот такая диаграмма (специально даю волю фантазии):
Надо заметить, что количество возможных диаграмм порядка N и сложность вычисления каждой их них очень быстро растёт с ростом N. Если, например, упомянутую выше диаграмму электронного рассеяния (порядка 2)
любой студент-теоретик вообще-то должен посчитать устно, то с вычислением какой-то такой (порядка 4)
может не справиться и пятикурсник, а монстра 14–го порядка, которого я придумал выше (рис. 21), скорее всего, может несколько лет вычислять профессиональный коллектив теоретиков (и не факт, что вычислит). Кстати, даже просто нарисовать все диаграммы, которые, наряду с диаграммой рис. 21, описывают вклады 14-го порядка в рассеяние электрона на электроне — это очень непростая задача (не вдаваясь в детали, скажу лишь, что это число растёт, грубо говоря, как факториал N, хотя есть соображения, которые делают этот рост не таким быстрым). А ведь для вычисления полного вклада этого порядка вы должны их не только нарисовать, ни одной не пропустив, но и вычислить...
Кстати, КЭД — это исторически первая квантовая теория поля, но далеко не единственная. Например, существует квантовая хромодинамика — теория, описывающая силы, удерживающие частицы в ядре атома, в которой тоже вовсю используются диаграммы Фейнмана — только там составных деталей побольше, они другие, да и правила посложнее. Ещё одна большая проблема квантовой хромодинамики состоит в том, что константа взаимодействий (аналог «альфы» в КЭД) там примерно равна единице, поэтому теорию возмущений для неё строить сложно: все диаграммы вносят в физические величины примерно одинаковые вклады.
Наконец, специалисты меня не простят, если я ясно не проговорю несколько вещей. Как я сказал в начале, фейнмановские диаграммы очень наглядны. В этом, помимо очевидных плюсов, есть и свои минусы. Они настолько наглядны, что возникает соблазн воспринимать их буквально — как «фотографии» электронов, которые, как мячиками, перебрасываются фотонами.
Я имею в виду следующее. Взаимодействующие заряженные частицы действительно рисуют в пузырьковой камере треки, немного напоминающие наши диаграммы. Выглядят эти треки примерно так:
Если бы не магнитное поле, искривляющее траектории заряженных частиц, и не отсутствие треков частиц незаряженных, сходство было бы ещё больше. Тем не менее, не надо слишком полагаться это сходство в рассуждениях — эта соблазнительная, но наивная аналогия может увести вас в совершенно неверном направлении!
И ещё один, более тонкий момент. Допустим, вы изучаете рассеяние электрона на электроне. Как рассказано выше, это процесс можно описать набором диаграмм:
и так далее. Их сумма (точнее, как я сказал выше, квадрат абсолютной величины суммы) имеет физический смысл — соответствующую ей величину можно измерить в эксперименте. А вот можно ли увидеть или изучить процесс, соответствующий какой-то отдельной диаграмме — например, двухфотонной:
Ответ — нет! Все процессы, описываемые диаграммами, происходят, в каком-то смысле, одновременно (квантовая механика такое разрешает и называет это суперпозицией). А вот вытащить из процесса отдельную. диаграмму и посмотреть на неё мы можем только мысленно. Иными словами, природа не знает ничего ни о каких диаграммах Фейнмана. В природе происходит что-то такое:
Здесь заштрихованный круг обозначает сумму всех возможных виртуальных процессов. А отдельная диаграммы — это придуманная человеком визуализация, облегчающая вычисления. Но визуализация очень красивая и удобная.
Итак, я постарался проиллюстрировать несколько идей, которые стоят за диаграммами Фейнмана. Нисколько не сомневаюсь, что этот текст вызовет претензии двух типов. Одни — типа «я вообще ничего не понял». Другие — типа «как же можно было рассказывать о диаграммах Фейнмана, но не разу не использовать термин «пропагатор» [и ещё сотню терминов] и не упомянуть о «заметании бесконечностей под ковёр» [и ещё о сотне вещей]?!». К сожалению, я при всём желании не смог бы написать текст, удовлетворяющий обоим типам претензий. Надеюсь, что выбранный мною компромисс между строгостью и популярностью изложения достаточно разумен, и не одно из использованных мною упрощений не привело к полной потере смысла.
P.S. Выражаю благодарность Торстену Олю (Thorsten Ohl) за создание LaTeX-пакета FeynMF, незаменимого при рисовании фейнмановских диаграмм.