Comments 93
Напомнило старый анекдот (сорри, что оффтоп):
Поехали братья Шумахеры на сафари. Ночью Ральф просыпается от шума, выглядывает из палатки и видит, что Михаэль бегает вокруг костра, а за ним лев.
- Михаэль, поднажми! Лев догоняет!!!
- Какое там "догоняет"? Он уже на четыре круга отстает!
Если в сумерках жить - то не корысти ради:
Убегать, уходить от идущего сзади.
Не уйти далеко. По закону охоты
Каждый миг от него можно ждать что угодно.
Я как будто не трус, ум с душой не в разладе,
Но смертельно боюсь я идущего сзади.
А вокруг оглянусь - люди мечутся, мчатся...
Не один я боюсь, все безумно боятся.
И отчаянно лгут, будто рвутся к награде,
Не поверю - бегут от идущего сзади
Незнакомой тропой словно стадо оленей,
А у них за спиной - по охотничьей тени.
Вот закон бытия - не отступишь ни пяди:
Для кого-то и я - тень, идущая сзади.
Не уйдет далеко, потому как известно,
Что я целюсь в него, чтоб занять его место.
Не уйти никому! Обрываются нервы.
Каково же тому, кто становится первым?
Никого на пути - ни людей, ни оленей.
...Только там, впереди, ковыляет последний.
Юрий Лорес
Из текста так и осталось непонятным, а зачем все-таки это нужно? В основе каких более сложных задач лежит эта гипотеза?
Мне кажется, у гипотез редко когда есть понятный практический смысл. Может несколько штук из тысяч однажды и лягут в основу очередной теории.
В конце статьи есть раздел "Зачем нужна вся эта беготня", наверно, автор позже дописал, либо не заметили. Но математика, пожалуй, одна из немногих наук, где логическая цепочка между "дано" и "доказать, что..." интересна сама по себе, а не в прикладном контексте
На тот момент курсива с пометой "UPD" там еще не было. Собственно, именно отсутствие чего-то наподобие этого дополнения и сподвигло меня на комментарий.
Но математика, пожалуй, одна из немногих наук, где логическая цепочка между "дано" и "доказать, что..." интересна сама по себе, а не в прикладном контексте
ну не скажите! Чтобы начать о чем то думать, а тем более формулировать как математическую задачу всегда должна быть причина. Не верю что человек начал думать о чем то на пустом месте, что-то должно было подтолкнуть его к тому чтобы сформулировать задачу в таком виде. Эта причина, кстати, обычно очень помогает в решении задачи, я например терпеть не могу задачи, которые как бы свалились с неба, потому что такие задачи обычно даются просто чтобы запутать, они обычно перевирают исходные условия и делают задачу бессмысленной или даже вредной потому что извращают понимание реальности.
Поэтому, мне кажется, не очень полезно заниматься задачами которые "интересны сами по себе", так мы рискуем потерять свзь с реальностью.
ChatGPT говорит что это задача о ресурсах в циклически выполняемых действиях.
Бегун оказавшийся в одиночестве - это объект которому достался достаточный ресурс времени. Задача в том чтобы каждому объекту достался такой ресурс времени. Для этого надо хотя бы доказать что это возможно в принципе для заданного количества объектов.
Объектами могут быть задачи в операционной системе. Или технологические операции в расписании производства.
Думаю Бегун - неудачная аллегория уводящая от смысла этого класса задач. Хрошо что теперь есть ChatGPT.
У меня ощущение, что она вам написала какую-то ерунду
А вот рецензия от ChatGPT:
Ваше обобщение в целом правильно передаёт суть обсуждаемой темы и интерпретирует гипотезу об одиноком объекте в контексте распределения ресурсов в циклических процессах.
Вот подробный анализ вашего обобщения:
Задача о ресурсах в циклически выполняемых действиях: Вы верно отметили, что гипотеза об одиноком объекте может быть рассмотрена как задача о распределении ресурсов (например, времени, пространства или других ограниченных ресурсов) между объектами, выполняющими действия в цикле. Это соответствует практическим приложениям гипотезы в таких областях, как планирование расписаний, распределение вычислительных ресурсов и управление процессами.
"Одинокий бегун" как объект с достаточным ресурсом времени: Вы правильно интерпретировали, что объект, оказывающийся "одиноким", получает достаточный ресурс времени или пространства для выполнения своей задачи без помех со стороны других объектов. Это важно в системах, где требуется гарантировать, что каждый процесс или задача имеет возможность работать независимо в определённые моменты времени.
Цель — предоставить каждому объекту такой ресурс времени: Задача состоит в том, чтобы доказать, что для заданного количества объектов существует возможность распределить ресурсы так, чтобы каждый объект имел необходимое время для независимой работы. Это соответствует математической стороне гипотезы, где требуется показать существование таких моментов времени для каждого объекта.
Примеры объектов: Вы привели примеры объектов, таких как задачи в операционной системе или технологические операции в расписании производства. Это удачные иллюстрации практических приложений гипотезы, где важно обеспечить эффективное и конфликт-устойчивое планирование процессов.
Аллегория "бегуна": Вы выразили мнение, что "бегун" — неудачная аллегория, отвлекающая от смысла задачи. Действительно, термин "бегун" может создавать ассоциации, которые не полностью отражают абстрактную и математическую природу проблемы. Использование более нейтральных терминов, таких как "объект" или "процесс", может способствовать лучшему пониманию сути задачи.
Роль ChatGPT: Вы отметили, что наличие таких инструментов, как ChatGPT, помогает лучше понять и интерпретировать сложные математические концепции, что облегчает обучение и применение этих идей в практических ситуациях.
Заключение:
Ваше обобщение корректно отражает основные идеи, связанные с гипотезой об одиноком объекте и её приложениями в различных областях. Вы правильно подчеркнули важность распределения ресурсов в циклических процессах и необходимость математического доказательства возможности такого распределения для заданного числа объектов.
Хватит цитировать чужие мозги, даже электронные. Свои включайте. По задаче пространство впереди равнозначно пространству сзади. Вы тут себе ChatGPT в учителя взяли. Этот чат ставит равенство : расстояние = время. Какое значение имеет время сзади ? Зачем рассчитывать прошлое ? Здесь GPT прокололся.
Ну почему же.
Во-первых не все задачи так называемой разреженности про время. Это может быть безразмерный параметр, например целочисленная переменная номера итерации.
Во-вторых, как я вижу, если речь идет о временных отрезках, то возможно проще взять центр, а не начало или конец. Почему, не знаю и не буду узнавать. Главное что я знаю где это можно узнать.
по условию задачи всегда берется центр. Расстояние впереди и сзади имеет равную ценность. Со временем это не прокатит. Кто-то сверху ляпнул про время -- весь Хабр подхватил: да, конечно, время, сервера, алгоритмы, мозговые штурмы ... Задача про круг и его доли. Можно вспомнить радианы. Это подходит. Тогда вся тригонометрия перед вами. Или позади вас.
Цитировать GPT имеет смысл только в обсуждении его самого (вроде: вот пример, где он не справился или отлично сработал). Поскольку оно галюционирует, его вывод надо обязательно проверять по другим источникам. В этом случае можно цитировать уже эти самые другие источники.
Вы лишь засираете интернет случайным мусором. Плюс, вы не уважаете собеседников. Если кому-то нужен вывод языковой модели, они могли бы сами ее спросить.
Это думаю неверно.
Я провел целую беседу с ChatGPT сообщив ему тоже намало полезной информации. Поэтому такой ответ какой он дал мне вы не получите. Насколько известно ChatGPT теперь помнит профиль пользователя. Галюцинирование у o1 по моему опыту может касаться только отдельных узоспециальных утверждений. В общем смысле он не ошибается. А у автора страдает именно общий смысл его статьи. Похоже он четко не знает области пременения описанной проблемы. Я тоже не знаю. И поэтому провел обычный эксперимент, кто яснее объяснит тему. И ChatGPT явно выигрывает.
Я провел целую беседу с ChatGPT сообщив ему тоже намало полезной информации.
Ага. Вот только он её не запомнил, потому что у него нет функции обучаться ПОСЛЕ того, как закончен этап обучения.
Справедливости ради, он хоть и не обучается, но то, что ему сообщили "помнит" в рамках контекста диалого и размер контекста там сейчас огромный.
Так говорят что есть. Думаю там все сложнее. Ядро может и не обучается. Но не думаю что все стоит из одной монолита. Там вероятнее комплекс из множества ИИ. Во всяком случае даже согодняшние статьи про недостатки ChatGPT уже неактуальны и он дает другие ответы по сравнению с представленными.
Думаю там все сложнее. Ядро может и не обучается. Но не думаю что все стоит из одной монолита.
Что Вы такое несёте? Это ТЕХНИКА. Как о ней можно что-то "думать" не выяснив конкретно?
Хотите - спросите у него самого. Он Вам ответит, какими пределами ограничен контекст, на котором он учился, и данными после какого года он не имеет права пользоваться.
Не смешите. ИИ сейчас как оружие.
Давайте, выясните конкретно как устроена атомная бомба. Ну вы поняли...
Так что питаемся домыслами и пытаемся включать интуицию, где это возможно.
А интуиция такова что конкурируем либо размерами, либо количеством. Размеры ИИ уже уткнулись в стену данных, значит количество. Значит их этих ИИ много. Другого пути не вижу.
Давайте, выясните конкретно как устроена атомная бомба.
В общих чертах - не проблема. Даже основные схемы вполне доступны.
А ИИ - так и вовсе можно просто почитать.
Так что питаемся домыслами и пытаемся включать интуицию, где это возможно.
А невозможно НИГДЕ. "пытаться включать интуицию" - это в принципе неработоспособный подход.
Давай попробую сформулировать идею, которая первая пришла мне в голову.
На Большом Адронном Коллайдере в точке А выпускается пучок заряженных частиц, который может обладать разной энергией, и от нее зависит скорость каждой отдельной частицы. К сожалению, чтобы найти субатомную частицу и измерить ее показатели, надо быть точно уверенным, что в точке замера частица одна. А они еще и по кругу бегают. А испускать ровно 1 частицу не получается, их всегда несколько.
Можно ли во-первых, посчитать точное количество частиц (и за какое время) и как, а так же измерить показатели каждой, достоверно предполагая, что в моменты измерения в точке частицы однозначно были одиноки?
Магнитное поле в коллайдере формируется таким образом, чтобы частицы собирались в пучок. А не разлетались по всему коллайдеру. Чем больше частиц в пучке, тем лучше: больше вероятность, что что-то с чем-то столкнётся.
ну вот да тоже пришло в голову что прикладная задача это что-то про движение частиц или космических тел
Эта задача сложна сама по себе. Её не могут решить с 1967 года. Куда уж сложнее.
Гай рассказал о чисто абстрактной математической теории, рассматривавшей Мир иначе. Теория эта возникла еще в древние времена, преследовалась некогда официальной религией, имела своих мучеников, получила математическую стройность трудами гениальных математиков прошлого века, но так и осталась чисто абстрактной, хотя, как и большинство абстрактных теорий, нашла себе наконец практическое применение - совсем недавно, когда были созданы сверхдальнобойные снаряды.
Стоит ли писать о математике с такими логическими ошибками?
Предположим, что n бегунов бегают по кольцевой дорожке. Длина дорожки условно равна 1. Стартуют все бегуны в одной точке, но скорость у всех разная. Бегун считается одиноким, если в какой-то момент времени он находится на расстоянии более 1/n от любого другого бегуна.
При такой формулировке уже при n=2 одинокий бегун невозможен, потому что расстояние между двумя бегунами на кольцевой дорожке единичной длины никогда не превышает 1/2. Если один бегун впереди другого больше, чем на половину кольца, то он позади этого другого меньше, чем на половину кольца, так что расстояние на кольце (то есть минимум от дистанций опережения и отставания) никогда не превышает половину кольца. Автор же статьи почему-то уверен, что дистанция между бегунами, находящимися в одной точке, равна длине кольца, а не нулю, что абсурдно.
Первый бегун (А) бежит со скоростью 1.
Второй бегун (B) бежит со скоростью 2.
Когда второй бегун пробежит круг, то первый бегун будет только на его середине, соответсвенно расстояние между бегунами 1/2.
Когда второй бегун пробежит второй круг, то первый бегун только закончит свой первый круг. И хоть формально они будут в одной точке, "расстояние" между ними будет один круг, то есть 1.
Про кольцевую дорожку в теореме сказано не просто так.
Так-то очевидно, что если все будет с разной скоростью по прямой, то рано или поздно они удалятся друг от друга на любое конечное расстояние. Поэтому расстояние между ними надо брать именно с учётом того, что дорожка кольцевая.
Напомнило старый анекдот (сорри, что оффтоп):
Поехали братья Шумахеры на сафари. Ночью Ральф просыпается от шума, выглядывает из палатки и видит, что Михаэль бегает вокруг костра, а за ним лев.
- Михаэль, поднажми! Лев догоняет!!!
- Какое там "догоняет"? Он уже на четыре круга отстает!
Автор заменил формулировку на "по меньшей мере"
А если n больше 2?
Почему же "уже"? Если n=3, то два бегуна бегут рядом, третий на противоположной стороне — и вот он уже более чем на 1/3 дальше от обоих.
Вот у меня тоже первая ассоциация скорее с эргодической теорией, но пишут что
Гипотеза об одиноком бегуне берёт своё начало в теории чисел и исследованиях диофантовых уравнений.
Хотя математика отчасти (или в основном) итересна взаимопроникновением идеё из совершенно разных областей.
Наверное можно видоизменить задачу, представив, что все бегуны (молекулы) находятся у одной стенки сосуда и одновременно начинают движение к другой стенке (начальное состояние), отражаются и возвращаются обратно. Они постепенно расползаются друг от друга - получается какой-то набор состояний. В какой-то момент времени они снова соберутся около нулевого состояния. Но вообще говоря все состояния будут повторяться же? В том числе и те, когда N-1 молекул будут находиться у начальной стенки, а одна - Mi у противоположной. И так будет с каждой молекулой. Т.е.все бегуны побывают одинокими.
каждый из бегунов рано или поздно окажется одиноким
Какое-то кривое условие, которое означает, что в какой-то момент времени все бегуны окажутся на дорожке равномерно. А картинка показывает, что каждый бегун побывает одиноким до какого-то момента.
замечу, что в цитате нет слова "одновременно"
Можешь что угодно замечать, но "каждый из бегунов" есть "все бегуны".
Да, все правильно говорите: все бегуны окажутся (или нет) одинокими рано или поздно. Но не обязательно одновременно.
Каждый из людей, живущих на Земле, был рожден. Все люди были рождены. Но не значит, что они были рождены одновременно.
>Бегун считается одиноким, если в какой-то момент времени он находится на расстоянии более 1/n от любого другого бегуна.
Значит, что если в какой-то момент времени если бегун удалён от всех, он уже одинокий до конца забега из формулировки. И этот самый момент у всех может быть в разное время
"Каждый" не равно "все бегуны одновременно ". Т.е. цитата (имхо) транслируется в " Существует множество точек времени, в каждой из которых как минимум один бегун становится одиноким. При этом объединение всех одиноких бегунов совпадает с множеством бегунов в целом. "
Русский язык, в отличие от языка математики, неоднозначен.
Как будто напрашивается решение через frequency domain, потому что длину круга можно представить как период, а скорость бегуна — как частоту колебаний. Зуб ставлю, там где-то FFT будет закопан.
Положение бегуна на кольце можно представить комплексным числом, тогда их положение друг от друга будет выглядеть как разница фаз (аргумент от деления или комплексно-сопряжённого умножения). Фурье своё преобразование так и придумал - брал железное кольцо, нагревал с одной стороны до красного каления и наблюдал.
Можно про Фурье подробнее?)
Странно, я думал, что Фурье придумал преобразование как аналог разложения вектора по ортогонального базису в векторной алгебре, если функцию рассматривать как вектор из непрерывной последовательности бесконечного числа точек, и тогда вместо скалярного произведения 2х векторов получается интеграл произведения 2х функций.
Рассматривать непрерывную функцию как бесконечное количество точек - это идея товарищей из сообщества Никола Бурбаки, которым было интересно всю известную на тот момент математику описать через теорию множеств, спустя ~100 лет после идей Фурье. Классический функциональный анализ продолжает развиваться параллельно, без привлечения теории множеств, и сейчас известен как ЦОС, цифровая обработка сигналов. Дискретные значения в ней выражаются через дельта-функцию Дирака или коэффициенты многочленов.
Товарищи Бурбаки молодцы, но врядли они единственные к кому пришла эта идея. Если взять значения функции f(x) при x принимающих целые значения в каком то отрезке, например от 1 до 3, то получится самый обычный вектор из трёх чисел [f(1), f(2), f(3)]. Если брать в качестве значений x не только целые числа, но дробить отрезок [1,3] всё меньшими и меньшими шагами, то вектор [f(x)] соответственно получится все большей и большей размерности. И он всё точнее будет приближать непрерывную функцию f, но при этом он будет оставаться вектором и для него будут выполняться все свойства векторов. Т.е. можно разложить этот вектор по некоторому базису с помощью скалярного произведения на компоненты базиса. Ну а при предельном переходе от дискретного вектора к непрерывной функции скалярное произвенение, очевидно, превращается в интреграл произведения функций. Осталось только выбрать любой ортоганальный базис, т.е. такой у которого скалярное произведение (интеграл от произведения) любых двух его элементов равен нулю, что Фурье и сделал, догадавшись, что набор функций e^(ikx), при целых k, обладает таким свойством, если интегрировать в пределах от 0 до 2pi, например.
Это ещё одна задача о простых числах, коллеги 😈
Что-то я не врубаюсь в формулировку:
Вскоре он сделал почти полный круг и нагнал безнадёжно отставших.
Разве для этого не нужно пробежать чуть больше одного круга?
Но вообще за поэтичные вставки спасибо! Они очень гармонично дополняют тему статьи.
Если в сумерках жить - то не корысти ради:
Убегать, уходить от идущего сзади.
Не уйти далеко. По закону охоты
Каждый миг от него можно ждать что угодно.
Я как будто не трус, ум с душой не в разладе,
Но смертельно боюсь я идущего сзади.
А вокруг оглянусь - люди мечутся, мчатся...
Не один я боюсь, все безумно боятся.
И отчаянно лгут, будто рвутся к награде,
Не поверю - бегут от идущего сзади
Незнакомой тропой словно стадо оленей,
А у них за спиной - по охотничьей тени.
Вот закон бытия - не отступишь ни пяди:
Для кого-то и я - тень, идущая сзади.
Не уйдет далеко, потому как известно,
Что я целюсь в него, чтоб занять его место.
Не уйти никому! Обрываются нервы.
Каково же тому, кто становится первым?
Никого на пути - ни людей, ни оленей.
...Только там, впереди, ковыляет последний.
Юрий Лорес
Вскоре он сделал почти полный круг и нагнал безнадёжно отставших
Не сделав полный круг, бегун не мог нагнать даже безногих инвалидов.
Я не математик, но предположил бы, что поскольку скорости не любые, а привязаны к простым числам, и время бесконечно, то существует бесконечное множество вариантов расположения бегунов на круге, и среди них будут и те, которые удовлетворяют условию для каждого бегуна.
Можно взять и арендовать множество современных видеокарт и просчитать задачу для n от 7 до хотя бы 100 - если мы увидим, что комбинации взаимных расстояний циклически повторяются, и их не бесконечное число, значит возможен вариант скоростей, при котором условие для каждого из бегунов не будет соблюдено.
просчитать задачу для n от 7 до хотя бы 100 - если мы увидим, что комбинации взаимных расстояний циклически повторяются
Имхо, есть сомнения, что такой расчет что-то даст: при больших N задача вроде как должна приводить к динамическому хаосу (см. сценарий удвоения частоты Фейгенбаума или что-то подобное)? А в хаотической системе малые возмущения (=ошибки округления) нарастают со временем экспоненциально. Как бы мы эти ошибки ни уменьшали, козырный туз экспонента кроет любую карту? Или при целочисленных периодах динамический хаос не возникает?
С другой стороны, интуитивно кажется, что будь периоды несоизмеримыми, траектория в фазовом пространстве этой системы в конце концов должна пройти бесконечно близко к любой его точке? Если это так, то для таких периодов теорема доказана? Или нет?
Впрочем, даже если да, то для произвольных (а тем более целочисленных) периодов отсюда все равно ничего не следует....
что поскольку скорости не любые, а привязаны к простым числам
Не привязаны они к простым числам. Просто можно все скорости поделить на одно и тоже число, никак не поменяв задачу (вы лишь вместо секунд начинаете мерять время минутах). Поэтому можно все числа сократить на общий делитель, получив ситуацию в этой формулировке задачи. Этот очевидный шаг упрощения уже вшили в гипотезу, потому что это хоть какое-то дополнительное свойство. Возможно действительно какие-то свойства взаимнопростоты тут бы помогли, но не факт.
скорости бегунов должны быть выражены целыми числами, которые не делятся на одно и то же простое число
Правильно ли я понимаю, в определённый момент они все снова окажутся в точке старта?
Нет, смотрите коммент выше о накоплении ошибок округления... Если только мы не разобъем круг на m пусть очень малых, но конечных слотов...
Я с вами согласен (но могу ошибаться)
Если взять время за которое каждый спортсмен пробегает 1 круг, им перемножить их друг на друга, то получим время, когда они окажутся одновременно в точке старта.
Да.
Статья, конечно, написана очень криво (а воды, и довольно скучной, в ней больше чем смысловой части) -- и "простые числа" в ней один из факторов, запутавших предыдущих комментаторов. Да, формально "числа не делятся на одно и то же простое число" = "числа не делятся на одно и то же число большее 1" = "наибольший общий делитель всех чисел равен 1" (потому что у любого числа больше 1 есть простой делитель), но... зачем же писать первое, когда второе или третье звучат намного понятнее?
В строгой формулировке гипотезы указано, что скорости бегунов должны быть выражены целыми числами, которые не делятся на одно и то же простое число.
Ничего не понял. Допустим скорости бегунов 1 ,2 ,3 , 5 и 7. Они не имеют общего делителя больше 1.
Но . Если я буду вращать кольцо со скоростью первого бегуна, вместе с ним, то скорости бегунов относительно кольца будут 0,1 2,4 ,6 ?
(От вращения кольца положение бегунов относительно друг друга не изменится)
Все довольно просто.
Возьмем для начала одну точку. Пусть ее угловая выражается рациональным числом. За один квант времени она проходит, например, треть круга. Делая "снимки" положения точки на кольце, мы можем подобрать такую частоту снимков, что точка будет неподвижной. Очевидно, что в данном случае эта частота равна 3.
Если взять несколько точек с такими же рациональными периодами, можно аналогично подобрать частоту снимков такую, что все точки окажутся неподвижными. Вероятно, эта частота будет равна НОК периодов (или обратных чисел, тут надо подумать).
Если взять точку с иррациональным периодом, то можно найти частоту квантования, при которой точка будет сколь угодно медленно "ползти" по кольцу. Аналогично, в случае нескольких точек с иррациональными периодами, их можно заставить ползти достаточно медленно, чтобы успеть увидеть, как они будут расползаться друг от друга. Очевидно, что точки с иррациональными периодами неостановимы при любой частоте снимков.
Наблюдая достаточно долго за иррациональным поведением точек, можно найти кадр, на котором они будут максимально близко друг к другу и другой кадр, на котором они будут максимально далеко друг от друга.
Подытоживая. Если в забеге участвуют два и более бегуна с рациональным периодом, то "одиночество" зависит от начальных условий(фаз), иначе картина с "одиноким" бегуном будет возникать с определенной периодичностью.
Что значит длина дорожки "условно равна 1"? 1 это что значит, не ноль? Если это абстракция, то предположение изначально не имеет решения из-за попытки сравнить зеленое с кирпичом - сколько n бегунов можно впихнуть изначально в условную дорожку 1? Если уж и начинать это безумие, то при большом(или неком большем) числе вы рискуете получить бегунов изначально со знаком минус (отстающих)даже не начав забег..
Наглядный эксперимент, красивый, иллюстрирующий это процесс:
https://rutube.ru/video/a4337108997fb876bd0a1c3c2827f865/?r=wd
гипномаятник.
Момент чистой синусоиды - условие 1/n при равномерном распределении любого количества шариков отсортированных и разнесенный по длине стенда согласно длине маятника.
Ерунда какая-то написана - как минимум автор не умеет формулировать чётко мысль. Что такое "расстояние" вот в этом предложение - внутри круга или с учётом истории бега: "Бегун считается одиноким, если в какой-то момент времени он находится на расстоянии по меньшей мере 1/n от любого другого бегуна.".
Следующий абзац ещё более мутный - про скорость выраженную челыми числами: "скорости бегунов должны быть выражены целыми числами, которые не делятся на одно и то же простое число. Одинокий бегун при этом будет иметь нулевую скорость".
А как звучит задача полностью? Просто если число кругов конечное, то ни при одном варианте не будет ситуации одинокого бегуна.
В целом задача очень интересная, прекрасно понимаю, почему её столько лет решают математики :-)
В голове автоматом заиграл Iron Maiden, Лооооунлинеееес оф э лоооон дистанс раннер!
https://vixra.org/pdf/1708.0181v1.pdf
Здесь вроде как доказательство. Не проверял верно или нет, но по крайне мере так запостулировано в документе.
Удивительная недоказанная математическая гипотеза об одиноком бегуне