Comments 2
В предыдущем тексте вы показали обобщённое представление составных чисел через матрицы. Но не показали, почему матричные операции выбраны именно такими, какие они есть. В итоге обобщение пар чисел сводится к операциям, аксиоматически задаваемым на матрицах (в смысле без каких-либо видимых в тексте доказательств необходимости именно таких операций). Отсюда очевидно, что однажды выбрав матричную аксиоматику, включающую специфичные для тех же комплексных чисел операции, вы, разумеется, обнаружили что матрицы "подходят" для описания комплексных чисел. То есть показали, что масло, оказывается, масленое.
Поэтому было бы интересно увидеть обоснование операций, применяемых к матрицам. И ещё интереснее - показать это на тех же камушках и веточках. Хотя последнее, видимо, весьма нетривиально из-за необходимости привлекать большое число предметов для указания корней проблемы, по видимому лежащих в области исследования систем линейных уравнений.
Ну и если матрицы растут от линейных уравнений, то и их операции заимствованы оттуда. А основа там всё та же, что и в одномерной арифметике, но с добавкой специфики систем линейных уравнений. Ну и комплексные числа тогда, видимо напрямую заимствуют эту специфику систем уравнений.
Всё это к тому, что вы хорошо углубились в обобщения, но корни показали недостаточно глубоко. Связь "системы + арифметика = новые числа (структуры)" можно показать глубже и нагляднее.
Вы правы, просто перенося вопрос "почему" от алгебры комплексных чисел к алгебре матриц, нельзя докопаться до истины. Обоснование матричных операций я не планировал включать в эту серию, но в двух словах упомянул ключевые их свойства, линейность (отражающуюся в арифметикой в форме дистрибутивности умножения) и свойства скалярного произведения (билинейной формы). Об этом я подробнее хочу поговорить, рассказывая об алгебрах Клиффорда в следующей серии заметок.
Математическая продлёнка. Изобретаем эллиптические числа