Это равенство интересно тем, что выражения слева и справа отличаются верхними пределами суммирования. Слева стоят бесконечные суммы, справа - конечные. Тем не менее, эти выражения равны при любых действительных x и целых неотрицательных n.
Докажем это.
Начнём с выражения:
При n = 0 оно равно ex, а при n = 1 равно xex. Далее представим in в виде суммы нисходящих степеней:
где i[j]=i(i-1)(i-2)...(i-j+1), а Sn,j - числа Стирлинга второго рода.
Поменяем справа суммы местам:
Получим:
Перенесём экспоненту в левую часть, а справа подставим выражение для чисел Стирлинга:
Слева представим экспоненту в виде ряда, а справа снова переставим суммы:
Сделав справа замену j - i на j получим окончательный результат:
Другие равенства можно посмотреть здесь.
