Comments 8
Вы написали про Cl(0, 0, 4) и я очень впечатлён, насколько оно похоже на Cl(3, 0, 1).
Но я бы ещё добавил, что в общем виде в уравнении точки в 3д четвёртый элемент тоже может быть отличным от единицы. Например, разностью двух точек будет вектор с четвёртым элементом-нулём и это валидная сущность.
Я надеюсь, вы как-нибудь потом напишете про Cl(3, 0, 1).
Там смысл weight и bulk более понятен - это элементы которые в квадрате равны единице и элементы котороые в квадрате равны нулю.
Причём, что интересно и красиво, и та и та нормализация (по bulk и по weight элементам) имеет смысл.
Например, для уравнения плоскости в общем виде можно либо привести к единице длину нормали, либо сделать "единичным" сдвиг от нуля координат)
Для линии нормализация сделает единичное направление. Для уравнения точки - уберёт четвёртый элемент в единицу. Либо не уберёт для случая идеальной точки, но тогда можно хотя бы сделать другую нормализацию, чтобы сумма квадратов остальных трёх элементов давала единицу.
А ещё про смысл weight - если сказать что четвёртый элемент точки это вес, то сумма таких точек с массой будет точкой-центром масс.
Отличные замечания!
Я решил пойти в этой серии долгим путём: от внешней алгебры к алгебре с нетривиальным метрическим тензором, чтобы показать общность подходов а, главное, продемонстрировать необходимость тех или иных компонент а алгебре. В частности, в 
введение дополнительного инфинитезимального компонента не условность, не хитрый приëм, а способ не противоречиво дополнить внешнюю алгебру (неявно входящую в аффинную геометрическую) недостающими возможностями для построения проективной евклидовой (или неевклидовой) геометрии.
Следующая часть будет посвящена алгебрам 
и там уже через метрический тензор мы точно разделим weight и bulk компоненты, нормы и дополнения.
Ещё не читал, но сразу лайк за продолжение серии !
https://henders.one/2022/05/09/lost-4D-rotation/
Вы не можете вращать вокруг двух осей сразу (увы).
Хотя длины векторов останутся теми же.
Вы потеряете много важных свойств такой операции.
Из-за этой ошибки вы не сможете объяснить, почему у вас сфера(!) ужимается в диаметре в 1.5(!) раза.
Пусть и многомерная.
Сфера по определению - множество точек, находящихся на одном расстоянии от центра.
И тут БАЦ - разные расстояния!
Как (не) наглядно, как (контр)интуитивно.
Возможно, вы и правы, я не уделял много внимания этому примеру, поскольку он и не должен быть ни наглядным ни интуитивным. Хочу лишь обратить внимание на то, что объем на который проецируется сфера смещён относительно начала координат, к тому же перспективные искажения, возникающие при центральной проекции могут внести свои искажения. Наконец, намотка одномерной кривой плотная по одному азимуту, и "рыхлая" по другим. Для трёхмерной сферы это была бы семизаходная спираль, для четырёхмерной – спираль с дополнительным шагом.
А вообще, я подбирал параметры для того, чтобы получилось симпатично и необычно, а не для демонстрации свойств четырехмерных объектов. Так что, строго говоря, не сферу я показываю, а только некоторую кривую Лиссажу.
А, у вас скорее всего сфера неправильно нарисована
Спасибо за очередную серию. Это настоящий подарок. Жду продолжения.
Исчисление геометрии 3. Проективная внешняя алгебра