В этой статье я покажу, как связана ЛП позиция на Uniswap v3 с опционами, и численно сравню эффективность этой концепции, оценив честные стоимости этих опционов и заработанных комиссий.

Также покажу, как оценивать честные стоимости многих деривативов, на примере «изогнутого» колл‑спред опциона, который у нас появляется статье.

Что содержится в этой статье

Берем Uniswap V3 позицию в паре "доллар - эфир"
Раскладываем Uniswap V3 позицию на два опциона (как на рисунке ниже)
Оцениваем справедливые стоимости двух получившихся «изогнутых» опционов, используя стохастическую модель SABR с калибровкой к бирже Дерибит
Бэктестим на исторических данных (идём по каждому блоку из блокчейна) рассматриваемую позицию Uniswap V3, чтобы посчитать заработанные комиссии
Итоги и анализ: смотрим, как будут выглядеть позиции с учётом премий и комиссий
Что будет если приблизить верхнюю границу Uniswap v3 позиции к бесконечности?

Мы увидим, как связана Uniswap v3 позиция с двумя экзотическими опционами - изогнутый колл-спред, и пут опцион (в общем случае тоже изогнутый).
Покупатель опциона получает всю положительную доходность от позиции в Uniswap V3 плюс комиссии, в то время как другая сторона фактически продаёт пут и получает премию (в момент t = 0).

Если говорить точнее, это не продажа пута, а продажа покрытого колла. Однако, поскольку у них одинаковая функция выплаты (TV — TV₀), мы анализируем именно продажу пута.

Небольшое отступление

В своём телеграм канале делюсь ещё больше полезным контентом по сфере деривативов и децентрализованных финансов: https://t.me/kirrya_achieves

Позиция в Uniswap V3

В следующих примерах рассматриваем пару USDC-WETH (доллар - эфир).

Предположим, что у нас есть два пользователя - Алиса и Боб. первый пользователь (Алиса) открывает позицию в Uniswap V3, то есть предоставляет ликвидность в выбранном ценовом диапазоне.

Параметры этой позиции в Uniswap:

Текущая цена актива: 1247 USDC за 1 ETH
Нижняя граница цены: 1122 USDC (на 10% ��иже)
Верхняя граница цены: 3118 USDC (в 2.5 раза выше)
Начальная общая стоимость в USDC: 1247

Проводил я бектестинг этой позиции примерно в январе 2023

В этой позиции начальные суммы токенов составляют:

152 USDC
0.87 ETH

Давайте посмотрим, как общая стоимость этой позиции зависит от цены ETH:

Декомпозируем Uniswap V3 позицию

Предположим, что другой пользователь (Боб) хочет купить колл-опцион. Мы увидим, как Алиса и Боб могут заключить сделку, которая может удовлетворить их обоих.

Давайте рассмотрим следующий производный контракт:

В момент t=0:

Алиса открывает позицию Uniswap с заданными параметрами и ликвидностью
Алиса блокирует эту позицию на время 𝑇 (т. е. она не закрывает эту позицию)
Боб выплачивает Алисе честную премию за опцион, который хочет купить, на основе этой Uniswap V3 позиции

Далее (через время T):

Алиса закрывает позицию Uniswap V3.
Если общая стоимость позиции на момент 𝑇 больше, чем начальная TV, то она отправляет Бобу всю разницу в TV. Если общая стоимость меньше, чем начальная TV, то она оставляет TV себе.
Алиса собирает все заработанные комиссии и отправляет их Бобу.

Давайте изобразим на графике зависимости выплат (payoff'ы) от итоговой цены на момент экспирации опциона:

На приведённой выше диаграмме я не добавил опционные премии, так как они необходимы для оценки стоимости таких опционных контрактов (см. следующие разделы этой статьи).

В этом случае, если мы разберём позицию Uniswap V3, Боб получит выплату, близкую выплате колл-спреда. Но только "изогнутого"

В то же время выплата Алисы почти в точности равна выплате по проданному опциону пут «при деньгах» (in-the-money) (без премии опциона, мы добавим премию после оценки справедливой цены этого опциона). Для Боба этот контракт выгоден, так как ему нужно заплатить только фиксированную премию.

Вот как обычно выглядит график "обычного" колл-спреда:

Оцениваем честные стоимости рассматриваемых опционов

Алисе может быть интересно продать опцион Бобу, если он заплатит премию, как минимум равную справедливой стоимости её пут опциона.

Более того, в этом случае, если Боб предложит заплатить больше, чем справедливая стоимость опциона пут Алисы, для неё будет выгоднее заключить сделку с Бобом, чем создавать позицию в Uniswap V3.

Расчёт справедливой цены

Из-за кривизны рассматриваемых опционов невозможно использовать стандартные формулы Блэка-Шоулза для оценки стоимости колл- и пут-опционов. Кроме того, модель Блэка-Шоулза предполагает постоянную подразумеваемую волатильность для всех страйков, что не соответствует реальности.

Поэтому я использую более продвинутую модель стохастической волатильности — модель SABR.

где:

Эта стохастическая модель с очень хорошей точностью калибруется под поверхность волатильности опционного рынка. Другими словами, она позволяет получать различные значения подразумеваемой волатильности в зависимости от выбранной цены страйка - это то, что нужно, чтобы правильно оценивать честные стоимости опционов.

После калибровки модели мы можем определить справедливые цены любых экзотических опционных контрактов как математическое ожидание дисконтированной выплаты в риск-нейтральной мере.

Этот подход - один из основных в традиционных финансах для оценки стоимости производных финансовых инструментов, потому что он подразумевает нахождение стоимости репликации хеджирующего портфеля для выбранного дериватива.

Более подробно писал про риск-нейтральную меру здесь.

Давайте оценим честные стоимости наших опционов

Сначала я откалибровал модель SABR на данных опционного рынка биржи Deribit. Затем, используя откалиброванную модель, можем смоделировать траектории цен актива и получить справедливые цены любых экзотических опционных контрактов с помощью метода Монте-Карло.

Вот пример симуляции траекторий цен с использованием модели SABR. Важно отметить, что распределение вероятностей не является логнормальным, скорее более гибким, что позволяет точнее подгонять модель под рынок.

Справедливая цена данного опциона пут:

Справедливая цена данного опциона пут составляет $89.7.

Справедливая цена рассматриваемого колл-спреда:

Справедливая цена данного спреда колл составляет $70.2.

Разница между опционами: 89.7 – 70.2 = $19.5.

Однако наша Uniswap V3 позиция зарабатывает комиссии.

Сколько комиссий заработает эта позиция в Uniswap V3?

Напомню параметры нашей позиции в Uniswap V3:

Текущая цена актива: 1247 USDC за ETH
Нижняя граница цены: 1122 USDC (на 10% ниже)
Верхняя граница цены: 3118 USDC (в 2.5 раза выше)
Начальная общая стоимость в USDC: 1247
Период удержания: 29.2 дня (срок до экспирации, период бэктестинга)

Теперь нужно рассчитать ожидаемые комиссии, которые заработает эта позиция.

Я провёл бэктестинг данной позиции в Uniswap V3 на блокчейне Polygon, чтобы оценить сумму заработанных комиссий. Модель ценообразования опционов была откалибрована на основе рыночных цен опционов на момент 2023-01-04 06:00:00. Бэктестинг проводился начиная с этого времени.

Результат бэктестинга

Бектестинг этой ЛП позиции дал результат: earned_fees = $19.8.

Этот результат показывает, что в данном случае справедливая цена опциона пут равна справедливой цене спреда колл плюс заработанные комиссии. Другими словами, комиссии могут компенсировать разницу в ценах опционов. Таким образом, обе стороны могут потенциально получить выгоду от такого контракта, поскольку обе стороны получают справедливую цену.

В дополнение, Боб (покупатель опциона) не обязан блокировать какой-либо залог, ему просто нужно заплатить премию в момент t = 0.

Однако стоит учесть, что здесь важным фактором является то, чтобы цена базового актива не выходила из ценового диапазона нашей Uniswap V3 позиции. А выход случается достаточно часто :-)

Как изменятся позиции с учётом премий и комиссий?

Важно отметить, что в этом примере справедливая цена пут опциона равна справедливой цене изогнутого колл опциона плюс комиссии, которые генерирует позиция Uniswap V3.

Что произойдёт, если мы приблизим верхнюю цену к бесконечности, оставив нижнюю цену такой же?

Если верхний тик приближается к бесконечности, а нижний тик остаётся тем же, то общая стоимость позиции Uniswap V3 в зависимости от цены становится более линейной и начинает напоминать форвардный контракт.

При увеличении верхней цены позиция становится всё ближе и ближе к стандартному vanilla call и vanilla put.

Но нужно помнить, что из-за расширения ценового диапазона, Uniswap V3 позиция будет генерировать меньше комиссий.

Надеюсь, мне удалось показать вам ещё один взгляд на Uniswap v3 позиции со стороны опционов :-)

Декомпозируем Uniswap v3 позицию на два опциона