Comments 16
GPT? Чувствуется стиль
Примечательно, что этот GPT ничего не знает про четырёхзначную логику, где теоремы Гёделя, Тьюринга и Кантора не работают от слова совсем.
Да вроде бы кое-что знает:
Автор текста просто не понимает разницы между формальными доказательствами и разговорной логикой. Гёдель чётко работал в формальной системе, а не бросался парадоксами. Ошибка автора в том, что он вводит свои субъективные категории ("абсурдность"), не объясняя их формально, и пытается "опровергнуть" строгую математическую теорему размытыми философскими аргументами.
Добавлю от себя, что я прочитал, вернее надчитал, лишь до середины, но решил, что хватит. Потому что, во-первых, в статье написанные синтаксически некорректно утверждения - названы абсурдными утверждениями, хотя автору следовало бы определить язык, из которого будет ясно, что это вообще утверждения и что тут вообще есть хоть какая-то проблема. В системе Пеано, например, это не считалось утверждениями. Пропущу дальнейшие связанные с этим рассуждения и перейду к моменту, где говорится в сильном упрощении, что Гёдель использовал якобы синтаксически некорректный аналог парадокса лжеца (если я правильно интерпретировал предварительные рассуждения автора), что является просто неверным, ведь в его доказательстве использовались как раз абсолютно корректные с точки зрения формальной системы утверждения.
ну и ладно, эти неточности не так интересны, как интерпретация самого результата, т.е. ограничений любой аксиоматической системы, интересно как Вы понимаете какую именно логическую трудность пытались греки разрешить путем использования систем аксиом?
Ну вот если бы вы дочитали до конца, то нашли бы ссылки на формальное описание четырёхзначной логики.
А в доказательстве Гёделя используется бинарная логика и семантически некорректные (но не синтаксически) утверждения.
Аксиоматики тщетно пытаются решить семантическую проблему через синтаксис, что снижает выразительную мощность формальной системы.
Я тоже не знаю, но было бы интересно почитать здесь на Хабре статью на эту тему. Математическая логика всегда интересна.
Можете глянуть эту диссертацию, если интересуетесь темой: https://www.dissercat.com/content/logika-s-operatorami-istinnosti-i-lozhnosti-i-ee-sootnoshenie-s-logikami-lukasevicha-klini-b
Например, можно ли сказать правдиво или ложно выражение 2 = +? Это вообще не понятно что такое.
Утверждение 2=+ ложно. Т.к. слева число, а справа бинарный оператор. Никакое число не равно бинарному оператору, поэтому ложно. Не вижу здесь неоднозначности.
Можете поменять на "^2*", суть повествования не поменяется.
Ок. Ну допустим есть не два, а четыре класса утверждения: истинное, ложное, абсурдное и неизвестное. К какому из них относится выражение "^2*"? Наверное к абсурдным? Ну вроде бы так кажется. Но это же ещё надо доказать. А для этого надо построить формальную систему, которая будет каждое выражение относить к 1 из 4х классов. Пока такой системы нет, это все пустые разговоры.
Ничего примечательного в этом нет – скинутая вами статья очень профанская. Я бы даже сказал бредовая
Спасибо за ваше экспертное заключение, но не могли бы вы подкрепить свои слова аргументами?
Автор скинутой Вами статьи, сам того не понимая, уводит свои мысли в радикальный конструктивизм и ультрафинитизм (на самом деле неискренне), является умелым жанглёром понятий, при этом строит из себя офигеть какого умного формалиста, считающего себя (почти) единственным во всём мире понявшим истину, а все остальные "...свернули не туда"... Бред (в психиатрическом смысле) и лёгкая мания величия на лицо – или он жирнейший тролль. Я не вижу смысла серьёзно спорить о его статье (у меня в жизни было достаточно споров с непробиваемым контингентом), но ОК – я выделю укрупнённые проблемы с его четырёхзначной логикой и параллельно задам некоторые вопросы на подумать:
1) Люди не просто так требуют формализацию. Попытки перевести такие вещи на человеческую речь никогда ничем хорошим не заканчиваются. Вот Вы говорите, что искомая формализация есть в работе Павлова...
А Вы сами читали эту работу или автору статьи на слово верите? Я вот прочитал – с работой Павлова всё в порядке. Четырёхзначная логика FL4 вещь любопытная (хотя не особо полезная), но представлена только в пропозициональном варианте (0-ой порядок). Так с какого перепугу автор самовольно начинает впихивать в неё кванторы? Где формализация всех новых тавтологий и правил вывода, пришедших с кванторами? А дальнейшие рассуждения о теориях первого порядка (в контексте теорем Гёделя и теории множеств), расширяющих FL4_{firstorderized}, как формализовать – где определение семантизации и используемой для неё метатеории?
2) вообще-то автор и с 0-ым порядком не справился, используя для работы с новыми предикатами непонятно какие интуитивные правила...
3) пример к предикату "абсурдно" некорректен
Почему 2=+ абсурдно? Предикаты задаются на термах, а тут предикат равенства связывает терм и функциональный символ... Такая строка не является предложением теории, а значит оценки истинности не подлежит. Или эти символы не элементарны? Может сокращения из теории множеств? Но тогда 2=+ ложно, ведь слева множество {0, {0}}, а справа ещё одно, но совершенно другое множество (двуместная функция, т. е. множество из упорядоченных множеств ((a, b), c) )
А чем Ваше ^2* отличается? Тут даже ошибочных намёков на предложение нет – просто какая-то странная строка, даже термом не являющаяся
Вам известно что такое well-founded formal language? Автору статьи судя по всему нет. Как итог – подмена понятий и невозможность понять какое предложение в терминах автора абсурдно, а какое бессмысленно (я к тому, что попытка человеческого изложения, если его от ошибок и неточностей избавить, вообще навевает трёхзначную – мб модальную, если поширить кванторы – но никак не FL4 Павлова)
4) Хорошо, "A = B" бессмысленно. Это верно (хотя доказательство в статье неверное...)
Вы понимаете что это формально означает следующее : [["A = B" бессмысленно] выводимо]? Это ведь в классической логике истинность является ВНЕШНИМ понятием, которое внутри заменено на выводимость, что не одно и то же. В исследуемой в статье FL4 с этой точки зрения внешне также есть ТОЛЬКО истинность, но это не та истинность о которой рассуждает автор – он говорит о внутренних ПРЕДИКАТАХ истинности, ложности, абсурдности и бессмысленности
Эта омонимия русских слов из-за того самого рокого отказа от формализации рассуждений приводит к маскировке грубейшей подмены понятий: автор считает внешнюю истинность, выводимость, внутренний предикат истинности и даже общезначимость одним и тем же... Нонсенс
5) Эти проблемы уже делают бессмысленными "опровержения" теорем Гёделя... [Вернее опровержения их странных человечески-речевых доказательств, сошедших со страниц низкокачественного науч-попа (настоящих доказательств теорем Гёделя автор, судя по всему, не читал). Из этого не следуют опровержения самих теорем, но ОК – допустим]
6) теоремы Гёделя касаются не голых логик, а расширяющих их теорий первого порядка с равенством, допускающих интерпретацию арифметики Пеано (есть более общий критерий, кстати). Так как аналог арифметики Пеано, а также семантизация не указаны, то и аналоги теорем Гёделя несформулированы – что тогда пытается опровергнуть автор статьи вообще...
______
7) обсуждать неверность теоремы Кантора, ненужность трансфинитных ординалов, отсутствие проблемы в проблеме остановки – как попытки автора спроецировать свои ультрафинитистские идеи на не соответствующие его идеалам теории – я не хочу – это просто 3,14..., товарищи. Моё мнение об этом в первом абзаце
Вторая проблема Гилберта решена: аксиоматика арифметики, очевидно, противоречива, чему служит явным доказательством корень из мнимой единицы.
Да и с Кантором там интересное на тему сравнения множеств натуральных и действительных, например. Кантор утверждает, что мощность этих множеств неравна, хотя там явная биекция. В общем, я бы не залипал особо во всю эту теоретическую муть, поскольку муть там таки есть.
Пределы Формальных Систем: Теоремы Гёделя о Неполноте и Их Значение для Математики