Comments 6
Почему оценка Чебышева называется грубой, если, строго говоря, учитывая размер приближения/ошибки она просто неверна?
Почему не верна? Например, в этом случае она говорит, что вероятность 2.5%, а на самом деле вероятность меньше 5*10^{-9}. То есть оценка верна, просто в реальности вероятность гораздо меньше.
Эм... Ну т.е. если реальная вероятность меньше 5*10^{-9} а оценка утверждает что 2.5%, то на мой взгляд оценка ошибочна.
Представьте, что Вы едете в поездку и думаете, сколько надо брать денег. Вы рассуждаете так: «на всякий случай возьму с собой 200 долларов на день, чтобы точно хватило». В итоге в поездке вы тратили в день всего 50.
Была ли ваша оценка неверной? Нет — просто она была с запасом, потому что вы перестраховались.
Так же и с неравенством Чебышева: оно не утверждает, что вероятность точно 2,5%, оно говорит, что вероятность не больше 2,5%. Если на практике она составляет, например, 5×10⁻⁹, то условие всё равно выполняется, просто запас очень большой.
Поэтому здесь «грубая оценка» — это не «ошибочная оценка». Ошибка была бы только тогда, если бы реальная вероятность превышала 2,5%.
Неравенство Чебышёва -- верхняя граница для почти любого распределения, лишь бы дисперсия была конечной. А распределения бывают не только гауссовскими, есть и всякие логнормальные, Стьюдента и пр., с гораздо более тяжёлыми хвостами.
Под словом "оценка" в математике обычно (но не всегда) имеют в виду оценку сверху или снизу, т.е. неравенство, а не равенство. Чебышев дает оценку сверху на вероятность, и в данной задаче эта оценка оказалось очень грубой, но все же верной.
Невероятные события: насколько корректен размер выборки?