Всеобъемлющая Теория Матриц / Хабр

Приготовьтесь. Это не просто конспект. Это исчерпывающий путеводитель по миру матриц, созданный с одной целью: сделать эту фундаментальную область высшей математики абсолютно понятной, систематизированной и полной. От самых азов до продвинутых концепций, используемых в науке о данных и квантовой физике.

Пролог: Две Души Матрицы

На первый взгляд, матрица — это просто прямоугольный блок чисел. Таблица. Но это лишь её форма. Истинная её сущность — в действии.

Представьте нотную партитуру. По форме — это просто значки на бумаге. Но по сути — это музыка. Точно так же и матрица: по форме — это таблица чисел, но по сути — это инструкция по преобразованию пространства. Она может поворачивать, растягивать, сжимать и отражать векторы и целые геометрические фигуры.

Матрица — это язык для описания линейных систем и преобразований. Это мощнейший инструмент, который позволяет одним объектом (матрицей) описать сложнейшие взаимосвязи — от перемещения 3D-модели в игре и экономических потоков до эволюции квантовой системы. Изучив этот язык, вы увидите, что матрица — это не то, что она есть, а то, что она делает.

Часть I: Анатомия Матрицы — фундаментальные понятия

1.1. Определение: Что такое Матрица?

Формальное определение: Матрица размера (порядка) $m \times n$ (читается "m на n") — это совокупность $m \cdot n$ элементов $a_{ij}$ , организованных в строк и столбцов, где — номер строки ( $1 \le i \le m$ ), а — номер столбца ( $1 \le j \le n$ ).

$A = A_{m \times n} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$

1.2. Расширенная галерея Матриц: Важнейшие типы

Знание этих "персонажей" абсолютно необходимо.

Тип Матрицы	Описание	Пример
Квадратная	Число строк равно числу столбцов (). Только у них есть определитель и обратная матрица.	$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
Нулевая	Все элементы равны нулю. Аналог числа 0.	$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Диагональная	Квадратная, все недиагональные элементы равны нулю.	$\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Единичная ( или )	Диагональная, все диагональные элементы равны 1. Аналог числа 1. Не меняет векторы при умножении.	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Верхнетреугольная	Квадратная, все элементы под главной диагональю равны нулю.	$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$
Нижнетреугольная	Квадратная, все элементы над главной диагональю равны нулю.	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
Симметричная	Элементы симметричны относительно главной диагонали ( $a_{ij} = a_{ji}$ ). .	$\begin{pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 7 & 5 & -2 \\ 3 & -2 & 9 \end{pmatrix}$
Кососимметричная	$a_{ij} = -a_{ji}$ . Элементы на диагонали всегда равны нулю.	$\begin{pmatrix} 0 & 7 & -3 \\ -7 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$
Ортогональная ()	, то есть $Q^{-1} = Q^T$ . Описывает чистое вращение или отражение. Сохраняет длины и углы.	$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Эрмитова	Комплексный аналог симметричной: . Критически важна в квантовой механике (описывает измеримые величины).	$\begin{pmatrix} 5 & 4+i \\ 4-i & 3 \end{pmatrix}$
Унитарная	Комплексный аналог ортогональной: . Сохраняет длины в комплексном пространстве.	$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}$
Ленточная (Banded)	Ненулевые элементы расположены только на главной диагонали и нескольких соседних. Частный случай — блочно-диагональная.	$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 6 & 7 \end{pmatrix}$
Блочная	Матрица, разбитая на подматрицы ("блоки"). Упрощает операции с большими матрицами.	$\left( \begin{array}{cc\|cc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)$

Часть II: Матрицы в контексте — векторные пространства

Теперь, когда мы знаем, что матрица — это инструкция по преобразованию, давайте посмотрим на мир, в котором она действует.

2.1. Векторные пространства и Базис

Для всех: Векторное пространство — это "игровая площадка" для векторов. В этом пространстве мы можем складывать векторы и умножать их на числа, не выходя за его пределы. Базис — это система координат на этой площадке. Для нашего привычного 3D-пространства базис — это тройка векторов $(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ , направленных по осям X, Y, Z.

Научное определение: Любой вектор в -мерном пространстве можно единственным образом представить как линейную комбинацию базисных векторов.

2.2. Матрица как Линейный оператор

Ключевая идея: Матрица — это не просто таблица. Это инструкция по преобразованию пространства. Умножение матрицы на вектор $A\mathbf{v} = \mathbf{w}$ — это центральное событие. Это и есть тот момент, когда матрица (инструкция) "берет" вектор $\mathbf{v}$ и "превращает" его в вектор $\mathbf{w}$ . Это действие называется линейным оператором, потому что оно сохраняет структуру пространства: прямые линии остаются прямыми, а начало координат остается на месте.

2.3. Ядро и Образ Матрицы

Эти два понятия описывают, как матрица "сжимает" и "проецирует" пространство.

Ядро (Null Space, $\text{ker}(A)$ ):
- Для всех: Это "чёрная дыра" преобразования. Ядро — это набор всех векторов, которые после умножения на матрицу превращаются в нулевой вектор.
- Научное определение: $\text{ker}(A) = \{ \mathbf{v} \ | \ A\mathbf{v} = \mathbf{0} \}$ .
- Зачем нужно? Размерность ядра показывает, сколько "измерений" пространства "схлопывается" в ноль.
Образ (Image / Column Space, $\text{Im}(A)$ ):
- Для всех: Это "зона досягаемости" преобразования. Образ — это всё множество векторов, которые можно получить, подействовав матрицей на все возможные векторы.
- Научное определение: Образ — это линейная оболочка столбцов матрицы . Его размерность равна рангу матрицы.

Фундаментальная Теорема: Для матрицы $m \times n$ :

$\text{rank}(A) + \dim(\text{ker}(A)) = n \quad (\text{Размерность образа} + \text{Размерность ядра} = \text{Число столбцов})$

2.4. Матрица перехода к новому Базису

Для всех: Представьте, что вы и ваш друг описываете положение одного и того же объекта, но ваши системы координат повернуты относительно друг друга. Матрица перехода — это "переводчик", который преобразует координаты из одной системы в другую.

Научное определение: Если оператору в старом базисе соответствовала матрица , то в новом базисе ему будет соответствовать матрица $A' = P^{-1}AP$ , где — матрица перехода. Матрицы и называются подобными. Они описывают одно и то же действие, но с разных "точек зрения".

Часть III: Арифметика и базовые операции

3.1. Сложение, вычитание и умножение на число

Эти операции интуитивны. Они возможны только для матриц одинакового размера и производятся поэлементно.

$A \pm B = \begin{pmatrix} a_{ij} \pm b_{ij} \end{pmatrix} \quad \quad k \cdot A = \begin{pmatrix} k \cdot a_{ij} \end{pmatrix}$

3.2. Умножение Матриц — главная операция

Для всех: Это не поэлементное умножение! Это композиция преобразований. Умножить $A \cdot B$ — значит сначала применить преобразование , а затем к результату применить преобразование . Правило "строка на столбец" — это просто алгоритм для вычисления итогового, объединенного преобразования.

Научное определение: Произведение матрицы размера $m \times n$ на матрицу размера $n \times k$ есть матрица размера $m \times k$ .
Условие: Число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй.

Элемент $c_{ij}$ в итоговой матрице вычисляется по формуле "строка на столбец":

$c_{ij} = \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{sj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}$

Пример:

$A_{2 \times 3} \cdot B_{{3} \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} =$ $= \begin{pmatrix}(1\cdot7 + 2\cdot9 + 3\cdot2) & (1\cdot8 + 2\cdot1 + 3\cdot3) \\(4\cdot7 + 5\cdot9 + 6\cdot2) & (4\cdot8 + 5\cdot1 + 6\cdot3)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}31 & 19 \\85 & 55\end{pmatrix}$

Ключевые свойства умножения:

Ассоциативность: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
Дистрибутивность: $A \cdot (B+C) = A \cdot B + A \cdot C$
НЕКОММУТАТИВНОСТЬ: В общем случае, $A \cdot B \neq B \cdot A$ . Порядок важен! (Повернуть, а потом растянуть — не то же самое, что растянуть, а потом повернуть).

3.2.1. Поэлементное умножение (Произведение Адамара)

Существует и более простой вид умножения, который применяется в специфических задачах (например, в машинном обучении и обработке изображений).

Определение: Произведение Адамара $A \circ B$ — это поэлементное умножение матриц одинакового размера.

$C = A \circ B \implies c_{ij} = a_{ij} \cdot b_{ij}$

3.3. Транспонирование Матрицы

— матрица, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Для всех: Мы просто "переворачиваем" матрицу по диагонали, меняя строки и столбцы местами.

Свойства:

$(k \cdot A)^T = k \cdot A^T$
$(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$ (Порядок меняется!)

3.4. След Матрицы (Trace)

Определение: След $\text{tr}(A)$ — это просто сумма элементов на главной диагонали квадратной матрицы.

$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$

Зачем он нужен? Несмотря на простоту, след — глубокая характеристика.

Циклическое свойство: $\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BCA) = \text{tr}(CAB)$ .
Инвариантность: След не меняется при смене базиса ( $\text{tr}(A) = \text{tr}(P^{-1}AP)$ ).
Связь с собственными значениями: След равен сумме всех собственных значений матрицы.

Часть IV: Определитель — раскрытие характера Матрицы, её душа

Определитель (детерминант) $\det(A)$ или — это уникальное число, которое можно вычислить для любой квадратной матрицы.

Для всех: Это её "генетический код". Геометрически определитель — это коэффициент изменения объема при преобразовании, которое задает матрица. Если $\det(A) = 2$ , пространство растягивается в 2 раза. Если $\det(A) = 0$ , пространство "схлопывается" в меньшую размерность (например, 3D-мир превращается в плоскость) — такая матрица называется вырожденной.

4.1. Ключевые понятия: Минор, Алгебраическое дополнение и Кофактор

Прежде чем вычислять определители, нужно освоить их "строительные блоки".

4.1.1. Минор

С этим термином часто возникает путаница, поэтому разложим всё по полочкам.

Минор k-го порядка (общее понятие): Это определитель квадратной подматрицы порядка , которую можно "вырезать" из любой (даже прямоугольной) матрицы, выбрав строк и столбцов.
- Пример: Для матрицы $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ минором 2-го порядка будет, например, определитель, полученный выбором 1-го и 3-го столбцов: $M = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 6 - 12 = -6$ .
Минор элемента $a_{ij}$ (самый частый случай): Это частный случай, применяемый к квадратным матрицам. Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ называется определитель матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания -й строки и -го столбца.
- Пример: Для матрицы $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ , найдем минор $M_{23}$ элемента $a_{23}=6$ . Вычеркиваем 2-ю строку и 3-й столбец:

4.1.2. Алгебраическое дополнение и Кофактор

Эти два термина — абсолютные синонимы.

Кофактор (алгебраическое дополнение) — это знаковое числовое значение, связанное с определённым элементом в квадратной матрице. По сути, это минор элемента, взятый со знаком «+» или «-» в зависимости от его позиции.

Формула для расчёта кофактора элемента (расположенного в i-й строке и j-м столбце) имеет вид:

$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

$C_{ij}$ — кофактор элемента;
— сумма позиций строки и столбца;
$M_{ij}$ — минор элемента.

Простое правило: Если сумма индексов четная, то $C_{ij} = M_{ij}$ . Если нечетная, то $C_{ij} = -M_{ij}$ . Это создает на матрице знаковую "шахматную доску": $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$ .

Пример: Вернемся к нашему минору $M_{23} = -6$ . Сумма индексов (нечетная). Значит, его кофактор будет:
$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = (-1) \cdot (-6) = 6$

Кофактор матрицы (или матрица алгебраических дополнений) — это матрица, полученная путём замены каждого элемента исходной матрицы его кофактором.

4.2. Методы вычисления определителя

Размер	Метод	Формула
$2 \times 2$	Крест-накрест	$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
$3 \times 3$	Правило Саррюса (треугольников)	$\det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + \dots) - (a_{13}a_{22}a_{31} + \dots)$
$n \times n$	Разложение по строке/столбцу (Теорема Лапласа)	$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}$ (разложение по -й строке)

4.3. Свойства Определителя

Главное Свойство: $\det(A) \neq 0 \iff$ матрица невырождена (обратима).
$\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$ .
Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
Если к одной строке/столбцу прибавить другую, умноженную на число, определитель не изменится.

Часть V: Ранг и Системы Линейных Уравнений (СЛУ)

5.1. Ранг Матрицы

Обозначение: $\text{rang}(A)$ , $\text{r}(A)$ , $\text{rg}(A)$ , $\text{rk}(A)$ , $\text{rank}(A)$

Для всех: Ранг — это "истинный размер" или "степень свободы" матрицы. Он показывает, сколько в матрице по-настоящему независимой информации, или, другими словами, сколько в ней "уникальных" строк/столбцов.

Научное определение 1: Ранг — это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Научное определение 2 (через миноры): Ранг матрицы — это наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Это определение дает практический алгоритм.

Алгоритм нахождения ранга через миноры:

Определяем максимальный возможный ранг (он не может быть больше числа строк или столбцов).
Начинаем проверку "сверху вниз": ищем ненулевой минор максимального возможного порядка.
Если нашли хотя бы ОДИН ненулевой минор этого порядка — его порядок и есть ранг.
Если ВСЕ миноры этого порядка равны нулю, переходим на порядок ниже и повторяем поиск.

Пример: Найдем ранг матрицы $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ .
1. Максимальный ранг - 3. Проверяем минор 3-го порядка (определитель матрицы). $\det(D) = 0$ . Значит, ранг < 3.
2. Спускаемся ниже. Ищем ненулевой минор 2-го порядка.
  - $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0$ . Не подходит.
  - $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 10 - 3 = 7$ . Нашли!
3. Поскольку мы нашли ненулевой минор 2-го порядка, а все миноры 3-го порядка равны нулю, ранг матрицы равен 2.

Базисный минор — это любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

5.2. Решение СЛУ и Теорема Кронекера-Капелли

$A \cdot X = B$ — запись СЛУ в матричной форме, где — матрица системы, — столбец неизвестных, а — столбец свободных членов.

Метод	Описание	Когда применять
Метод Крамера	Решение через определители: $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ .	Только для квадратных систем малого размера (2x2, 3x3), когда $\det(A) \neq 0$ . Теоретически важен, на практике неэффективен.
Матричный метод	Решение через обратную матрицу: $X = A^{-1} \cdot B$ .	Аналогично методу Крамера. Требует вычисления обратной матрицы.
Метод Гаусса	Король методов. Приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду.	Универсален. Работает для любых систем (прямоугольных, вырожденных). Дает полную информацию о системе: имеет ли она решения, сколько их, и находит их все.

Теорема Кронекера-Капелли (фундамент СЛУ):
Система $A \cdot X = B$ совместна (имеет хотя бы одно решение) $\iff \text{rank}(A) = \text{rank}([A|B])$ .

5.3. Структура Решений СЛУ

Это важно! Понимание структуры ответа не менее важно, чем его нахождение.

Однородная система ( $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ): Множество ее решений — это ядро матрицы . Если есть ненулевые решения, их можно выразить через фундаментальную систему решений (ФСР) — базис этого ядра.
Неоднородная система ( $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ):
$X_{\text{общее}} = X_{\text{частное}} + X_{\text{однородное}}$
Для всех: Любое решение сложной задачи ( $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ) можно представить как одно какое-нибудь конкретное решение этой задачи ( $X_{\text{частное}}$ ) плюс все возможные решения "упрощенной" задачи, где правая часть равна нулю ( $X_{\text{однородное}}$ ).

Часть VI: Обратная матрица — операция "Отмена"

6.1. Определение и Существование

$A^{-1}$ — обратная для , если $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E$ . Существует $\iff \det(A) \neq 0$ .

Для всех: Если матрица совершает некое действие (например, поворачивает и растягивает объект), то обратная матрица $A^{-1}$ совершает обратное действие (поворачивает назад и сжимает), возвращая объект в исходное состояние.

Научное определение: $A^{-1}$ — обратная для , если $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E$ .

Условие существования: Матрица $A^{-1}$ существует $\iff \det(A) \neq 0$ .

6.2. Классический метод: через Союзную матрицу

Формула:

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*$

где — союзная (присоединенная) матрица. Она равна транспонированной матрице кофакторов (алгебраических дополнений) ().

Алгоритм:

Найти $\det(A)$ . Если он 0, остановиться — обратной матрицы ��е существует.
Построить матрицу из алгебраических дополнений $C_{ij}$ для каждого элемента $a_{ij}$ .
Транспонировать эту матрицу , чтобы получить .
Разделить каждый элемент на $\det(A)$ .

6.3. Метод Гаусса-Жордана: Объяснение для «Чайников»

Это самый мощный и универсальный практический способ.

Мы строим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований строк приводим ее к виду $(E|A^{-1})$ .

Представьте, что у вас есть сейф (это ваша исходная матрица A) и универсальный ключ (это единичная матрица E). Ваша задача — превратить сейф в точную копию универсального ключа, используя определенный набор инструментов (это и есть элементарные преобразования). Самое интересное, что все манипуляции, которые вы проделываете с сейфом, вы одновременно и точно так же проделываете с заготовкой для ключа, которая лежит рядом. Когда сейф наконец станет точной копией универсального ключа, ваша заготовка превратится в уникальный ключ, который может открыть именно этот сейф. Этот уникальный ключ и есть обратная матрица A⁻¹.

Шаг 1: Подготовка к работе

Возьмите вашу квадратную матрицу A (убедитесь, что $\det(A) \neq 0$ ).
Припишите к ней справа единичную матрицу E того же размера. У вас получится одна большая "расширенная" матрица, разделенная вертикальной чертой для удобства: (A | E).

Пример для матрицы 3x3:

     A     |    E
( 1  2  3  | 1  0  0 )
( 4  5  6  | 0  1  0 )
( 7  8  10 | 0  0  1 )

Шаг 2: Инструменты (Элементарные преобразования строк)

У вас есть всего три разрешенных действия, которые можно применять к строкам вашей большой матрицы. Любое действие применяется ко всей строке целиком, затрагивая обе части.

Умножение или деление строки на любое ненулевое число.
Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число.
Перестановка двух строк местами.

Шаг 3: Процесс (Прямой и обратный ход метода Гаусса)

Ваша цель — методично, столбец за столбцом, превратить левую часть (A) в единичную матрицу (E).

Работаем с первым столбцом.
- Сделайте так, чтобы в левом верхнем углу (элемент a₁₁) стояла единица.
- Теперь, используя первую строку, "обнулите" все остальные элементы в первом столбце под ней.
Работаем со вторым столбцом.
- Переходите ко второму элементу на главной диагонали (a₂₂). Сделайте его равным единице.
- Используя обновленную вторую строку, обнулите все остальные элементы во втором столбце (над и под главной диагональю).
Повторяйте для всех столбцов, пока в левой части не получите единичную матрицу.

Шаг 4: Результат

Как только в левой части вашей большой матрицы окажется единичная матрица (E), процесс завершен. Матрица, которая оказалась на месте единичной (в правой части), и есть ваша искомая обратная матрица (A⁻¹).

(E | A⁻¹)

Важное правило: Нельзя смешивать преобразования строк и столбц��в в одном процессе. Выберите один способ — либо строки, либо столбцы — и используйте только его от начала и до конца. Для большинства метод строк более интуитивен.

6.4. Свойства Обратной Матрицы

$(A^{-1})^{-1} = A$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (Порядок меняется!)
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

Часть VII: Собственные Значения и Векторы — ДНК Матрицы

7.1. Концепция

Для всех: Представьте, что матрица — это преобразование (поворот, сжатие, растяжение). Почти все векторы при этом меняют свое направление. Но существуют особенные, "непоколебимые" векторы, которые после преобразования не меняют своего направления, а лишь растягиваются или сжимаются. Это собственные векторы. Коэффициент их растяжения/сжатия — это собственное значение ( $\lambda$ ). Они определяют "оси" преобразования, его внутреннюю структуру.

Научное определение: Ненулевой вектор $\mathbf{v}$ и число $\lambda$ называются собственным вектором и собственным значением матрицы , если:

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$

Это уравнение — краеугольный камень множества областей физики и инженерии.

7.2. Нахождение

Для их нахождения решается характеристическое уравнение.

Составить характеристическое уравнение:

$\det(A - \lambda E) = 0$

Найти собственные значения: Решить это уравнение относительно $\lambda$ . Корни $\lambda_1, \lambda_2, \dots$ и будут собственными значениями.
Найти собственные векторы: Для каждого $\lambda_i$ решить систему линейных однородных уравнений $(A - \lambda_i E)\mathbf{v} = 0$ . Ненулевые решения $\mathbf{v}$ и будут собственными векторами.

7.3. Свойства собственных значений и Векторов

Сумма собственных значений: $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \text{tr}(A)$
Произведение собственных значений: $\prod_{i=1}^{n} \lambda_i = \det(A)$
Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, всегда линейно независимы.

7.4. Диагонализация Матрицы

Для всех: Диагонализация — это смена системы координат на такую, в которой осями служат собственные векторы. В этой новой "удобной" системе координат сложное преобразование превращается в простое поэлементное растяжение вдоль осей.

Научное определение: Матрица диагонализуема, если она подобна диагональной матрице : $A = PDP^{-1}$ .

$A = PDP^{-1}$

— диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные значения $\lambda_i$ .
— матрица, столбцами которой являются соответствующие собственные векторы.

Условие: Матрица $n \times n$ диагонализуема, если у нее есть линейно независимых собственных векторов.

Зачем это нужно? Для быстрого возведения в степень:
$A^k = (PDP^{-1})^k = PD^kP^{-1}$ . Вычислить — это просто возвести в степень диагональные элементы.

7.5. Теорема Гамильтона-Кэли и Жорданова Форма

Теорема Гамильтона-Кэли: Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Жорданова Нормальная Форма: Что делать, если матрица не диагонализуема (не хватает собственных векторов)? Ее всегда можно привести к "почти диагональному" виду — Жордановой форме, состоящей из "жордановых клеток". Это канонический вид для любого линейного оператора.

Часть VIII: Продвинутые темы — Высший пилотаж

В этом разделе мы выйдем за рамки базовых операций и рассмотрим концепции, которые делают линейную алгебру невероятно мощным инструментом в науке о данных, инженерии, физике и вычислительной математике.

8.1. Матричные Разложения (Декомпозиции)

Представление сложной матрицы как произведения более простых.

LU-разложение (): Произведение нижней и верхней треугольных матриц. Ускоряет решение СЛУ.
QR-разложение (): Произведение ортогональной () и верхней треугольной () матриц. Численно устойчивый, основа для поиска собственных значений.
Сингулярное разложение (SVD, $A=U\Sigma V^T$ ): Король разложений, применимый к любой матрице. — ортогональные (вращения), $\Sigma$ — диагональная (масштабирование). Основа PCA, систем рекомендаций, сжатия данных.

8.2. Квадратичные формы и Функции от матриц

Квадратичные формы: Функции вида $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ . Описывают эллипсы, гиперболы. Диагонализация матрицы позволяет найти главные оси этих фигур.
Матричная Экспонента: $e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \dots$ . Ключ к решению систем линейных дифференциальных уравнений $\mathbf{y}'(t) = A \mathbf{y}(t)$ , описывающих эволюцию систем во времени.

8.3. Матрицы в Компьютере: Численные Методы

Число обусловленности: Показатель численной "чувствительности" матрицы. Если оно велико, матрица плохо обусловлена, и малые ошибки во входных данных могут привести к огромным ошибкам в результате.
Плотные и Разреженные матрицы: Это не тип, а важное свойство. В плотных матрицах большинство элементов ненулевые. В разреженных — наоборот, большинство нули. Это критически важно, так как для гигантских разреженных матриц (возникающих в физике, нейросетях) существуют специальные, сверхэффективные методы хранения и вычислений.
Прямые и Итерационные методы решения СЛУ:
- Прямые (Гаусс, LU): Находят точное решение за конечное число шагов.
- Итерационные (Якоби, Гаусса-Зейделя): Строят последовательность приближений. Незаменимы для огромных разреженных систем.

Часть IX: Заглядывая за Горизонт — Тензоры

Если вектор — это 1D-массив чисел (линия), а матрица — 2D-массив (прямоугольник), то что дальше?

Тензор — это n-мерное обобщение этих понятий. Его можно представить как многомерный куб чисел.

В программировании и ML (Computer Vision): Под тензором часто понимают именно многомерный массив. Например, цветное изображение — это 3D-тензор (высота × ширина × 3 цветовых канала). Пакет из нескольких изображений — 4D-тензор.
В физике и математике: Определение глубже. Тензор — это не просто массив, а геометрический объект, который имеет специальные правила преобразования своих компонент при смене системы координат (базиса).

Тензоры — это язык общей теории относительности (тензор кривизны пространства-времени), механики сплошных сред (тензор напряжений) и многих других продвинутых областей. Изучение матриц — это первый и самый важный шаг на пути к их пониманию.

Эпилог: Матрицы Правят Миром

От 3D-графики в вашем телефоне, которая поворачивает модели с помощью матриц умножения, и алгоритмов крупных компаний, использующих гигантские матрицы для ранжирования страниц, до квантовой механики, где состояния систем описываются векторами, а их эволюция — матрицами, — эти математические объекты являются невидимым фундаментом современного технологического мира.

Вы изучили кодекс. Теперь вы вооружены знанием, чтобы понимать и изменять этот мир. Удачи!