Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 32
Всегда было интересно, а трехмерные матрицы (N строк, M столбцов и K слоев) как-то применяются? И в общем случае N-мерные?
При обучении нейронок. В частности, в компьютерном зрении. Там 4-мерные матрицы: есть B картинок, в каждой из которых C "цветовых" каналов, и каждый из которых представляет собой матрицу размера H*W
Ну это просто многомерные массивы, такое в программировании на каждом шагу встречается.
Мне интересно, есть ли для многомерных матриц какая-то специальная математика. То же вычисление определителя, например:) Да даже как там определить единичную матрицу - так сразу в голову не приходит.
Да, есть, тензоры ранга (p+q) > 2, по сути, они и представляют собой многомерные матрицы, за ml не шарю, но там тензорами называются вроде бы попросту многомерные массивы, в математике это не так всё же, в конкретной системе координат - да, тем не менее сам по себе тензор это абстрактное нечто, совпадающее по структуре с полилинейной формой, если это о чем-то говорит, конечно... А что касается специальной математики для них, она тоже есть, тензорная алгебра, ещё тензорный анализ (это уже про тензорные функции)
Инварианты физических тензоров отнюдь не являются абстрактными величинами, а сами компоненты - да, зависят от системы координат, и взаимосвязаны между собой определенным образом
Спасибо за очень важное уточнение по поводу тензоров! Вы абсолютно правы, что есть разница между их строгим определением в математике и более прикладным в ML. Я постарался аккуратно отразить этот нюанс в новой главе IX
Спасибо, что привели такой отличный пример из компьютерного зрения! Это прекрасно иллюстрирует, как тензоры применяются в современном ML. Сослался на этот контекст в новой главе про тензоры, чтобы показать их практическую значимость.
О чем рассказывается в заметке, и, вероятно, о чем Вы спрашиваете - взгляд на матрицы как на форму записи линейных отображений одного векторного пространства в другое. Элементы этой записи - строки, столбцы, индексы - происходят из этих самых векторных пространств, из которого и в которое. Соответственно, трехмерные матрицы могут возникать тогда, когда отображаемое пространство имеет структуру тензорного произведения двух каких-то других.
Тензоры ранга n - это как раз n-мерные массивы чисел со специальными правилами их преобразования при смене базиса. Широко применяются в физике: например, тензор упругих постоянных материала в общем случае имеет ранг 4 (он связывает тензор деформации и тензор напряжение, которые имеют ранг 2 - обобщённый закон Гука, фактически), тензор кривизны Римана тоже имеет ранг 4 (он применяется в общей теории относительности). Тензор Леви-Чивиты имеет ранг 3 (с помощью него иногда удобно записать стандартное векторное произведение).
Огромное спасибо за Ваш вопрос о многомерных матрицах! Он оказался настолько важным и интересным, что я, вдохновившись им и всей последующей дискуссией, добавил в статью новую главу — "Часть IX: Заглядывая за Горизонт — Тензоры"
В разделе 5.2 в таблице матрица "порвалась". Поэлементное умножение матриц тоже существует и называется "произведение Адамара", в 2D-графике активно применяется.
Спасибо Вам за отличное замечание! Таблицу я поправил, а главное — добавил раздел 3.2.1 про произведение Адамара. Совершенно зря я его упустил, ведь на практике оно очень полезно
Постить в комментариях ответы от чат-жпт и иже с ним - плохая идея. Этого никто не любит. Раз может и прокатит. Два - сольют вам карму глубоко в минус. Потому это выражение крайнего неуважения.
Каждый раз прикалывают такие комментарии, как Вы написали сейчас. Ответил немного формально и вежливо — использовал ИИ. Прекрасная мысль конечно, но увы это не так
Вежливость походу больше никому не нужна, как бы прискорбно это не звучало
Приторная вежливость действительно никому не нужна. Формальные комментарии ради самих комментариев тоже. "Отличное замечание", "прекрасный вопрос", "вы абсолютно правы" и прочие штампы от ИИ звучит не как вежливость, а как оценивание меня со стороны и грубая лесть. Я разве в суде чтобы кто-то решал, прав я или нет? Я разве в школе на уроке чтобы кто-то решал, насколько мои вопросы адекватные? Не знаю как других, а меня прям раздражает.
А быть вежливым на хабре просто - просто ставьте плюсик под комментарием, которые оказался полезным, и всё.
Ваша мысль о том, что вежливость стала похожа на ответ нейросети, на самом деле очень глубокая. В попытках быть максимально корректными и никого не обидеть, мы сами — человечество — выработали язык, который теперь кажется "машинным". ИИ просто довел этот формализм до того, что это стало для некоторых абсурдом.
Вы сражаетесь не с моей "приторной вежливостью", а с призраком формализованного человеческого общения, который ИИ сделал видимым для всех.
А что до суда и школы... Мне кажется, любое публичное высказывание (вроде Вашего изначального комментария или моего ответа) — это уже некая форма "выступления". Вы выступили с критикой, я — с благодарностью и исправлением. Это не оценка, а обычный рабочий процесс в сообществе, где люди делятся знаниями. Иначе любая дискуссия превратится либо в молчаливое нажимание плюсиков, либо в базар.
Тема вашей статьи совсем не дискуссионная, дискутировать тут не о чем. А в настоящей дискуссии цель прямо обратная - причинить собеседнику дискомфорт, попутно отстаивая свою точку зрения. Но делать это не грубо и прямолинейно - а тонко, изящно и филигранно. Это как фехтование на шпагах. В этом и интерес, и удовольствие - выяснять, кто круче. У мужчин это в днк. А если в дискуссии и звучит "извините" - то в контексте, намекающим на "извините, что вы идиот", а вовсе не "извините я был неправ". Если в каких-то дискуссиях я действительно оказываюсь неправ (а такое случалось не раз и не два), то а) дискуссия тут же прекращается и б) я извиняюсь перед человеком в личной переписке и по-человечески, без каких-либо шаблонных фраз. И в подавляющем большинстве случаев в результате у меня с этими людьми формируются более близкие отношения, а дальнейшее общение продолжается на принципиально другом уровне. Читали "3 мушкетёра"?
P. S. А использование жпт тут не скрыть, ну сорян. Потому что никто нигде и никогда ни на каком форуме или лив-журнале так не общался даже близко, и уж тем более не выделял жирным шрифтом отдельные фразы через каждые три слова.
Я понял Вашу мысль, книгу данную увы не приходилось читать, Вас задевать я не планировал и вызывать дискомфорт тоже. Книгу данную не читал, фильмы смотрел. По поводу того что статья дискуссионная или нет, мы про это не обсуждали в комментариях, не понимаю что Вы хотели сказать своими словами 🤷♂️
По поводу выделений жирным шрифтом, в тот момент просто копировал из статьи название параграфа и не задумался убрать выделение, как и в других ответах
Каждый человек вправе отвечать так, как он хочет этого, формально или неформально, шаблонно или не шаблонно. Я привык в интернете отвечать вежливо и формально, за редким исключением
PS: Не привык проводить такие дискуссии в комментариях на форумах, абсолютно не моя сильная сторона, легче тет-а-тет в ЛС
Я бы еще выделил следующие крайне практически значимые виды матриц: эрмитова и блочно-диагональная (на аглицком сие названо banded то есть "полосчатая") - без первой нет квантовой механики, вторая непременно появляется при решении систем ОДУ и уравнений в частных производных. Кроме того есть не менее значимая классификация: плотные и разреженные. В вычислительном смысле это два мира.
А можно я перепишу пару глав из учебника и это будет статьёй на Хабр? /s
А вот там где учебник заканчивается и начинаются рассуждения автора, гм...
"Собственные значения и векторы — ДНК матрицы 6.1. Концепция
Для всех: Представьте, что матрица — это преобразование (поворот, сжатие, растяжение).
Матрица - это таблица! Как она может быть преобразованием?
Почти все векторы при этом меняют свое направление.
При "том" это при чём? Откуда взялись векторы? Векторы это ну там.. скорость, сила... магнитное поле...
Но существуют особенные, "непоколебимые" векторы, которые после преобразования не меняют своего направления, а лишь растягиваются или сжимаются. Это собственные векторы. Коэффициент их растяжения/сжатия — это собственное значение (
).
Непонятно ничего.
О! Понятие "собственного вектора" было введено далее. Приведено определение - и... что? Почему это важно?
Это уравнение — краеугольный камень множества областей физики и инженерии.
Ну нет. Уравнение Лапласа краеугольный камень. Еще закон обратных квадратов. Квадратное уравнение тоже весчь. /i
Я конечно э.. блондинюсь, но популярная статья должна быть понятна тем кто не специалист, а те кто и так всё знают - им статья не нужна.
Учебник, собственные рассуждения и самое главное – гпт))
Огромное спасибо за развернутый и критически важный отзыв. Вы указали на самую главную слабину первоначальной версии — неуклюжий переход от "таблицы" к "преобразованию". Ваш комментарий стал причиной, по которой я полностью переписал Пролог, введя идею о "двух душах матрицы". Надеюсь, теперь статья читается гораздо логичнее. Спасибо, что помогли сделать её понятнее!!
Для всех: Это её "генетический код". Если он равен нулю, матрица "больна" — она вырождена. Геометрически определитель — это коэффициент изменения площади (для 2D), объема (для 3D) или гиперобъема при преобразовании, которое задает матрица.
Вы же перепечатали статью из учебника или конспекта? А хорошо вчитывались?
Потому, что если излагать "всеобъемлюще и последовательно" - то и начинать надо с того, что матрица - это линейное преобразование (квадратная матрица - преобразование в себя), произведение - композиция 2х преобразований, нахождение обратной - преобразование ^-1^ , решение линейного уравнения - обращение преобразования вектора; А X A^-1^ ....
А если начали со "шпаргалки" - то в последовательном изложении и вовсе этого не упоминать, дабы умы школьников подглядывающих в шпаргалку не смущать.
Спасибо за конструктивную критику! Вы попали в самую точку, указав на необходимость выстроить повествование вокруг одной главной идеи. Ваш комментарий убедил меня, что нужно с самого начала заявить, что матрица — это линейное преобразование. Я переработал введение и всю структуру статьи, отталкиваясь от этой концепции. Надеюсь, в финальной версии это читается хорошо)
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Всеобъемлющая Теория Матриц