Comments 15
Всегда было интересно, а трехмерные матрицы (N строк, M столбцов и K слоев) как-то применяются? И в общем случае N-мерные?
При обучении нейронок. В частности, в компьютерном зрении. Там 4-мерные матрицы: есть B картинок, в каждой из которых C "цветовых" каналов, и каждый из которых представляет собой матрицу размера H*W
Ну это просто многомерные массивы, такое в программировании на каждом шагу встречается.
Мне интересно, есть ли для многомерных матриц какая-то специальная математика. То же вычисление определителя, например:) Да даже как там определить единичную матрицу - так сразу в голову не приходит.
Да, есть, тензоры ранга (p+q) > 2, по сути, они и представляют собой многомерные матрицы, за ml не шарю, но там тензорами называются вроде бы попросту многомерные массивы, в математике это не так всё же, в конкретной системе координат - да, тем не менее сам по себе тензор это абстрактное нечто, совпадающее по структуре с полилинейной формой, если это о чем-то говорит, конечно... А что касается специальной математики для них, она тоже есть, тензорная алгебра, ещё тензорный анализ (это уже про тензорные функции)
О чем рассказывается в заметке, и, вероятно, о чем Вы спрашиваете - взгляд на матрицы как на форму записи линейных отображений одного векторного пространства в другое. Элементы этой записи - строки, столбцы, индексы - происходят из этих самых векторных пространств, из которого и в которое. Соответственно, трехмерные матрицы могут возникать тогда, когда отображаемое пространство имеет структуру тензорного произведения двух каких-то других.
Тензоры ранга n - это как раз n-мерные массивы чисел со специальными правилами их преобразования при смене базиса. Широко применяются в физике: например, тензор упругих постоянных материала в общем случае имеет ранг 4 (он связывает тензор деформации и тензор напряжение, которые имеют ранг 2 - обобщённый закон Гука, фактически), тензор кривизны Римана тоже имеет ранг 4 (он применяется в общей теории относительности). Тензор Леви-Чивиты имеет ранг 3 (с помощью него иногда удобно записать стандартное векторное произведение).
В разделе 5.2 в таблице матрица "порвалась". Поэлементное умножение матриц тоже существует и называется "произведение Адамара", в 2D-графике активно применяется.
Я бы еще выделил следующие крайне практически значимые виды матриц: эрмитова и блочно-диагональная (на аглицком сие названо banded то есть "полосчатая") - без первой нет квантовой механики, вторая непременно появляется при решении систем ОДУ и уравнений в частных производных. Кроме того есть не менее значимая классификация: плотные и разреженные. В вычислительном смысле это два мира.
А можно я перепишу пару глав из учебника и это будет статьёй на Хабр? /s
А вот там где учебник заканчивается и начинаются рассуждения автора, гм...
"Собственные значения и векторы — ДНК матрицы 6.1. Концепция
Для всех: Представьте, что матрица — это преобразование (поворот, сжатие, растяжение).
Матрица - это таблица! Как она может быть преобразованием?
Почти все векторы при этом меняют свое направление.
При "том" это при чём? Откуда взялись векторы? Векторы это ну там.. скорость, сила... магнитное поле...
Но существуют особенные, "непоколебимые" векторы, которые после преобразования не меняют своего направления, а лишь растягиваются или сжимаются. Это собственные векторы. Коэффициент их растяжения/сжатия — это собственное значение (
).
Непонятно ничего.
О! Понятие "собственного вектора" было введено далее. Приведено определение - и... что? Почему это важно?
Это уравнение — краеугольный камень множества областей физики и инженерии.
Ну нет. Уравнение Лапласа краеугольный камень. Еще закон обратных квадратов. Квадратное уравнение тоже весчь. /i
Я конечно э.. блондинюсь, но популярная статья должна быть понятна тем кто не специалист, а те кто и так всё знают - им статья не нужна.
Для всех: Это её "генетический код". Если он равен нулю, матрица "больна" — она вырождена. Геометрически определитель — это коэффициент изменения площади (для 2D), объема (для 3D) или гиперобъема при преобразовании, которое задает матрица.
Вы же перепечатали статью из учебника или конспекта? А хорошо вчитывались?
Потому, что если излагать "всеобъемлюще и последовательно" - то и начинать надо с того, что матрица - это линейное преобразование (квадратная матрица - преобразование в себя), произведение - композиция 2х преобразований, нахождение обратной - преобразование ^-1^ , решение линейного уравнения - обращение преобразования вектора; А X A^-1^ ....
А если начали со "шпаргалки" - то в последовательном изложении и вовсе этого не упоминать, дабы умы школьников подглядывающих в шпаргалку не смущать.
Всеобъемлющая Теория Матриц