Comments 23
У вас же нет ни одной формулы нормально отрендереной. Или это статья уже не для людей, а для ИИ?
спасибо интересно, из кватерниона можно получить матрицу (там большая формула)(по памяти пишу вроде 3х3 или 4х4 ) и тут можно через этот мостик захватить по этой теме двойные кватернионы тоже, кватернионы можно встретить в блендере в консольке если лень писать разбираться с нуля(двойные кватернионы советуют на первых парах в скелетной анимации 3д dqs оптимизация типо, в теории можно камеру сделать на двойном или простом-я тестил только на простом, двойной пока только тестил скорость)
Тут нюанс, я рассмотрел прием в применении к плоскости. А для 3D, на сколько я понимаю, ничего подобного вообще никто не создавал. В классике да, кватернионами удобно работать в смысле поворотов, двойные кватернионы по идее должны дать двойной объект с раздельными вращениями. Не изучал, не могу особо ничего сказать.
у плоскости есть точка(опорой может быть либо угол либо центр или любая другая относительная точка), и предположительно 4 или 6 вершин, допустим центр это позиция, и к центру применяем трансформации, на низких уровнях мы отправляем базовые функции(поворот, перемещение, масштаб) в 3д или 2д в вектора, и там по итогу этих трёх операций в её форме получаем итоговую матрицу(этого обьекта где в шейдере произойдёт этот пайплайн применимый ко всем вершинам и произойдёт трасформация в кратце ) на этом пайплайне проще понять роль поворотной матрицы или кватерниона или двойного кватерниона
тоесть для всего комплекса(это математика тоже и при добавлении некоторых переменных и физика) нам придётся определить (праворукая/леворукая) систему, определить перспективную матрицу(в идеале 2 штуки орто и 3д), видовую матрицу, и тогда обьект представленный вершинами, имеющий матрицу будет управляться собственной матрицей, соотв сколько матриц столько и обьектов, вид это камера условно, перспектива(ортогональная 2д в 3д, или 3д в 3д) пирамида или усеченная пирамида или паралельный перенос в ортогональном виде это уи или 2д
Произвольная матрица и её числа.
Если матрица произвольная, то почему оно только для 2х2? Хоть бы за вектора сначала упомянули.
Матрица Грамма также раскладывается
А зачем она раскладывается и какое это имеет отношение к остальной части статьи?
Построение правого и левого пространств матриц.
снова - зачем мы это делаем и какое это имеет отношение к остальной части?
Со сложением мы разобрались,
сложением чего с чем? вектор с вектором? параллелограм с параллеограммом? или просто двух вещественных чисел? У вас до этого абзаца про сложение буквально 0 упоминаний.
В общем, зная, что был за объект и что за объект получили, однозначно воссоздаём, каким способом мы это сделали.
а зачем нам знать процесс трансформации, когда казалось бы нас обычно интересуют состояния объекта и как перейти к следующему. Или из этого как-то следует гарантия, что некоторая 
? Кажется, что поворот повороту рознь и способ для каждого из переходов будет отличаться некоторым набором коэффициентов.
Как-то с пропущенной лирикой вы пропустили половину логических связей между кусками статьи.
Отдельно стоит отметить некоторое количество опечаток. Ну и нумерация, которая у вас зачем-то в скобках по итогу никак не упоминается при воспоминании о "подкате".
"Произвольная матрица и её числа. " Матрица размера 2х2 в алгебре Клиффорда сопоставлена 1-векторам (обычным декартовым), 2-векторам (бивекторам), кватернионам. Поищите поиском, на Хабре по тегам к статье много всего найдется. В статье рассмотрен подход для обобщения на вообще все вещественные матрицы через sxyz разложение.
Матрица Грамма также раскладывается. Не вполне понял вопрос. Вроде из следующей картинки следует ответ зачем...
Построение правого и левого пространств матриц. По другому не свяжутся единственным образом параметры abcd и то что в подкате (4).
Со сложением мы разобрались. Матриц и параллелограммов.
В общем, зная, что был за объект... История про то, что в Алгебре Клиффорда нет разделения на операторы и векторы, объекты выполняют обе функции.
В сухом остатке подумаю дорабатывать статью или нет, и если дорабатывать, то как.
Мне возможно показалось, но все ваши вопросы связаны с тем, что для много кого геометрическая Алгебра туманна...
(1.3.) Попарно они образуют два объекта со свойством, как у векторов в декартовых координатах.
Кажется вы начали самостоятельно приходить к идее спиноров)
Только не хотите ее обобщать.
История про то, что в Алгебре Клиффорда нет разделения на операторы и векторы, объекты выполняют обе функции.
Сорт оф есть. Это не очень видно в кватернионах, потому что в них нет делителей нуля. Но там где они есть, есть и 3 разных типа действий: левое, правое и двухстроннее. И в зависимости от того, какое именно действие на элемент алгебры вы рассматриваете, вы получите существенную разницу между мультивекторами и спинорами (а потом внезапно заметите, что 
и 
в этом плане особенные, но это совсем отдельная история).
Только не хотите ее обобщать.
Такое устройство головы, пока сам путь не пройду и не увижу созданные своими руками картинки, не могу хотеть)
Согласен про другую историю, и тут нюанс следующий - наверное для всех в высокой науке эта история очевидна, но интересный факт, что где то между моментом изучения линейной алгебры первого курса и моментом наступления в жизни этой высокой науки случился незадокументированный мост, построенный путем наставничества. По крайней мере мне не заумное объяснение в литературе, как все работает, не попадалось. Есть шанс, что кто то учебник напишет в какой то перспективе. А пока для себя начал с плоскости.
Jerk_(physics) вот, по итогу там на кватернионе по зависимости вся базовая математика получается, можно еще посмотреть что такое rigidbody
По крайней мере мне не заумное объяснение в литературе, как все работает, не попадалось.
Это, кстати, действительно проблема. То как в алгебры Клиффорда заходят в литературе, зачастую вызывает недоумение. Я лишь могу порекомендовать каналы sudgy, eigenchris и bivector (все на английском), а также мою собственную статью про спиноры, которую я накатал потому что нигде больше не видел нормальных пояснений про них.
С тех пор я, кстати, узнал про спиноры еще много чего интересного, но совершенно не вижу как это оформить в нормальную статью, которая была бы интересна хоть кому-то.
From symplectic geometry to Hamilton's equations их соединяет кватернион(наверное) и Гамильтоновы уравнения(раздел Гамильтонова механика как я понял), в которых упоминается Lie algebra, а у кватерниона упоминается алгебра Клиффорда ну если по вики смотреть
так то проще понять квартернион - крутить)
Но вот получилось, что кватернион это не только про "крутить"
ну там дальше только моменты(тоесть в физике как я понимаю это моменты когда произойдёт событие наверное, дело в том что я диллетант и изучаю от обратного, произошел момент столкновения взяли нормали направили по формуле кинули в векторку что надо сделать в нормированном пространстве получили матрицу шарики разлетелись наверное), основная составляющая крутить в сферических координатах тоесть направлять, так то если смотреть какойнить учебник(гайд)
Constraint Solving
Introduction
Framework introduction
Raycast sphere
Raycast bounding box
Raycast plane and triangle
Physics system
Integrating particles
Solving constraints
Verlet integration
Manifolds and Impulses
Introduction
Manifold for spheres
Manifold for boxes
Rigid body modifications
Linera velocity
Linear impulse
Physics system update
Angular velocity
Angular impulse
это я подсмотрел
может быть достаточно матеши + дерево + рейкаст в иерархию, но тут террайн(по террейну там тоже много исследований всякие сглаживания, проходы и прочее, интерполяции), кароче да зависит от потребностей
Поэтому и писал про плоскость, то, что здесь кажется громоздким, по сравнению с формулами для объема очень даже миленько и компактно выглядит. А за напоминание про ту статью, спасибо, надо будет переосмыслить в свете истории про плоскость, на ней как то попроще все
В вашей статье про спиноры нет понятной связи с тем, как это в физике используется. Там спиноры - это векторы (матрицы 2 на 1), а операторы - это комплексные матрицы 2 на 2.
То, что вы там описали - это спиновое (проективное) разложение пространств. Но в общем понять, как от этого перейти к тому, что используется в физике - не так просто.
Да, есть такое. Грубо говоря, каждый левый идеал соответствует одному столбцу в матричном представлении алгебры Клиффорда по соответствующему базису, каждый правый - строке.
То есть линейная оболочка "физических"
- это идеал, образованный 
или 
на ваш выбор. Ну а действующие на него матрицы - это просто мультивекторы (как правило, роторы, но есть варианты).
А вообще, физики сами нихрена не знают про спиноры. Это, наверное, не так, но мне стало интересно, вы, как физик, сходу сможете сказать какова была бы размерность спиноров Вейля в 5+1 мерном пространстве? А в 6+1?
Спрашиваю потому что ни разу не видел вменяемого ответа на этот довольно простой вопрос в литературе.
Я комментарий написал к вашей статье, где обозначил эту связь. К сожалению, физикам преподают сразу готовый формализм. То есть на уровне: вот есть конкретные матрицы Паули, спиноры - это векторы, в гамильтониан засовываем так, энергию получаем вот так.
Вообще-то есть формула для размерности спиноров Вейля.
Пусть пространство имеет размерность n = 2*x или 2*x+1
Тогда у спинора Вейля размерность 2^x.
Соответственно, для 5+1 и 6+1 будет один и тот же ответ. Это 8.
Неа, в 5+1, 8 - это размерность спиноров Дирака (то есть размерность пространства представлений для full-spin representation группы 
). А спиноры Вейля соответствуют неприводимым представлениям, т.е. в этом случае - это разбиение спиноров Дирака на четные и нечетные, и те и те размерности 4.
А в 6+1 не будет спиноров Вейля вообще, только спиноры Дирака размерности 8. Потому что действие Spin-группы в нечетномерном пространстве не разбивает спиноры на четные и нечетные. Что, в свою очередь, происходит из-за нечетности проектора в минимальный идеал алгебры Клиффорда. 8-мерные спиноры Вейля появятся только в 7+1.
Кстати, chatgpt на удивление справился с ответом. То есть где-то это всё же написано)
К сожалению, физикам преподают сразу готовый формализм. То есть на уровне: вот есть конкретные матрицы Паули, спиноры - это векторы, в гамильтониан засовываем так, энергию получаем вот так.
Да, и это мне очень сильно не нравится. Типа Дирак придумал свои гамма-матрицы - а ты заткнить и считай, не задавай вопросов откуда они появились. А ведь история про то как их получить для любого измерения очень красивая.
Гамма-матрицы - это универсальный способ писать матричные представления для алгебр Клиффорда. Там сначала матрицы 2 на 2, потом блочные из таких матриц делаются 4 на 4, и так далее. У Широкова из ВШЭ в лекциях есть про это на странице 32 https://www.mi-ras.ru/noc/11_12/cllifalg10.12.11.pdf , причем довольно просто и доступно. А вот в книгах для физиков ничего внятного по этому поводу, к сожалению, не найти.
Да, спиноры Вейля только для пространств четной размерности.
Подозреваю, написано в хороших англоязычных источниках. Например, даже если просто википедию посмотреть по этим темам, на английском намного больше конкретной информации.
Кватернионы — не только то, что мы о них думали