Comments 15
Некоторые варианты истории про Гамильтона и кватернионы сообщают нам, что в момент нацарапывания формулы на мосту он был не очень трезв, ибо в противном случае не мог позволить себе такую вольность:) И, кстати, еще одним преимуществом использования кватернионов является (по сути еще одно следствие отсутствия критических точек, как у углов Эйлера) возможность инерциальной навигации в высоких широтах, т.е. в районе и непосредственно над полюсами Земли.
Со времён, когда познакомился с комплексными числами, и в студенческие времена (и потом некоторое время даже после) активно применял для вычислений всяких цепей переменного тока, у меня периодически возникала мысль, что раз есть комплексная плоскость, то должно быть и трёхмерное что-то подобное. Оказывается, это и есть. Я только сейчас узнал вот про это. Но наверняка можно пойти дальше? Почему мы должны ограничиваться тремя измерениями - ведь это математика, можно взять 4, 5, да хоть сотню "измерений", и скорее всего, есть ещё какие-то специфические виды чисел, которые нам (пока) не были нужны и никак не пригодились.
Рассуждая далее - вещественное число - это то, что можно посчитать на бытовом уровне, увидеть глазами (физическое выражение); комплексное - это вроде как есть число, но у него есть незаметное на "бытовом" уровне свойство, величина, т.е. это уже набор, массив чисел в разных "измерениях" (для комплексных - двумерное); дальше - то же самое, но три "измерения", но "видим" мы только одно. А что, если существует множество "измерений", и любое "видимое" нами число в реальном мире - лишь его вещественная часть, а ещё с ним связана огромное количество других компонент, т.е. оно содержит намного больше информации. Тут уже куда-то в область фантастики меня понесло, но мысль упорно приходит к выводу о возможности множества других "измерений", кроме известных нам в реальном "вещественном" мире. И они все существуют одновременно.
Есть например октонионы, но кажется, что практическая их польза заметно меньше кватернионов.
Второй раз за месяц даю эту ссылку в комменте на Хабре, https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Процедура_Кэли_—_Диксона
Интересно матричное представление комплексных чисел, см., например, http://thedarkaugust.blogspot.com/2016/12/blog-post_13.html . В таком представлении множеству комплексных чисел соответствует некоторое подмножество действительно знатных матриц с обычными для матриц операциями сложения и умножения.
Аналогично можно построить матрично представление кватернионов. И, глядя на них , естественным образом возникает идея, что можно построить какие-либо сложные объекты типа комплексных чисел как как множества матриц некоторого размера определённого вида.
Вообще говоря, это уже во многом изучено (вам, возможно, было бы интересно разобраться с алгеброй в целом, как с дисциплиной, и, в частности, как со структурой).
Есть теорема, которая говорит, что при некоторых разумных ограничениях, числа бывают только действительные, комплексные и кватернионы (https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Фробениуса), то есть принципиально невозможно, например, построить структуру размерности 3 или 5, которую бы можно было назвать числами.
Там комментатор ниже предлагает итеративную процедуру построения "чисел" большей размерности, но с каждым шагом, она отнимает все больше "разумных" свойств (ассоциативность, отсутствие делителей нуля) и все меньше те структуры, которые получаются, похожи на числа.
Если же говорить про числа бесконечной размерности, то и такое бывает, например поле мероморфных функций (если упрощенно, то это функции, которые можно представить в виде ряда 
, только степени могут быть еще и отрицательными, но там чтобы понять и принять происходящее надо ТФКП поизучать). Эти функции можно складывать, вычитать, умножать, а главное делить и вы снова будете получать функцию такого же рода, при этом эти операции будут соотноситься между собой как и у обычных чисел.
Есть Гильбертово пространство с бесконечным числом измерений.
Есть всякие трансфинитные кардиналы — объекты, которые идут после исчерпания бесконечного количества всех возможных чисел. Сами они не числа, но это не важно.
Можно вполне выдумывать пространства, количество измерений которых привязано к этим объектам. Это не совсем количество, так как на том уровне мы уже говорим о порядке, а не количестве, но это можно обойти.
И далее можно говорить о числах, лежащих в таких пространствах.
Фокус тут в том, что выдумать, и даже математически непротиворечиво описать можно (почти?) всё что угодно. Вопрос в том, насколько это нужно для решения реальных и/или математических задач, и насколько оно удобоваримо. Гильбертово пространство, например, юзают в квантовой механике, оно там со своими задачами справляется, но оно же является одной из причин, по которым порог вхождения в квантовую механику неприемлемо высок.
Спасибо, интересно! Я бы никогда не узнал, что формулу Кардано придумал совсем не Кардано, если бы тут не прочитал. Что заставляет задуматься, сколько есть еще известных вещей, изобретение которых приписывают совсем не тем людям?
Возможно оффтопик, но тема интересная, и хочу поделиться своими эмоциями из курса тфкп:
формула Эйлера для функции Римана обнаруживает связь между тфкп и простыми числами. Кстати, эта формула элементарно доказывается, доказательство доступно не математикам.
Вы упомянули основную теорему алгебры, самое тут крутое, что она доказывает, что комплексные числа являются алгебраическим замыканием действительных чисел. Известно, что любое поле имеет алгебраическое замыкание, и это доказывается с помощью аксиомы выбора! Это показывает связь тфкп с алгеброй и теорией множеств.
Голоморфные функции очень тесно связаны с гармоническими функциями (это почти одно и то же в каком-то смысле), что показывает тесную связь между тфкп и дифурами! Про это вообще редко говорят, но лично мне это кажется какой-то мистикой, что абстрактное алгебраическое расширение действительных чисел корнем квадратного уравнения можно наделить метрикой, кривизной и прочими векторными расслоениями (что, конечно же, показывает тесную связь между тфкп и геометрией/топологией)
Матановские техники, разработанные для тфкп (типа теоремы Коши) неожиданно позволяют решать разные задачи, напрямую никак не связанные с комплексными числами (например, посчитать сумму обратных квадратов натуральных чисел через вычеты). В каком-то смысле, это показывает связь тфкп с реальной жизнью (если для вас, как и для меня, решение интересных задачек является важной частью жизни!)
Есть мнение, что все формулы/теоремы, названные в честь известных математиков, изобретены далеко не ими, например с Гауссом подобная история. Забавно, что конкретно по тематике статьи есть обратный пример: известно, что первые варианты БПФ придумал именно он.
Касательно названий:
Закон Стиглера
то заставляет задуматься, сколько есть еще известных вещей, изобретение которых приписывают совсем не тем людям?
Таких случаев дофига и больше. Тот же Тесла не придумывал переменный ток. А Эдисон не придумал лампочку.
Не хватает дуальных чисел и джетов, про комплексные колебания в цепях Маркова
Второй проблемой Гилберта является проблема непротиворечивости аксиоматики арифметики. Комплексные числа-противоречие: квадрат не может быть отрицательным. Вывод: аксиоматика противоречива. And more, more else.
Дайте мне премию пожалст.
Краткая история комплексных чисел