Zhestkov Oct 4 at 17:46

Линейная алгебра: четыре разных подхода к одной задаче

Medium

4 min

12K

Mathematics * Studying in IT

+52

Comments 8

misha_erementchouk Oct 4 at 19:51

Техническое. В третьей задаче финальную часть можно сократить, используя спектральное представление

$A = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2,$

где

$P_k = \frac{1}{2} h_k h_k^T$

проекторы на собственные подпространства и множитель 1/2 учитывает нормировку собственных векторов, определенных в тексте. Отсюда сразу получаем ответ

$A^{100} = \frac{3^{100}}{2} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) + \frac{(-1)^{100}}{2} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right)$

который, разумеется, совпадает с тем, что в тексте.

Zhestkov Oct 4 at 19:56

В самом деле, можно и так :) Здорово, спасибо!

rootdefault Oct 4 at 23:12

В первой задаче точно нужно возведение в степень после закрывающей скобки матрицы? )) а то сейчас записанное условие немного отличается от того что мы потом решаем ;)

Zhestkov 23 hours ago

Спасибо! Поправил :)

aamonster 19 hours ago

Спасибо. Вроде всё несложное (кроме последней задачки, теорему Гамильтона-Кэли я не помнил, надо будет с листочком бумаги поискать другое решение), но вспомнить студенческие годы приятно :-)

Zhestkov 8 hours ago

Спасибо за обратную связь!

tarlex2001 12 hours ago

У вас опечатка в последней задаче : а = 4950 .

И зачем так сложно : записываем первых три члена ряда Тейлора функции x^100 в точке x = -1 и сразу получаем остаток :

1- 100 ( x + 1 ) + 4950 * ( x + 1 ) ^2

Zhestkov 10 hours ago

Спасибо за обратную связь и замеченную опечатку, поправил! Конечно, можно так. Но и тем способом вышло очень быстро, а на ум пришло первым :)