Содержание:

Фаза и прото-пространство.
Кватернионное представление.
Кватернионные роторы: R-поворот и D-буст.
Вращение Вигнера.
Прецессия Томаса.
Перепараметризация времени
Шпаргалка.
Алгоритм и пример.
Контроль по классической формуле.
Заключение.

Эта статья - продолжение разработки теории представления специальной теории относительности через вращение векторов градиента фазы в евклидовом фазовом пространстве с поледующей перепараметризацией времени.

В первой статье мы не упомянули, что сферически-гиперболический мост строится на отношении, найденном Кристофом Гудерманом (см. гудерманиан).

1. Фаза и прото-пространство

В самом общем смысле станем полагать фазу изменением скалярного поля в евклидовом пространстве неограниченной размерности. Эффекты наблюдаемого 3-пространственного характера тогда будут выражаться как изменение проекций вектора градиента фазы на пространственные оси наблюдателя, а проекция на остальные оси даст совокупно течение фазы объекта по времени.
Формально. Фазовое «прото-пространство» - евклидово (гильбертово) пространство $\mathcal{E}$ , $\langle X,Y \rangle$ - евклидово скалярное произведение, $\|X\|^2=\langle X,X\rangle$ .
Фазовый поток задаётся вектором $\boldsymbol\chi\in\mathcal E$ .
Наблюдатель фиксирует ортонормированную тройку пространственных осей

$\mathbf e_1,\ \mathbf e_2,\ \mathbf e_3\in\mathcal E,\qquad \langle \mathbf e_i,\mathbf e_j\rangle=\delta_{ij},$

и соответствующее подпространство $S=\operatorname{span}\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\}$ с ортогональными проекторами и $P_{S^\perp}$ .
Разложим фазовый вектор:

$\boldsymbol\chi = \boldsymbol\chi_S + \boldsymbol\chi_\perp,\qquad\boldsymbol\chi_S:=P_S\boldsymbol\chi,\ \ \boldsymbol\chi_\perp:=P_{S^\perp}\boldsymbol\chi.$

Наблюдаемая 3-компонента:

$l_i:=\langle \boldsymbol\chi,\mathbf e_i\rangle,\qquad\mathbf l:=l_1\,\mathbf i+l_2\,\mathbf j+l_3\,\mathbf k.$

Остальные (ненаблюдаемые) компоненты суммируем по Пифагору в скаляр

$t:=\|\boldsymbol\chi_\perp\|=\sqrt{\ \|\boldsymbol\chi\|^2-\|\boldsymbol\chi_S\|^2\ }.$

Для ориентации вводим единичный

$\mathbf{e}_t := \dfrac{\boldsymbol\chi_\perp}{\|\boldsymbol\chi_\perp\|}, & \|\boldsymbol\chi_\perp\|>0$

2. Кватернионное представление

Тогда кватернионное представление просто:

$q:=t+\mathbf{l} =\ t+l_1\,\mathbf i+l_2\,\mathbf j+l_3\,\mathbf k,\qquad|q|^2=t^2+\|\mathbf{l}\|^2=\|\boldsymbol\chi\|^2.$

3. Кватернионные роторы: R-поворот и D-буст

R-поворот вокруг $\hat{\mathbf n}$ на угол $\varphi$ :

$r=\cos\frac{\varphi}{2}+\hat{\mathbf n}\,\sin\frac{\varphi}{2},\qquad q\ \mapsto\ r\,q\,r^{-1}$

поворачивает только в .

D-вращение (буст) вдоль $\hat{\mathbf u}$ на угол $\psi$ - обычный 2D-поворот в плоскости $\operatorname{span}\{\mathbf e_t,\hat{\mathbf u}\}$ :

$d=\cos\frac{\psi}{2}+\hat{\mathbf u}\,\sin\frac{\psi}{2},\qquad q\ \mapsto\ q'=d\,q\,d.$

Разложив $\mathbf l=\mathbf l_\parallel+\mathbf l_\perp$ по $\hat{\mathbf u}$ (где $l_\parallel=\mathbf l\!\cdot\!\hat{\mathbf u}$ ), получаем

$\begin{aligned}t'&=t\cos\psi + l_\parallel\sin\psi,\\l'_\parallel&=t\sin\psi + l_\parallel\cos\psi,\\\mathbf l'_\perp&=\mathbf l_\perp.\end{aligned}$

Здесь геометрия дотошно.
Удобная связь с кинематикой:

$\beta=\frac{v}{c}=\sin\psi,\qquad \gamma=\frac{1}{\cos\psi},\qquad\tan\frac{\psi}{2}=\frac{\gamma\beta}{\gamma+1}.$

Здесь подробно объяснена связь со специальной теорией относительности.

Скорость ⇄ D-ротор

Формулы. Пусть $\mathbf v\in\mathbb R^3$ , $\beta=\|\mathbf v\|/c\in[0,1)$ , $\hat{\mathbf u}=\mathbf v/\|\mathbf v\|$ . Тогда

$\tan\frac{\psi}{2}=\frac{\gamma\beta}{\gamma+1},\quad \beta=\sin\psi,\quad \gamma=\frac{1}{\cos\psi},\qquad d=\cos\frac{\psi}{2}+\hat{\mathbf u}\,\sin\frac{\psi}{2}.$

Обратно, для единичного кватерниона $d=[w,\mathbf v_d]$ :

$\psi=2\arctan2\big(\|\mathbf v_d\|,\,w\big),\quad \hat{\mathbf u}=\frac{\mathbf v_d}{\|\mathbf v_d\|}\ (\|\mathbf v_d\|>0),\quad \beta=\sin\psi,\quad \mathbf v=c\,\beta\,\hat{\mathbf u}.$

4. Вращение Вигнера

Для двух D-роторoв положим

$L_{12}=d_2d_1,\qquad L_{21}=d_1d_2.$

Они в общем случае не коммутируют. Выделим суммарный D-вклад $d_{12}$ как тот, который воспроизводит «наклон» временной оси:

$d_{12} \ \mathbf{e}_t \ d_{12} = L_{12} \ \mathbf{e}_t \ L_{21}, \qquad \Re(d_{12}) \geqslant 0$

Тогда ротор Вигнера - остаточный чистый R-поворот:

$\boxed{r_W=\bar d_{12}\,L_{12}=L_{21}\,\bar d_{12},\qquad L_{12}=d_{12}\,r_W,\ \ L_{21}=r_W^{-1}\,d_{12}}$

и наблюдаемое действие после компенсации $d_{12}$ :

$\bar d_{12}\,q'\,\bar d_{12}=r_W\,q\,r_W^{-1}.$

Ось и угол. Пусть $\cos\theta=\hat{\mathbf u}_2\!\cdot\!\hat{\mathbf u}_1$ - мера коллинеарности бустов. Тогда

$\hat{\mathbf n}_W\ \parallel\ \hat{\mathbf u}_2\times\hat{\mathbf u}_1,\qquad\tan\frac{\phi}{2}=\frac{\tan\frac{\psi_1}{2}\,\tan\frac{\psi_2}{2}\,\sin\theta}{1+\tan\frac{\psi_1}{2}\,\tan\frac{\psi_2}{2}\,\cos\theta}.$

5. Прецессия Томаса

При медленно меняющемся направлении $\hat{\mathbf u}(t)$ накопление D-вращений даёт угловую скорость

$\boldsymbol{\omega}_T=(\gamma-1)\,(\hat{\mathbf u}\times \dot{\hat{\mathbf u}})\;=\;\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,\frac{\mathbf a\times \mathbf v}{c^2},\qquad\gamma=\frac{1}{\cos\psi}.$

Для равномерной окружности: $\ |\boldsymbol{\omega}_T|=(\gamma-1)\,\Omega$ .

6. Перепараметризация времени

Геометрия роторов не меняется - меняется только «какие часы» ведут эволюцию. Достаточно выбрать параметр и использовать один из вариантов.

Варианты эволюции

По собственному времени $\tau$ :

$\beta=\sin\psi,\qquad \gamma=\frac{1}{\cos\psi},\qquad dt=\gamma\,d\tau.$

По лабораторному времени t:

$d\tau=\frac{dt}{\gamma}=\cos\psi\,dt,\qquad \beta=\frac{d\ell}{dt}=\sin\psi.$

По фазовой дуге $\sigma$ (евклидова норма в прото-пространстве):

$d\tau=\cos\psi\,d\sigma,\qquad d\ell=\sin\psi\,d\sigma,\qquad \frac{d\ell}{d\tau}=\tan\psi.$

Гиперболическая запись СТО
Для перехода к псевдоевклидовой метрике пространства Минковского:

$\sin\psi\ \mapsto\ \tanh\eta,\qquad\cos\psi\ \mapsto\ \operatorname{sech}\eta,\qquad\tan\frac{\psi}{2}\ \mapsto\ \tanh\frac{\eta}{2},$

где

$\tanh\eta=\beta,\qquad \cosh\eta=\gamma.$

Любые формулы с роторами и (включая Вигнера и Томаса) остаются теми же; меняются только $d\tau,dt,d\sigma$ согласно выбранному режиму.

7. Шпаргалка

$q=t+\mathbf l$ , где $t=\|\boldsymbol\chi_\perp\|$ , $\ \mathbf l=\sum_i \langle\boldsymbol\chi,\mathbf e_i\rangle\,\mathbf e_i$ .
R: $q\mapsto rqr^{-1}$ , $r=\cos\frac{\varphi}{2}+\hat{\mathbf n}\sin\frac{\varphi}{2}$ .
D: $q\mapsto dqd$ , $d=\cos\frac{\psi}{2}+\hat{\mathbf u}\sin\frac{\psi}{2}$ , $\beta=\sin\psi$ , $\gamma=1/\cos\psi$ .
Вигнер: $L_{12}=d_2d_1$ , $d_{12}\mathbf e_t d_{12}=L_{12}\mathbf e_t L_{21}$ , $r_W=\bar d_{12}L_{12}=L_{21}\bar d_{12}$ .
Томас: $\boldsymbol{\omega}_T=(\gamma-1)(\hat{\mathbf u}\times\dot{\hat{\mathbf u}})=\dfrac{\gamma^2}{\gamma+1}\dfrac{\mathbf a\times\mathbf v}{c^2}$ .

8. Алгоритм и пример

Пусть D-роторы

$d_1=\cos\frac{\psi_1}{2}+\hat{\mathbf u}_1\sin\frac{\psi_1}{2},\qquad d_2=\cos\frac{\psi_2}{2}+\hat{\mathbf u}_2\sin\frac{\psi_2}{2}.$

Тогда

$L_{12} = d_2 d_1, \quad L_{21} = d_1d_2, \quad d_{12}= \sqrt{ L_{12} L_{21} } \ (\Re d_{12} \geqslant 0), \quad \boxed{r_W=\bar{d}_{12}L_{12}}.$

Пояснение кватернионного корня

Здесь $\sqrt{\ \cdot\ }$ — главная (principal) кватернионная корень-квадрат с неотрицательной скалярной частью; для единичного $q=(w,\mathbf v)$ :

$\sqrt{q}=\Big(\sqrt{\tfrac{1+w}{2}},\ \ \frac{\mathbf v}{\sqrt{2(1+w)}}\Big)\quad (w\neq -1).$

Надёжная формула через $\log/\exp$ . Для единичного кватерниона $q=\cos\frac{\theta}{2}+\hat{\mathbf n}\sin\frac{\theta}{2}$ :

$\log q = \big[\,0,\ \hat{\mathbf n}\,\tfrac{\theta}{2}\,\big],\qquad\sqrt{q} = \exp\!\Big(\tfrac12\log q\Big) = \cos\frac{\theta}{4} + \hat{\mathbf n}\,\sin\frac{\theta}{4}.$

Это устойчиво даже при $w\approx -1$ (то есть $\theta\approx\pi$ ).

Python-скрипт (NumPy)


import numpy as np

# Кватернионы как массивы [w, x, y, z]; единичные роторы -> |q|=1

def qmul(a, b):
    w1, x1, y1, z1 = a
    w2, x2, y2, z2 = b
    return np.array([
        w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2,
        w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2,
        w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2,
        w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2,
    ])

def qconj(q):  # сопряжение (для единичных это же и обратный)
    w, x, y, z = q
    return np.array([w, -x, -y, -z])

def qnorm(q):
    return np.linalg.norm(q)

def qnormalize(q, eps=1e-15):
    n = qnorm(q)
    return q if n < eps else q / n

def qsqrt_unit(q, eps=1e-15):
    """
    Главная ветвь квадр. корня от единичного кватерниона q = [w, v].
    Возвращает s, такое что s*s == q и Re(s) >= 0.
    """
    w, x, y, z = q
    w = float(w)
    v = np.array([x, y, z], dtype=float)
    n = qnorm(q)
    if abs(n - 1.0) > 1e-9:
        # На всякий случай нормируем
        w, v = (w/n), (v/n)
    if w > -1 + eps:
        s = np.sqrt(0.5*(1.0 + w))
        if s < eps:
            # чисто векторный случай близко к w = -1 (редкий/неустойчивый)
            # выберем ось v/|v| и полуугол = pi/2
            axis = v / (np.linalg.norm(v) + eps)
            return np.array([0.0, *(axis)])  # полуугол = pi/2 => [0, axis]
        vec = v / (2.0*s)
        return qnormalize(np.array([s, *vec]))
    else:
        # w ~ -1: корень почти чисто векторный; выберем ось v
        axis = v / (np.linalg.norm(v) + eps)
        return np.array([0.0, *(axis)])

def drotor(u, psi):
    """
    D-ротор: d = cos(psi/2) + u * sin(psi/2), где u - единичный 3-вектор.
    Возвращает кватернион [w, x, y, z].
    """
    u = np.array(u, dtype=float)
    un = u / (np.linalg.norm(u) + 1e-15)
    c, s = np.cos(psi/2.0), np.sin(psi/2.0)
    return np.array([c, *(s*un)])

def raxis_angle(r, eps=1e-15):
    """
    Из ротора r (единичный кватернион) достать ось (3-вектор) и угол (рад).
    Для r = [w, v], угол = 2*atan2(|v|, w); ось = v/|v|.
    """
    r = qnormalize(r)
    w, vx, vy, vz = r
    v = np.array([vx, vy, vz])
    vnorm = np.linalg.norm(v)
    angle = 2.0*np.arctan2(vnorm, w)
    axis = np.array([1.0, 0.0, 0.0]) if vnorm < eps else v / vnorm
    return axis, angle

def wigner_rotor(u1, psi1, u2, psi2):
    """
    Главная функция: по двум D-бустам вернуть ротор Вигнера r_W
    и промежуточный суммарный D-ротор d_12.
    """
    d1 = drotor(u1, psi1)
    d2 = drotor(u2, psi2)
    L12 = qmul(d2, d1)
    L21 = qmul(d1, d2)
    T = qmul(L12, L21)            # T = L12 * L21  (т.к. e_t = 1 => d e_t d = d^2)
    d12 = qsqrt_unit(T)           # principal sqrt, Re(d12) >= 0
    rW  = qmul(qconj(d12), L12)   # r_W = \bar d12 * L12
    return qnormalize(rW), qnormalize(d12)

# Пример использования
if __name__ == "__main__":
    deg = np.deg2rad
    u1, psi1 = [1, 0, 0], deg(40)   # буст 1: ось X, угол 40°
    u2, psi2 = [0, 1, 0], deg(30)   # буст 2: ось Y, угол 30°

    rW, d12 = wigner_rotor(u1, psi1, u2, psi2)
    axis, angle = raxis_angle(rW)

    print("d12 (sum D-rotor) =", d12)
    print("rW  (Wigner)      =", rW)
    print("axis =", axis, "angle_deg =", np.rad2deg(angle))

    # sanity-check: L12 == d12 * rW, L21 == rW^{-1} * d12  (с точностью до числ. погрешности)
    d1 = drotor(u1, psi1)
    d2 = drotor(u2, psi2)
    L12 = qmul(d2, d1)
    L21 = qmul(d1, d2)
    lhs1 = L12
    rhs1 = qmul(d12, rW)
    lhs2 = L21
    rhs2 = qmul(qconj(rW), d12)
    print("||L12 - d12*rW|| =", qnorm(lhs1 - rhs1))
    print("||L21 - rW^{-1}*d12|| =", qnorm(lhs2 - rhs2))

9. Контроль по классической формуле: формулы + Python-проверка

Классическая формула угла Вигнера (в рапидитах).
Пусть даны две скорости $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ с модулями и направлениями $\hat{\mathbf u}_i=\mathbf v_i/\|\mathbf v_i\|$ .
Введём рапидиты $\eta_i=\operatorname{artanh}\beta_i$ , где $\beta_i=v_i/c$ , $\gamma_i=\cosh\eta_i$ .
Угол между направлениями: $\cos\theta=\hat{\mathbf u}_2\!\cdot\!\hat{\mathbf u}_1$ .

Тогда ось Вигнера:

$\hat{\mathbf n}_W\ \parallel\ \hat{\mathbf u}_2\times\hat{\mathbf u}_1,$

а угол:

$\tan\frac{\phi}{2}=\frac{\sinh\frac{\eta_1}{2}\,\sinh\frac{\eta_2}{2}\,\sin\theta}{\cosh\frac{\eta_1}{2}\,\cosh\frac{\eta_2}{2}+\sinh\frac{\eta_1}{2}\,\sinh\frac{\eta_2}{2}\,\cos\theta}.$

Ниже - код, который:

строит по униметрическому алгоритму (кватернионы/роторы),
считает $\phi_{\text{classic}}$ по формуле выше,
сравнивает ось/угол.

Python-скрипт (NumPy)


import numpy as np

# ----- базовая кватернионная алгебра -----

def qmul(a, b):
    w1, x1, y1, z1 = a
    w2, x2, y2, z2 = b
    return np.array([
        w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2,
        w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2,
        w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2,
        w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2,
    ])

def qconj(q):
    w, x, y, z = q
    return np.array([w, -x, -y, -z])

def qnorm(q):
    return np.linalg.norm(q)

def qnormalize(q, eps=1e-15):
    n = qnorm(q)
    return q if n < eps else q/n

def qsqrt_unit(q, eps=1e-15):
    """
    Главная ветвь sqrt для единичного кватерниона q=[w,v], Re>=0.
    """
    q = qnormalize(q)
    w, vx, vy, vz = q
    v = np.array([vx, vy, vz])
    vnorm = np.linalg.norm(v)
    if w >= 0:
        s = np.sqrt(0.5*(1.0 + w))
        vec = v/(2.0*s) if s > eps else (v/(vnorm+eps))
        return qnormalize(np.array([s, *vec]))
    else:
        # w ~ отриц., корень почти чисто-векторный
        axis = v/(vnorm+eps) if vnorm > eps else np.array([1.0,0.0,0.0])
        return np.array([0.0, *axis])

def raxis_angle(r, eps=1e-15):
    r = qnormalize(r)
    w, x, y, z = r
    v = np.array([x, y, z])
    vnorm = np.linalg.norm(v)
    angle = 2.0*np.arctan2(vnorm, w)
    axis = np.array([1.0,0.0,0.0]) if vnorm < eps else v/vnorm
    return axis, angle

# ----- параметризация D-ротора -----

def psi_from_beta(beta):
    """
    Униметрический угол psi из β:  β=sinψ,  γ=1/cosψ.
    Численно устойчи��о через полуугол: tan(ψ/2) = γβ/(γ+1).
    """
    beta = float(beta)
    if not (0 <= beta < 1):
        raise ValueError("beta must be in [0,1)")
    gamma = 1.0/np.sqrt(1.0 - beta*beta)
    t = (gamma*beta)/(gamma+1.0)
    return 2.0*np.arctan(t)

def drotor_from_velocity(v, c=1.0):
    v = np.array(v, dtype=float)
    speed = np.linalg.norm(v)
    if speed == 0:
        return np.array([1.0, 0.0, 0.0, 0.0])
    u = v/speed
    beta = speed/float(c)
    psi = psi_from_beta(beta)
    c2, s2 = np.cos(psi/2.0), np.sin(psi/2.0)
    return np.array([c2, *(s2*u)])

# ----- Wigner из двух скоростей по униметрии -----

def wigner_rotor_from_velocities(v1, v2, c=1.0):
    d1 = drotor_from_velocity(v1, c)
    d2 = drotor_from_velocity(v2, c)
    L12 = qmul(d2, d1)
    L21 = qmul(d1, d2)
    # из условия d12 * e_t * d12 = L12 * e_t * L21, где e_t ≡ 1, получаем d12^2 = L12 L21
    d12 = qsqrt_unit(qmul(L12, L21))
    rW  = qmul(qconj(d12), L12)
    return qnormalize(rW)

# ----- Классическая формула угла -----

def wigner_angle_classic(v1, v2, c=1.0):
    v1 = np.array(v1, float); v2 = np.array(v2, float)
    u1 = v1/np.linalg.norm(v1) if np.linalg.norm(v1) > 0 else np.array([1.0,0.0,0.0])
    u2 = v2/np.linalg.norm(v2) if np.linalg.norm(v2) > 0 else np.array([1.0,0.0,0.0])
    cos_th = float(np.clip(np.dot(u2, u1), -1.0, 1.0))
    sin_th = np.sqrt(1.0 - cos_th*cos_th)

    beta1 = np.linalg.norm(v1)/float(c)
    beta2 = np.linalg.norm(v2)/float(c)
    eta1  = np.arctanh(beta1)  # rapidities
    eta2  = np.arctanh(beta2)

    sh1 = np.sinh(eta1/2.0); ch1 = np.cosh(eta1/2.0)
    sh2 = np.sinh(eta2/2.0); ch2 = np.cosh(eta2/2.0)

    num = sin_th * sh1 * sh2
    den = ch1*ch2 + cos_th * sh1 * sh2
    return 2.0 * np.arctan2(num, den)

def axis_classic(v1, v2):
    v1 = np.array(v1, float); v2 = np.array(v2, float)
    u1 = v1/np.linalg.norm(v1) if np.linalg.norm(v1) > 0 else np.array([1.0,0.0,0.0])
    u2 = v2/np.linalg.norm(v2) if np.linalg.norm(v2) > 0 else np.array([1.0,0.0,0.0])
    a = np.cross(u2, u1)
    n = np.linalg.norm(a)
    return a/n if n > 0 else np.array([1.0,0.0,0.0])

# ----- Демонстрация -----

if __name__ == "__main__":
    c = 1.0
    v1 = np.array([0.6, 0.0, 0.0]) * c     # 0.6c по X
    v2 = np.array([0.0, 0.5, 0.0]) * c     # 0.5c по Y

    # униметрический расчёт
    rW = wigner_rotor_from_velocities(v1, v2, c)
    axis_u, phi_u = raxis_angle(rW)

    # классическая формула
    phi_cl = wigner_angle_classic(v1, v2, c)
    axis_cl = axis_classic(v1, v2)

    # сравнение (ось - до знака; сравниваем |dot|)
    axis_align = abs(np.dot(axis_u, axis_cl))
    angle_err  = abs(phi_u - phi_cl)

    print(f"phi_unimetry (deg) = {np.rad2deg(phi_u):.8f}")
    print(f"phi_classic (deg)  = {np.rad2deg(phi_cl):.8f}")
    print(f"|axis dot|         = {axis_align:.12f}   (1.0 = совпало)")
    print(f"|angle diff| (deg) = {np.rad2deg(angle_err):.12e}")

    # простая проверка точности
    assert axis_align > 1 - 1e-10, "Оси не совпадают (с точностью до знака)."
    assert angle_err < 1e-10, "Углы не совпали в пределах машинной точности."

10. Заключение

Выгоды использования кватернионной алгебры для рассчётов:
1) Концептуально проще

Один объект для всего. R-повороты и D-«бусты» - это единичные кватернионы, различаются только плоскостью/осью действия; композиция - обычное умножение.
Вигнер получается «по определению»: остаток после компенсации суммарного D-вклада - сразу ротор
$d_{12}=\sqrt{L_{12}L_{21}}, \qquad r_W=\bar{d}_{12}\,L_{12}.$
Ось и угол берутся из одного ротора $r=[w,\mathbf v]$ : $\hat{\mathbf n}=\mathbf v/\|\mathbf v\|,\quad \phi=2\arctan2(\|\mathbf v\|,w)$ - без матриц и диагонализаций.

2) Алгоритмически короче

«Одна строка» реально работает (см. выше). Для матриц Лоренца пришлось бы городить полярную/QR-факторизацию.
Стоимость операций: умножение кватернионов - $\sim$ 16 умножений + 12 сложений; умножение $4 \times 4$ - $\sim$ 64 умножений + 48 сложений.
Память: 4 числа вместо 16.

3) Численно устойчивее

Нет сингулярностей Эйлера (gimbal lock), малые углы считаются стабильно.
Нормализация - одно деление на норму; «дрейф» ортогональности у матриц требует дорогой реортогонализации.
Корень «правильной ветви» фиксируется условием $\Re(d_{12})\ge 0$ , без эвристик.

4) Прямой мост к «классике» SR

Вся геометрия - в евклидовой $\mathbb R\oplus\mathbb R^3$ ; «гиперболическая» запись - это просто замена параметра $\sin\psi\!\to\!\tanh\eta,\ \cos\psi\!\to\!\operatorname{sech}\eta,\ \tan\frac{\psi}{2}\!\to\!\tanh\frac{\eta}{2}$ , где $\tanh\eta=\beta,\ \cosh\eta=\gamma$ .
Сверка с классической формулой Вигнера - одна арктангента (см. блок «Контроль по классике»).

5) Инженерные плюсы

Легко векторизуется и GPU-дружелюбно: пачки роторных умножений тривиально параллелятся.
Инкрементальные расчёты (накопление малых D-вращений и ) стабильны: нормализуешь каждый шаг - и готово.
Удобные градиенты по параметрам ротора (ось/полуугол) для оптимизаций и фильтров.

Итог: кватернионные роторы сводят кинематику Лоренца к паре дешёвых, устойчивых операций «умножение + нормализация», а Вигнер и Томас получаются буквально в несколько строк.

Естественно, при написании статьи вежливо экплуатировался ChatGPT.
Этот пост — продолжение популярного изложения статьи, текст которой доступен как препринт: Unimetry: A Phase-Space Reformulation of Special Relativity (скачать), Zenodo (открыть), DOI:10.5281/zenodo.17347794. Материал адаптирован из препринта по лицензии CC-BY 4.0. Пожалуйста, цитируйте оригинальный препринт.

Униметрия: вращение Вигнера и прецессия Томаса