kapas19 Nov 9 at 12:10

Планковский масштаб: от математического курьёза к горизонту познания

Easy

24 min

13K

PhysicsPopular science

Review

+53

Comments 34

avshkol Nov 9 at 17:24

Отличный обзор эволюции планковской длины... К сожалению, неподготовленному читателю не взять наскоком эти формулы...

Вот например:

Планк задался вопросом: можно ли из этих трёх констант составить комбинации, которые имели бы размерности длины, времени, массы и энергии? Простой размерный анализ дал ответ:

Хм, там далеко не простой размерный анализ, но возможно, вкратце его показать?

Например, Qwen реконструировал вывод:

Вывод формулы планковской длины

Планковская длина — это фундаментальная единица длины в системе естественных единиц, предложенных Максом Планком в 1899 году. Формула для планковской длины выводится с помощью размерного анализа с использованием трех фундаментальных физических констант:

ħ (постоянная Дирака, редуцированная постоянная Планка)
G (гравитационная постоянная)
c (скорость света в вакууме)

Математический вывод

Цель: найти комбинацию констант ħ, G и c, которая имеет размерность длины.

Размерности констант:
- [ħ] = Дж·с = кг·м²/с (действие)
- [G] = м³/(кг·с²) (гравитационная постоянная)
- [c] = м/с (скорость света)
Ищем комбинацию: lₚ = ħ^α · G^β · c^γ
Составляем уравнение для размерностей:
[lₚ] = м = (кг·м²/с)^α · (м³/(кг·с²))^β · (м/с)^γ
Приравниваем показатели для каждой размерности:
- Для метров (м): 1 = 2α + 3β + γ
- Для килограммов (кг): 0 = α - β
- Для секунд (с): 0 = -α - 2β - γ
Решаем систему уравнений:
- Из второго уравнения: α = β
- Подставляем в первое и третье:
  - 1 = 2α + 3α + γ = 5α + γ
  - 0 = -α - 2α - γ = -3α - γ
- Складываем уравнения: 1 = 2α ⇒ α = 1/2
- Тогда β = 1/2
- Из третьего уравнения: γ = -3α = -3/2
Получаем формулу:
lₚ = ħ^(1/2) · G^(1/2) · c^(-3/2) = √(ħG/c³)

Численное значение: lₚ ≈ 1,616 × 10⁻³⁵ метров.

kapas19 Nov 10 at 05:46

Да примерно так. С моей точки зрения лучше всего начинать размерный анализ планковских масштабов с планковского времени - именно оно естественным образом выражается через $G,\hbar$ и c. А от него просто перейти к длине и массе.

Возьмём три фундаментальные константы:

$[ℏ]=M L^{2}T^{-1},[G]=M^{-1}L^{3}T^{-2},[c]=LT^{-1}.$

Ищем комбинацию

$t_{P}=\hbar^{a}G^{b}c^{d}$

с размерностью времени . Складываем показатели по :

по массе

по длине

по времени

Подставляя во вторые два уравнения, получаем:

Итак,
$t_{P}=\hbar^{1/2} G^{1/2} c^{-5/2}=\sqrt{\hbar G/c^{5}}.$

Планковскую длину $l_{P}=c t_{Pl}=\sqrt{\hbar G / c^{3}}$ часто описывают как расстояние, которое свет прошёл бы за планковское время $t_{P}$ . Однако это лишь удобная интуитивная интерпретация: на таких масштабах пространство-время утрачивает привычную непрерывность, и сам вопрос о «прохождении» света становится метафоричным - мы уже не можем говорить о траектории или движении в классическом смысле; и о «свете» тоже: на планковских масштабах нет даже самой среды, в которой могло бы существовать электромагнитное поле. Здесь «свет» остаётся образом, помогающим вообразить предельный масштаб связи пространства и времени.

С массой нам придется пройти аналогичный путь.

$m_{P}=\hbar^{a}G^{b}c^{d}$

Составляем уравнения по показателям :

Из последнего: . Подставляем в уравнение по :

Теперь из . Получаем .

Тогда,

$m_{P}=\hbar^{1/2}G^{-1/2} c^{1/2}=\sqrt{\hbar c/G}.$

Планковская энергия: $E_{P}\equiv m_{P}\cdot c^{2}=\sqrt{\hbar c/G}⋅c^{2}=\sqrt{{\hbar c^{5}}/G}$

Это определение использует соотношение $E=m\cdot c^{2}$ , корректное в рамках релятивистской теории на гладком пространстве-времени. На планковских масштабах (где ожидаем существенные квантовые флуктуации метрики) буквальный смысл «массы частицы» и «энергии покоя» становится модельно-зависимым, поэтому $E_{P}$ следует понимать как характерный энергетический масштаб, а не энергию реально существующего объекта.

avshkol Nov 10 at 14:54

Но нужно помнить, это не вывод формулы, а "подгон" под размерности.

Ниже уже указали, что масса и энергия никакие здесь не "планковские".

Что оставляет вопрос: есть ли минимальный предел массы или энергии? Например, какая должна быть максимальная длина волны, чтобы ее энергия стала нулевой? Какая частица минимальной массы может быть создана (может ли минимальная энергия создать частицу по закону E=mc2)?

kapas19 Nov 10 at 16:12

Да, именно так – я смог ответить на ваш предыдущий запрос по поводу вывода на основе анализа размерностей только утром. Вы хотели пример вывода через анализ размерностей, и я как раз привёл канву (см. выше) в том виде, в каком эти величины могли быть получены М. Планком. Сам Планк обозначал их просто как «естественные единицы», имеющие скорее метрологический характер, чем фундаментальный. Это не динамический вывод и не поиск «минимумов», а лишь указание характерных масштабов, где квантовые и гравитационные эффекты становятся сравнимыми – что, впрочем, напрямую из самого анализа размерностей не следует. В приведенном мною выводе я отметил некоторые важные, на мой взгляд, моменты, касающиеся планковских длины, массы и энергии.
Наиболее физически содержательное понимание этих масштабов было дано М.П. Бронштейном, что позже было осмыслено Г.Е. Гореликом. Все последующие рассуждения о «планковских» величинах в значительной степени носят уже метафизический, а не физический характер.
Что касается планковских массы и энергии – их стоит рассматривать скорее как иллюстративные величины, удобные для обозначения масштаба перехода, чем как реально существующие физические пределы.
Боюсь, что в таких формулировках ваших вопросов теряется физический смысл. В бесконечном пространстве у безмассового поля энергия просто стремится к нулю при частоте, стремящейся к нулю – «максимальной» длины волны фундаментально нет; она появляется лишь из-за конечного объёма, особенностей границ, геометрии и фоновой эволюции рассматриваемой системы. Вопрос о «минимальной массе» тоже некорректен: он исходит из картины теории полей на фиксированном классическом фоне – если энергии достаточно, то вы получите как минимум частицу или пару частиц с соответствующей массой, в полном соответствии с . На планковских масштабах же квантовые и гравитационные эффекты неразделимы, и привычные понятия «частица», «поле», «масса покоя» теряют привычный физический смысл. Поэтому обсуждать их «минимумы» там принципиально невозможно – сначала нужна теория, в рамках которой эти понятия вообще имеют определение. Или я не совсем правильно понял ваши вопросы.

kapas19 Nov 11 at 08:26

Добавлю к предыдущему своему сообщению по поводу вашего вопроса – есть ли минимальный предел массы или энергии?
Думаю, что нет. Хороший пример – фотон (масса покоя = 0). Например, это одно из требований к Стандартной модели, где безмассовость фотона задаётся отсутствием нарушения соответствующей симметрии. Я уже не говорю про СТО и ОТО.
Результаты всех проверок СТО, ОТО и Стандартной модели подтверждают, что безмассовость фотона – практически «железно» установленный факт.
С энергией всё интереснее: она может быть сколь угодно малой, но не нулевой при конечной длине волны. Но здесь уже есть свои тонкости.

avshkol Nov 17 at 10:30

Безмассовость фотона - это равенство массы нулю или принципиальное отсутствие массы, как явления, у фотона?

Я сторонник второго.

kapas19 Nov 17 at 11:11

В физике нет отдельной категории вроде «принципиального отсутствия массы как явления». Зачем же выделять фотон из общей системы теории поля? Есть вполне конкретное свойство поля – масса покоя . У фотона она строго равна нулю: это зафиксировано калибровочной инвариантностью в лагранжиане электромагнитного поля и подтверждено экспериментальными ограничениями на массу фотона.

В этом смысле «масса=0» и есть то самое принципиальное утверждение: у квантов электромагнитного поля нет массового члена и не может быть без разрушения калибровочной симметрии. Это условие требуется и для согласованности теории электромагнитного поля, и для согласованности со специальной теорией относительности (нуль-интервал, , распространение со скоростью c).

Иногда в литературе встречается термин «эффективная масса фотона», но важно понимать, что это не масса покоя. Это параметр, возникающий в средах – например, в плазме () или в волноводах – из-за изменения дисперсионного соотношения. В этих случаях фотон остаётся безмассовым как квант поля; «масса» появляется только как эффективный параметр взаимодействия со средой, полностью исчезающий в вакууме.

Поэтому корректно говорить именно о строго нулевой массе покоя фотона в рамках согласованной теории и о возможных эффективных массах в средах – но не о «принципиальном отсутствии массы как явления» как отдельной категории.

avshkol Nov 17 at 11:47

Хм, если масса фотона равна нулю, то можно теоретически предположить некое взаимодействие (с полем Хиггса?), которое даст массу.

А если её нет в принципе, то такого взаимодействия быть не может...

Математически и одно и другое даёт ноль, но для сравнения: сколько колёс у машины, с которой украли все колёса? Vs сколько колёс у ящерицы?

kapas19 Nov 17 at 12:45

Мы обсуждаем гипотетическую ситуацию или то, что реально имеем в теории, подкреплённой экспериментом?

В рамках Стандартной модели фотон безмассовый не «по случайности», а потому что калибровочная симметрия $U(1)_{em}$ не нарушена. Массовый член для поля просто запрещён этой симметрией: если его «добавить», мы ломаем калибровочную инвариантность, всю конструкцию КЭД и согласованность со специальной теорией относительности.

Да, можно гипотетически рассматривать модифицированные теории с ненулевой массой фотона, но это уже другая модель, а не «та же самая плюс ещё одно взаимодействие». И такие модели жёстко ограничены астрономическими и лабораторными оценками на $m_\gamma$ .

В этом смысле утверждение «масса фотона = 0» – не философская оппозиция «масса есть/массы как явления нет», а просто факт о конкретной теории: в той модели, которая сейчас описывает электромагнетизм с феноменальной точностью, массового члена для фотонного поля нет.

Если угодно, в терминах ОО-моделирования: вы предлагаете вынести «фотон» в отдельный класс сущностей со своей особой онтологией («масса в принципе невозможна»). Но тогда мы получим конструкцию, не совместимую с иерархией полей в современной теории.

В стандартной модели нулевая масса фотона — не уникальная «онтологическая особенность», а следствие калибровочной симметрии . Это общее свойство всего класса калибровочных бозонов: их масса определяется тем, нарушена симметрия или нет. О чем я уже писал в своих комментариях 1 и 2. Выделив фотон в отдельную сущность «без принципиальной возможности массы», вы разрываете это единое структурное основание.

Фактически вы создаёте отдельную категорию объектов с собственной логикой, которая не наследует базовые принципы (калибровочные симметрии, лагранжев подход, механизмы масс). Тогда как в физике это просто один из безмассовых калибровочных бозонов в общей иерархии полей.

Попытка же наделить его «маленькой массой» – это уже не игра с интерпретациями, а переход к совсем другому классу моделей, фактически к другой физике, со своими собственными проблемами, ограничениями и проверками.

UpWinger Nov 16 at 10:54

Максимальная длина волны - это не минимальная масса или энергия, а минимальный импульс. Она ограничена, очевидно, как минимум, размером вселенной. Аналогично, минимальные масса и энергия ограничены временем существования вселенной. Хотя не исключаю, что могут быть и другие ограничения, нам пока не известные

avshkol Nov 17 at 10:35

Думаю, что максимальная длина волны ограничена куда более малыми размерами, чем размеры вселенной - хотя бы потому, что расширение "разорвёт" её, и энергия этой волны или её кусков "потонет" в возмущениях вакуума, поскольку станет с ними сопоставима...

UpWinger Nov 16 at 11:01

масса и энергия никакие здесь не "планковские"

Именно, что планковские - в том смысле, какой он в эти величины вкладывал (в метрологическом)

GlazOtca Nov 9 at 19:44

Статья интересная, но вижу уши от ИИ.

Tyusha Nov 10 at 11:55

И что? Ещё предложу, что её не пером писали, а набивали на компьютере. Статья стала от этого хуже?

avshkol Nov 10 at 14:09

Научные тексты - это тот случай, когда ИИ улучшает текст (если у вас он есть, или хотя бы набор мыслей, которые нужно изложить научным языком) - как правило, человек, если он не дока в методологии и написании научных работ, наделает на порядок больше ошибок, неточностей и недоговоренностей, чем мощный ИИ.

rybakolbasa Nov 10 at 06:06

масса Хиггса, определяющая массы всех известных элементарных частиц

Только бозонов.

После ИИ хорошо бы вычитывать как минимум. Много дословной кальки типа "школа идеи" (school of thought, очевидно).

kapas19 Nov 10 at 08:32

Спасибо за замечание. Уточню: формулировки в основном тексте были сознательно упрощены для широкой аудитории Habr – это статья на Хабре, а не в журнале по физике высоких энергий.

По существу: хиггс даёт массу не только бозонам $W^\pm$ и , но и фермионам – кваркам и лептонам – через юкавские связи. Безмассовые до спонтанного нарушения симметрии члены превращаются в массовые благодаря вакуумному среднему хиггсовского поля:

$L_Y=-y_f \bar{\psi}_L\phi \psi_R + h.c.,\\\braket{\phi}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}0\\v\end{pmatrix}\Rightarrow L_m = -\,m_f\,\bar{\psi}\psi, m_f = \frac{y_f v}{\sqrt{2}}.$

Фотон и глюоны остаются безмассовыми как следствие выбора определённого механизма спонтанного нарушения симметрии в стандартной модели: $SU(2)_L\times U(1)_Y\to U(1)_{EM}$ (ненарушенная симметрия $U(1)_{EM}$ дает безмассовый фотон ), а вовсе не нарушается (глюоны безмассовы), поскольку хиггсовский дублет не несёт цветового заряда. К слову – это бозоны. Но, также замечу, что это осознанный выбор группы, представлений и зарядов, для согласования модели с экспериментом. (Для полноты картины:, $m_Z=\frac{v}{2}\sqrt{g^2+g^{'2}}$ .)

По поводу использования ИИ: что ж, каждый видит в тексте то, что хочет и способен увидеть – и понять.

rybakolbasa Nov 11 at 10:54

У меня профдеформация :). Ничего плохого в том, чтобы сделать boilerplate текст с помощью ИИ, я не вижу, но нужно править. В целом мне статья понравилась, спасибо.

kapas19 Nov 11 at 14:36

Профдеформация? Искренне сочувствую! Сам этим время от времени страдаю... Хотелось бы чтобы у нас с вами это прошло. Вам также большое спасибо в том числе и за оценку статьи! А у меня вдруг вернулось чувство рифмы и получилась неплохая эпиграмма - возможно, в будущем опубликую. Всего вам доброго!
P.S.: А по-поводу "boilerplate" - учту, буду тренироваться чтобы этого не было.

LinkToOS Nov 10 at 12:58

Ученые могут рассчитать, какая прочность будет у крыла самолета изготовленного из ваты. И назовут полученное значение "ватной единицей прочности". А потом прочность крыла из металла выразят в "ватных единицах".
И попробуй доказать что это не имеет смысла. Ведь с математикой то все в порядке, и расчеты проводились учеными.

avshkol Nov 10 at 14:04

Если такие единицы дадут нам максимально возможную прочность и минимально возможную, то это будет иметь смысл. Так и здесь, предполагается, что у пространства и времени есть минимальный "квант" (но с массой и энергией этот фокус не срабатывает...).

LinkToOS Nov 10 at 15:05

Если такие единицы дадут нам максимально возможную прочность и минимально возможную, то это будет иметь смысл.

Вата и металл никак технологически в авиастроении не связаны. Привязывать прочность крыла к вате нет никакого смысла. Но математических ограничений нет. Можно пересчитать, для прикола. Главное не добавлять это в учебники.

Но если какой-нибудь авторитетный конструктор для прикола пересчитает прочность в "ватных единицах", а потом в шутку расскажет про это, то некоторые могут принять это всерьез. А потом уже никто не вспомнит что это была шутка. Так и будут считать в "ватных единицах".

gres_84 Nov 11 at 12:21

Тогда по вашей логике, никакие эталонные или фундаментальные величины не имеют смысла.

Вы измеряете длину самолета в метрах. Метр - это 1/40000 Парижского меридиана в старом определении или расстояние, которое проходит свет за какую-то часть секунды в новой. Ни Парижский меридиан, ни скорость света технологически с авиастроением не связаны.

LinkToOS Nov 11 at 13:17

Не имеет смысла придумывать другие единицы измерения, если уже есть те которые успешно используются.
Если существующая система обладает недостатками, то конечно можно дополнительно к ней (или вместо нее) придумать любую другую систему единиц измерения. Но не нужно искать в этом какую-то фундаментальную суть и ключ к тайнам мироздания.

UpWinger Nov 10 at 13:01

Есть и другие фундаментльные величины, равные единице в планковской системе:

Планковская масса ≈ 2.18·10⁻⁸ kg = ≈21.8 микрограмм (видимая невооружённым взглядом пылинка)
Планковская энергия ≈ 1.96·10⁹ J (взрыв полутонны тротила или сгорание 60 л бензина)
Планковский импульс ≈ 6.5 kg·m/s (типичный импульс винтовочной пули)

Как видим, величины вполне макроскопические, но прохождение физических процессов выше и ниже их ничем не отличается

avshkol Nov 10 at 14:01

Да, и этот факт говорит нам о том, что реальный физический смысл есть только у планковской длины и планковского времени. Т.е. это характеристики "минимального количества пространства-времени", а вовсе не всего, чего угодно!

LinkToOS Nov 11 at 05:55

Да, и этот факт говорит нам о том, что реальный физический смысл есть только у планковской длины и планковского времени.

Потому что они маленькие, и нет явного противоречия здравому смыслу?
Если формулы для расчета п-массы, п-энергии, п-длины, и п-времени, построены по одному и тому же принципу, то фейл любой из них автоматически распространяется на все остальные. То есть сам принцип порочен.

То что значения п-длины и п-времени "выглядят реалистичными", это еще не доказывает что формулы имеют смысл.
Исходно взяты очень малые величины - пп-Планка и гравитационная-п. Когда они обе в числителе, величина очень маленькая. Когда их разносят, величина становится больше на много порядков. Никаких неожиданностей.

avshkol Nov 11 at 06:41

То, что они маленькие, дает просто еще один аргумент/подтверждение в пользу теории квантования пространства и времени. Квантование пространства и времени само по себе подразумевает, что квант - это минимальная единица пространства и времени.

А квантование энергии - только тот факт, что энергия может излучаться и поглощаться порциями, поэтому вывод напрямую "минимальной энергии" и "минимальной массы" скорее всего и некорректен.

kapas19 Nov 11 at 07:10

Согласен, что «квантование энергии» само по себе не даёт «минимальной энергии/массы» – это про дискретность спектров в конкретных системах. Но важный момент: связь планковских масштабов с квантованием пространства-времени – это уже модельная гипотеза (петлевая теория гравитации – LQG, каузальные множества и т.д.), а не следствие размерностей. Из следует лишь характерный масштаб несостоятельности «поля на фиксированном фоне»; дискретность геометрии – отдельное допущение. Поэтому корректно различать:

– предел применимости (Бронштейн: попытка локализации ниже ведёт возможности измерения применительно к гравитации);

– и квантование самой геометрии, которое зависит от выбранной теории и её совместимости с Лоренц-инвариантностью.

Иначе говоря: планковские длина/время – это аргумент «где ломается континуум», но не автоматическое доказательство дискретности пространства-времени - конечно хотелось бы, но от желаемого до реальности – огромная пропасть.

kapas19 Nov 11 at 07:04

Величины не «кажутся более реалистичными» только потому, что они «малые». Речь не о магии чисел, а о том, что на этих масштабах ломается применимость исходных понятий (траектории, поле на фиксированном фоне и т.п.). Здесь нет «вывода из размерностей» как физического обоснования – есть именно аргумент Бронштейна об ограничениях применительно к гравитации. Их малость – лишь индикатор, а не фундаментальный аргумент. Да, «микроскопичность» завораживает воображение, но физический смысл этих масштабов задаётся не величиной чисел, а пределом применимости наших понятий и процедур измерения.

Demuri Nov 10 at 15:24

У меня есть теория объясняются большинство этих проблем. Кому интересно можно посмотреть здесь:

https://github.com/Demuri1971/-.-

Вот короткий вариант:

Теория «Ткань + Избыток»

Единая теория поля, выводящая массы элементарных частиц

🔬 Прорывное открытие

Все массы частиц Стандартной Модели выводятся из фундаментальных констант (ħ, c, G) через два безразмерных параметра с точностью 1.2%.

📐 Основные формулы


[-d²/dx² - A/x + Bx²]ψ(x) = εψ(x)
A= 0.656764, B = 1.003456

📊 Результаты

Частица Уровень (n) Расчет (МэВ) Эксперимент (МэВ) e⁻ 1.0 0.511 0.511 μ⁻ 2.0 105.658 105.658 τ⁻ 3.0 1776.86 1776.86 t-кварк 6.8 173210 173210

👨‍🔬 Автор

Шакая Демури Николаевич

📞 Контакты

89604963220

m9_psy Nov 11 at 20:49

Спасибо за статью! Есть комментарий не про физику. Про людей.

Матвей Бронштейн. В 30 лет - профессор и доктор физмат наук. Ещё будучи студентом читал лекции и публиковался (!). Через 100 лет его работы продолжают разбирать и цитировать. И какова же была его судьба? Добрые люди его расстреляли, натурально, через 15 минут от вынесения приговора. В тот же день, без лишних размышлений. 31 год ему был. "За участие в контрреволюционной организации". Жене его врали, что сослали. Тело бросили неизвестно где, не дали даже похоронить. Небольшое напоминание читающим об истории государства, не всё ж про физику

PabloP Nov 14 at 13:25

Так точно, опять бомбу заложили проклятые. Спасибо за разминирование!

sim2q Nov 16 at 01:34

Об этом есть в статье, целый небольшой раздел.