Здесь вы можете узнать о том, как все 4 уравнения Максвелла, выражаемые через сложные дифференциальные операторы, можно выразить одним единственным уравнением первого порядка очень простой формы.

Видели когда-нибудь все 4 уравнения Максвелла в такой форме?

\left(\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\right) I_2+\partial_k \sigma_k\right)\left(\left(E_m+i c B_m\right) \sigma_m\right)=\frac{1}{\epsilon_0 c}\left((c \rho) I_2+J_n \sigma_n\right)

А в такой?

\nabla_{s t} F=\frac{1}{\epsilon_0 c} J

Если нет, то статья вам поможет узнать много нового.

В основе современной физики лежат дифференциальные уравнения, традиционно записываемые на языке векторного анализа. Такие операторы, как скалярное (·) и векторное (×) произведения, градиент (∇), дивергенция (∇·) и ротор (∇×), являются рабочими инструментами для описания всего, от течения жидкости до распространения света. Однако этот инструментарий, при всей его полезности, имеет фундаментальные ограничения: он искусственно разделяет операции, скрывает глубокие геометрические связи и зачастую работает только в трехмерном пространстве.

Геометрическая алгебра предлагает иной подход, возвращаясь к первоначальной идее Уильяма Клиффорда: создать единую алгебру, в которой сами геометрические объекты — точки, линии, плоскости, объемы — являются элементами вычислений. Это позволяет переписать сложнейшие физические законы в невероятно компактной и интуитивно понятной форме. Давайте разберем, как ГА переосмысливает самые базовые понятия.

0. Предварительные пояснения (написано позже)

При чтении этой статьи у ряда читателей возникли проблемы с пониманием, хотя все необходимые определения тут уже даны. Оказалось, что серьезной проблемой является уже имеющееся представление об операциях сложения и умножения как о функциях, которые отображают два аргумента в какой-то третий. Например, сумма двух чисел дает третье число, скалярное произведение двух векторов дает число, произведение вектора на скаляр дает вектор и так далее. Но это не определ��ние операций, а их интерпретация. Помимо текста ниже я также написал про это статью на Хабре.

В математике операции сложения и умножения задаются просто аксиомами. Здесь используется один вид сложения (обычное) и три вида умножения векторов - скалярное (коммутативное, два вектора дают число), векторное (антикоммутативное, два вектора дают вектор) и геометрическое (просто некоммутативное). В самой геометрической алгебре используются тоже три вида умножения, но вместо скалярного и векторного - внутреннее и внешнее. Скалярное произведение обозначаем точкой, векторное - крестиком, внутреннее как скалярное точкой, потому что для векторов оно совпадает со скалярным, а внешнее символом объединения множеств. Геометрическое произведение обозначаем никак, просто два объекта рядом, например AB.

Любой объект в геометрической алгебре (мультивектор) - это просто формальная сумма объектов разного вида (скаляров, направленных отрезков, площадей, объемов ...). Поскольку мы работаем тут только в 3D, напишу общий вид мультивектора в 3D:

M=\underbrace{\alpha}_{\text {скаляр }}+\underbrace{\left(v_1 e_1+v_2 e_2+v_3 e_3\right)}_{\text {вектор }}+\underbrace{\left(b_1 e_2 e_3+b_2 e_3 e_1+b_3 e_1 e_2\right)}_{\text {бивектор }}+\underbrace{\beta\left(e_1 e_2 e_3\right)}_{\text {тривектор }}

Здесь скаляры - это просто числа, e1, e2, e3 - соответствуют единичным векторам вдоль координатных осей в обычном пространстве. Скаляры называются объектами нулевого ранга, векторы - первого ранга, бивекторы - второго ранга и так далее.

В самом низу статьи есть матричная интерпретация геометрической алгебры. В ней геометрическое произведение интерпретируется как умножение матриц, а операция сложения - как умножение матриц. Вне матричных интерпретаций сложение и умножение следует понимать просто формально (то есть через аксиомы, а не как функции). Проще говоря, сумма вектора и скаляра есть просто сумма вектора и скаляра (и ничего больше за этим не стоит), произведение двух базисных векторов есть базисный бивектор и так далее.

Отдельно следует отметить, что внутреннее произведение для более сложных объектов, чем векторы, работает гораздо сложнее и даже в матричной интерпретации ему никакая простая операция не соответствует. Здесь в тексте встречается внутреннее произведение вектора на бивектор. Это операция, которая проецирует вектор на плоскость бивектора, а потом поворачивает его на 90 градусов. В общем же случае она определяется так.

Пусть r - максимальный ранг объекта в сумме, которая задает мультивектор А. Пусть s - максимальный ранг объекта в сумме, которая задает мультивектор В. Тогда, чтобы получить их внутреннее произведение, нужно геометрически перемножить А и B, упростить, получить третий мультивектор С, и внутреннее произведение равно слагаемому в нем ранга |r-s|.

1. Векторы и новое фундаментальное правило

В ГА вектор — это не просто столбец чисел, а фундаментальный объект, представляющий направленный отрезок. Самое главное и первое правило, которое все меняет, касается произведения вектора на самого себя:

квадрат любого вектора равен квадрату его длины.

\mathbf{v}^2 = \mathbf{v}\mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2

Это простое правило немедленно делает алгебру гораздо богаче, чем обычная векторная алгебра, где произведение vv не определено.

2. Единое геометрическое произведение

Второе ключевое нововведение — это отказ от отдельных скалярного и векторного произведений в пользу одного, более мощного геометрического произведения двух векторов ab. Оно естественным образом содержит в себе обе эти операции:

\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}

  • Симметричная часть: скалярное (внутреннее) произведение

    \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a})

    Это в точности то же самое, что и привычное нам скалярное произведение. Результатом является скаляр, описывающий проекцию одного вектора на другой.

  • Антисимметричная часть: внешнее произведение

    \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{b}\mathbf{a})

    Это новый, гораздо более фундаментальный объект, заменяющий векторное произведение. Результатом является не вектор, а бивектор — ориентированный участок плоскости, заданный векторами a и b, с величиной, равной площади образуемого ими параллелограмма. Бивектор — это математическое воплощение самой идеи "плоскости вращения" или "элементарной площадки".

3. Возвращение к векторному произведению

Привычное нам векторное произведение a × b не исчезает, но оказывается лишь "тенью" более общего внешнего произведения, существующей только в 3D. Оно связано с внешним произведением через псевдоскаляр I = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 (единичный ориентированный объем):

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -I(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})

Это уравнение показывает, что векторное произведение — это операция, которая берет плоскость (a ∧ b) и возвращает перпендикулярный ей вектор (ее дуал). ГА предпочитает работать напрямую с более фундаментальным объектом — плоскостью.

4. Дифференциальные операторы в новом свете

Оператор набла ∇ в ГА трактуется как полноценный векторный оператор. Когда он действует на векторное поле v, его геометрическое произведение ∇v так же распадается на две части:

\nabla\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} + \nabla \wedge \mathbf{v}

  • Дивергенция ∇·v: Это скалярная часть геометрической производной. Она по-прежнему описывает "расширение" или "сжатие" потока в точке.

  • Ротор ∇∧v: Это бивекторная часть геометрической производной. Она описывает "вращение" потока. Результатом является бивектор завихренности Ω, который представляет собой плоскость и интенсивность вращения в точке — гораздо более естественное представление, чем искусственный "вектор оси вращения" ∇×v.

5. Лапласиан в геометрической алгебре

Сначала вспомним, что такое Лапласиан. В классическом векторном анализе оператор Лапласа, действующий на векторное поле \mathbf{v}, определяется тождеством:

\nabla^2\mathbf{v} \equiv \nabla(\nabla \cdot \mathbf{v}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{v})

Это определение верно всегда и для любого векторного поля.

В Геометрической Алгебре оператор Лапласа естественно возникает как квадрат векторного оператора градиента:

\nabla^2 = \nabla \nabla

Когда этот оператор действует на векторное поле \mathbf{v}, мы получаем:

\nabla^2\mathbf{v} = \nabla(\nabla\mathbf{v})

Используя фундаментальное разложение геометрического произведения \nabla\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} + \nabla \wedge \mathbf{v}, мы получаем:

\nabla^2\mathbf{v} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{v} + \nabla \wedge \mathbf{v}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{v}) + \nabla(\nabla \wedge \mathbf{v})

Здесь:

  • ∇(∇·v) — это градиент от скалярной дивергенции.

  • ∇(∇∧v) — это градиент от бивектора завихренности.

Это выражение совпадает с лапласианом, так как

\nabla \cdot(\nabla \wedge \mathbf{v})=-(\nabla \times(\nabla \times \mathbf{v}))

Напишем таблицу соответствия операций векторной алгебры и геометрической

6. Уравнения Максвелла

Обычно электромагнетизм описывается четырьмя уравнениями, связывающими электрическое поле \mathbf{E}, магнитное поле \mathbf{B}, плотность заряда \rho и плотность тока \mathbf{J}.

Эта система выглядит громоздкой и не до конца симметричной. Она разделяет пространство и время, а также электрические и магнитные поля, которые, как мы знаем из теории относительности, являются проявлениями единой сущности.

7. Переход к геометрической алгебре.

Геометрическая алгебра позволяет объединить эти разрозненные объекты в единые.

А) Единое электромагнитное поле F (Бивектор Фарадея)

Мы объединяем вектор электрического поля \mathbf{E} и (псевдо)вектор магнитного поля \mathbf{B} в один-единственный объект — бивектор в пространстве-времени. В контексте 3D ГА + время его часто записывают как мультивектор, где \mathbf{E} — векторная часть, а \mathbf{B} — бивекторная:

F = \mathbf{E} + i c \mathbf{B}

Здесь:

\mathbf{E} — это векторная часть (степень 1).

i = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 — это псевдоскаляр, который превращает вектор \mathbf{B} в дуальный ему бивектор i\mathbf{B} (плоскость вращения).

c — скорость света.

F — это единый, абсолютный геометрический объект, а \mathbf{E} и \mathbf{B} — лишь его компоненты, которые разные наблюдатели видят по-разному.

Б) Единый источник J (4-ток)

Мы объединяем два источника — скалярную плотность заряда \rho и векторную плотность тока \mathbf{J} — в один мультивектор:

J = c\rho + \mathbf{J}

Здесь:

c\rho — это скалярная часть (степень 0).

\mathbf{J} — это векторная часть (степень 1).

В) Единый оператор производной \nabla_{st} (Градиент пространства-времени)

Мы объединяем производную по времени и производную по пространству в один векторный оператор в пространстве-времени:

\nabla_{st} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla

8. Переход к геометрической алгебре.

Теперь все четыре уравнения Максвелла превращаются в одно:

\nabla_{st} F = \frac{1}{\epsilon_0 c} J

Докажем, что это одно уравнение эквивалентно четырем классическим, разложив его по степеням (скаляры, векторы, бивекторы...).

Распишем левую часть:

\nabla_{st} F = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla \right) (\mathbf{E} + ic\mathbf{B})= \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + i\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \nabla \mathbf{E} + ic (\nabla \mathbf{B})

Теперь используем ключевое свойство ГА: геометрическое произведение \nabla\mathbf{v} раскладывается на скалярную часть (дивергенцию ∇·v) и бивекторную часть (ротор ∇∧v).

= \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + i\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf{E} + \nabla \wedge \mathbf{E}) + ic (\nabla \cdot \mathbf{B} + \nabla \wedge \mathbf{B})

Теперь приравняем это к правой части \frac{1}{\epsilon_0 c} (c\rho + \mathbf{J}) = \frac{\rho}{\epsilon_0} + \frac{1}{\epsilon_0 c} \mathbf{J} и сгруппируем члены по их геометрической природе (степени):

Скалярная часть (степень 0):

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}

    Это в точности Закон Гаусса.

Векторная часть (степень 1):

\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + ic(\nabla \wedge \mathbf{B}) = \frac{1}{\epsilon_0 c}\mathbf{J}

 Умножим на c, преобразуем ∇∧B в i(∇×B) и c²=1/(ε₀μ₀):

\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} - \nabla \times \mathbf{B} = -\frac{1}{\epsilon_0 c^2}\mathbf{J} \implies \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

    Это в точности Закон Ампера.

Бивекторная часть (степень 2):

i\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \nabla \wedge \mathbf{E} = 0

Преобразуем ∇∧E в i(∇×E):

i\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + i(\nabla \times \mathbf{E}) = 0 \implies \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

 Это в точности Закон Фарадея.

Тривекторная (псевдоскалярная) часть (степень 3):

ic(\nabla \cdot \mathbf{B}) = 0 \implies \nabla \cdot \mathbf{B} = 0

Это в точности Закон Гаусса для магнетизма.

9. Почему это лучше?

Система уравнений Максвелла, выраженная в геометрической алгебре, не просто короче. Она раскрывает глубинную структуру электромагнетизма, показывая, что четыре знаменитых закона — это лишь "проекции" одного фундаментального геометрического принципа на разные "измерения" (скаляры, векторы, бивекторы).

10. Переход к матрицам.

Сначала мы должны установить однозначное соответствие между объектами нашей теории и матрицами. Вся алгебра 3D пространства-времени, необходимая для этого, изоморфна алгебре комплексных матриц 2x2. Используем базис матриц Паули.

Скаляры в геометрической алгебре представляем так

s \cdot I_2=\left(\begin{array}{cc}s & 0 \\0 & s\end{array}\right)

Векторы представляются вот так

\begin{aligned}& V=v_k \sigma_k =\left(\begin{array}{cc}v_3 & v_1-i v_2 \\v_1+i v_2 & -v_3\end{array}\right)\end{aligned}

Бивекторы представляются вот так

i B=i\left(B_k \sigma_k\right)

Тривектор (псевдоскаляр):

i \cdot I_2=\left(\begin{array}{ll}i & 0 \\0 & i\end{array}\right)

Электромагнитное поле F = \mathbf{E} + ic\mathbf{B}: это мультивектор, состоящий из векторной части (\mathbf{E}) и бивекторной части (ic\mathbf{B}). Его матричное представление — это одна комплексная матрица, построенная из матриц Паули:

    F_{mat} = E_k\sigma_k + i c (B_k\sigma_k) = (E_k + icB_k)\sigma_k

    Это бесследовая матрица 2x2.

Источник J = c\rho + \mathbf{J}:

это мультивектор, состоящий из скалярной части (c\rho) и векторной части (\mathbf{J}).

J_{source} = (c\rho)I_2 + J_k\sigma_k = \begin{pmatrix} c\rho+J_3 & J_1-iJ_2 \\ J_1+iJ_2 & c\rho-J_3 \end{pmatrix}

Это общая (имеющая след) комплексная матрица 2x2.

Оператор производной \nabla_{st} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla:

Это оператор, который также является мультивектором (скалярная + векторная часть).

    Nabla_{st} = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\right)I_2 + \partial_k\sigma_k

Итак, мы получили систему уравнений Максвелла в матричной форме.

\left( \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\right)I_2 + \partial_k\sigma_k \right) \left( (E_m + icB_m)\sigma_m \right) = \frac{1}{\epsilon_0 c} \left( (c\rho)I_2 + J_n\sigma_n \right)

Можно обратить внимание, что левая часть имеет следующую структуру:

LHS = \frac{1}{c}\frac{\partial F_{mat}}{\partial t} + \underbrace{(\partial_k(E_k + icB_k))I_2}_{\text{Скалярная часть}} + \underbrace{i\epsilon_{kmn}\partial_k(E_m + icB_m)\sigma_n}_{\text{Векторная часть}}

В форме матриц:

\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \cdot I_2+N a b l a\right) F_{m a t}=\frac{1}{\epsilon_0 c} J_{s o u r c e}

11. Добавление.

В отклике на статью попросили обосновать соответствие, используемое тут

\nabla \cdot(\nabla \wedge \mathbf{v})=-\nabla \times(\nabla \times \mathbf{v})

Давайте обозначим ротор вектора маленькой буквой омега, а его аналог в ГА - большой. Тогда нужно будет доказать соотношение:

\mathbf{v} \cdot \Omega=-(\mathbf{v} \times \omega)

Дело в том, что оно работает для любой пары вектора и бивектора. Докажем это.

Метод 1: Алгебраическое доказательство (через дуальность)

Этот метод использует концепцию дуальности, связывающую векторы и бивекторы через псевдоскаляр i = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3.

1. Определения:

  • Бивектор завихренности: \Omega = \nabla \wedge \mathbf{v}

  • Вектор ротора: \mathbf{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}

  • Связь через дуальность: Как мы строго установили ранее (используя матрицы Паули), бивектор Ω в ГА является дуалом вектора ω, и их связь выражается как:

    (Здесь i — псевдоскаляр, а не \sqrt{-1}, хотя в матричном представлении они совпадают).

2. Ключевое тождество:
В 3D геометрической алгебре существует тождество, связывающее внутреннее произведение, внешнее произведение и псевдоскаляр:

\mathbf{a} \cdot (i\mathbf{b}) = i(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})

Геометрический смысл: Внутреннее произведение вектора a с плоскостью ib дает новый вектор, который является дуалом (перпендикуляром) к плоскости a∧b.

3. Вывод:
Начнем с левой части нашего выражения v · Ω и подставим в него Ω = iω:

\mathbf{v} \cdot \Omega = \mathbf{v} \cdot (i\mathbf{\omega})

Теперь прямо применяем наше ключевое тождество, где a = v и b = ω:

\mathbf{v} \cdot (i\mathbf{\omega}) = i(\mathbf{v} \wedge \mathbf{\omega})

Теперь нам нужно вспомнить, как в ГА выражается векторное произведение. Его определение через внешнее произведение и псевдоскаляр:

\mathbf{v} \times \mathbf{\omega} \equiv -i(\mathbf{v} \wedge \mathbf{\omega})

Сравнивая два последних выражения, мы видим, что:

i(\mathbf{v} \wedge \mathbf{\omega}) = -(\mathbf{v} \times \mathbf{\omega})

Таким образом, мы доказали:

\mathbf{v} \cdot \Omega = -(\mathbf{v} \times \mathbf{\omega})

Метод 2: Доказательство в координатах (через матрицы Паули)

Этот метод является самым строгим, так как он не полагается на запоминание тождеств, а выводит результат из фундаментальных правил алгебры.

1. Определения в матричном представлении:

  • Вектор \mathbf{v} \leftrightarrow V = v_k\sigma_k

  • Вектор \mathbf{\omega} \leftrightarrow W = \omega_k\sigma_k

  • Бивектор \Omega \leftrightarrow \Omega_{mat} = iW = i(\omega_k\sigma_k)

2. Определение внутреннего произведения в ГА:
Внутреннее произведение (левая контракция) вектора a и бивектора B определяется через антисимметричную часть их геометрического произведения:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{B} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{B} - \mathbf{B}\mathbf{a})

В матричном представлении это соответствует коммутатору, умноженному на i/2:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{B} \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{2}(AB - BA) \quad \text{если B - бивектор}

В матричном представлении:

\mathbf{v} \cdot \Omega \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{2}(V\Omega_{mat} - \Omega_{mat}V)

3. Вычисление:
Подставляем \Omega_{mat} = iW:

\mathbf{v} \cdot \Omega \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{2}(V(iW) - (iW)V) = \frac{i}{2}(VW - WV) = \frac{i}{2}[V, W]

Коммутатор матриц Паули равен:

[V, W] = 2i(\mathbf{v} \times \mathbf{\omega})

(Это соответствует матрице 2i * Matrix(v×ω)).

Подставляем этот результат обратно:

Таким образом, соответствие доказано.

12. Отдельный вопрос про волновое уравнение.

Уравнение с градиентом пространства-времени не похоже на обычное волновое уравнение. Но это именно оно. Чтобы понять это, нужно попробовать возвести уравнение в квадрат

\left(\frac{1}{c} \partial_t+\nabla\right)\left(\frac{1}{c} \partial_t+\nabla\right)=\frac{1}{c^2} \partial_t^2+\underbrace{2 \frac{1}{c} \partial_t \nabla}_{\text {лишний член }}+\nabla^2

Здесь \frac{1}{c} \partial_t - это скалярный оператор, а \nabla - это векторный 3D-оператор

( \nabla=e_1 \partial_x+e_2 \partial_y+e_3 \partial_z ).

Перекрестный член не сокращается. Тог��а домножим на сопряженное.

\left(\frac{1}{c^2} \partial_t^2-\Delta\right) F=\bar{D} J

Вот и получили волновое уравнение.

Впрочем, для понимания происходящего можно выписать полностью этот дифференциальный оператор, записанный в левой части

N a b l a_{s t}=\left(\begin{array}{ll}\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y} \\\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y} & \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right)

А при домножении на сопряженную матрицу слева получается

Первая матрица в физике называется оператором Дирака, а вторая - оператором Клейна-Гордона-Фока. Интересно то, что то, что выведено - алгебра, которая изоморфна геометрии 4D-пространства-времени. При этом использовалось только 3D, это всё само возникло.