master_program Oct 20 at 01:17

Уравнения Максвелла и геометрическая алгебра

Hard

9 min

12K

Tutorial

+31

Comments 65

GospodinKolhoznik Oct 20 at 04:12

бивектор — ориентированный участок плоскости, заданный векторами a и b, с величиной, равной площади образуемого ими параллелограмма.

Очень понятно написано. Бивектор складывается с числом. Значит это тоже число. Ну там говорится ещё про ориентацию плоскости. А ориентация плоскости в трехмерном пространстве определяется направлением нормали к плоскости. Значит это не число, а пара чисел, определяющих направление и ещё одно число, задающее размер площади. Но как тройку чисел сложить со скаляром? Т.е. это и не сложение вовсе, а какая то неведомая операция. Или все же одно число, а ориентация плоскости задаётся знаком - положительная или отрицательная, может имеется ввиду ориентация вдоль какой то оси? Но какой? Очень хорошее объяснение.

Возможно все было бы понятнее, если бы у каждой операции была написана её сигнатура. Особенно здесь на Хабре это было бы актуально.

flx0 Oct 20 at 04:52

Элементы алгебры - это мультивекторы: формальные суммы k-векторов для различных k. Сложение тривектора с числом - это обычное сложение в смысле сложения в линейном векторном пространстве мультивекторов.

GospodinKolhoznik Oct 20 at 05:40

Это прекрасно. Если я правильно понял, статья написана для тех, кто уже и так знает всё, что написано в статье.

flx0 Oct 20 at 07:07

Ну, автор уже писал про алгебры Клиффорда раньше. И я тоже писал. И другие писали. На хабре даже тег есть. Было бы странно каждую статью про них начинать со введения.

CaptainFlint Oct 20 at 14:09

А почему нет? Вполне уместно было бы предупредить читателя, что для понимания материала необходимо ознакомиться с такими-то статьями. Теги — это, конечно, хорошо, но, во-первых, они в самом конце; во-вторых, они предполагаются для обозначения тематики, а не для указания областей знаний, которыми должен владеть читатель.

Формат Хабра не предполагает неявных взаимосвязей между постами, и если такая связь имеется, то считается хорошим тоном об этом явно сообщать. Глупо предполагать, что читатель предварительно полезет в профиль автора и начнёт перечитывать все публикации от начала времён. А если это был не один автор, а коллектив?

master_program Oct 20 at 20:26

Ну тут дело в том, что весь необходимый материал для понимания формул в этой статье есть. Геометрическое произведение определено данными формулами полностью. Другое дело, что для полного понимания нужно конечно дать полноценное введение в геометрическую алгебру, но это нужно отдельную статью писать.

Сам комментарий был связан с непониманием как они складываются, но никакого ответа за этим нет - это формальная сумма. То есть они никак не складываются в том смысле, в котором спрашивается.

В данном конкретном случае, видимо, стоило написать о том, что суммы бывают формальные. В ближайшее время я отредактирую статью.

CaptainFlint Oct 20 at 23:37

Главное непонимание (по крайней мере, у меня) было связано с тем, что нет почти ни одного явного определения. Даже банального: с какими пространствами мы вообще работаем и как устроены всякие операции. Сначала говорится про обычные векторы. Тут же вопрос: сколько измерений, над каким полем? Не сказано. ОК, видимо, произвольные абстрактные. Потом речь идёт про скалярные и векторные произведения, что тут же сужает область определения до трёх или семи измерений; видимо, всё-таки три, ибо 7 — экзотика. Дальше вводится геометрическое произведение, которое, цитирую, "естественным образом содержит в себе обе эти операции", и приводится формула , где операция никак не определяется (вернее, определяется, но рекурсивно, через само же геометрическое произведение). Вынужденно делаю предположение, что раз сказали "содержит обе операции", а первая часть суммы — скалярное произведение, то вторая — это векторное произведение. Странно, что не стандартным крестиком умножения, но предположим. И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? Непонятно. Предположил для себя, что скаляр и вектор тензорно домножаются на единичный вектор соответствующего партнёра и уже в результирующем 4-мерном пространстве оба суммируются. Но верна ли эта картинка — без понятия. Читаем дальше, и выясняется, что — это всё-таки не векторное произведение, а какая-то хтонь неведомая, возвращающая бивектор. Здравствуй ещё один неизвестный термин, а главное, это по-прежнему не объясняет, каким образом этот бивектор складывается со скаляром. Ну, наверное, так же, как я выше предположил, разве что вместо получается, скорее всего, (опять сомнения). Далее вводится "псевдоскаляр" $I = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3$ . Что это вообще такое? Почему "скаляр" и почему "псевдо"? Что за $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3$ ? Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. Дальше этот псевдоскаляр , кем бы он ни был, то ли умножается на , то ли работает как функция с аргументом. Опять никаких определений, гадайте сами…

И так далее, и тому подобное. Буквально на каждом шагу такие вот спотыкалки. Какие-то вещи более-менее угадываются или предполагаются, какие-то проясняются задним числом после прочтения большей части статьи, а какие-то так и остаются вечной загадкой. В итоге получается не чтение, а сплошное гадание.

Я понимаю, что одна статья не может покрыть всё. Потому и говорю: если все эти определения есть где-то в другом месте, то надо дать в начале текста ссылку, по которой можно ознакомиться с базовыми терминами, необходимыми для понимания текста.

master_program Oct 21 at 06:29

Мы имеем дело с трехмерным пространством. Там же написано - скаляры, векторы, бивекторы и псевдоскаляры, больше ничего.

"И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? "

Можно. Это формальная сумма, она никуда не действует.

Видите, в чем проблема. Даже после того, как я написал вам, что это формальная сумма и ответа, который вы ищете, просто нет, вы по-прежнему отказываетесь его принимать. А никакого другого ответа на ваш вопрос просто и нет. Эта операция никуда не действует, а свойства у нее точно такие же, как у обычного сложения.

Возможно, было бы понятнее, если бы я в статье сразу написал, что операция сложения эта никуда не действует (то есть сумма вектора и бивектора, это просто вектор плюс бивектор, и никакого другого смысла за этим нет), а ее свойства полностью совпадают со свойствами обычного сложения.

master_program Oct 21 at 06:31

" Далее вводится "псевдоскаляр" $I = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3$ . Что это вообще такое? Почему "скаляр" и почему "псевдо"? "

Скаляр - потому что он не связан ни с какими направлениями в пространстве. А псевдо - потому что его квадрат равен минус единице.

Но вообще это несущественный вопрос, в данном случае псевдоскаляр - это просто общепринятое название мультивектора максимального ранга.

Это просто вопрос о названии, а не об определении.

master_program Oct 21 at 06:34

" Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "

Предусмотрено. Там даже всё написано

e1*e2 = e12 - это бивектор

e1*e2*e3 = e123 - это псевдоскаляр (тривектор).

Никаких других определений вообще-то и нет.

master_program Oct 21 at 06:36

"Здравствуй ещё один неизвестный термин, а главное, это по-прежнему не объясняет, каким образом этот бивектор складывается со скаляром. "

Бивектор со скаляром складывается формально. В тексте написано, что такое бивектор - это просто упорядоченная пара векторов (там даже точнее сформулировано - площадка, мерой которой является площадь и ориентация, потому что две разные площадки с одинаковой площадью и ориентацией в пространстве будут равны между собой).

master_program Oct 21 at 06:37

". Предположил для себя, что скаляр и вектор тензорно домножаются на единичный вектор соответствующего партнёра и уже в результирующем 4-мерном пространстве оба суммируются. Но верна ли эта картинка — без понятия. "

Эта картинка абсолютно неверна.

master_program Oct 21 at 06:47

"Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "

Это не так, в тексте это уже предусмотрено. Сумма скаляра с бивектором при умножении на вектор дает сумму вектора с тривектором, потому что вектор умножить на скаляр дает вектор, вектор умножить на бивектор дает тривектор. Если интересно, как выразить это через обычные векторные операции, то будет вот так.

$a b c=\underbrace{(a \cdot b) c-a(b \cdot c)+b(a \cdot c)}_{\text {Векторная часть }}+\underbrace{(a \cdot(b \times c)) e_1 e_2 e_3}_{\text {Тривекторная часть }}$

Можете через определения, данные в статье, сами это вывести.

master_program Oct 21 at 06:55

" Дальше этот псевдоскаляр , кем бы он ни был, то ли умножается на , то ли работает как функция с аргументом. "

Он просто умножается. Не надо ничего лишнего додумывать.

master_program Oct 21 at 06:57

"Тут же вопрос: сколько измерений, над каким полем? Не сказано. "

То, что написано в первых двух пунктах, работает для пространства с любым количеством измерений. А в третьем пункте уже написано, что дальше мы работаем с 3D.

master_program Oct 21 at 07:03

Я так понимаю, ваша главная проблема с пониманием в том, что вы считаете, что сложение и умножение - это некоторые функции от двух аргументов, которые отображают их в какое-то другое третье пространство.

Но в математике то это не так. Сложение и умножение - это просто операции, заданные аксиомами сложения и умножения.

Ну я могу написать это в начало статьи, чтобы было понятнее.

Pshir Oct 21 at 14:17

Сложение и умножение - это просто операции, заданные аксиомами сложения и умножения.

Так вам и пишут, что хорошим тоном считается оставить ссылку на текст, где эти аксиомы приведены, раз вы их уже где-то написали раньше, и повторяться не хотите.

master_program Oct 21 at 15:26

Так это общеизвестные аксиомы: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность. А именно:

X + Y = Y + X
(X + Y) + Z = X + (Y + Z)
X*(Y*Z) = (X*Y)*Z
(X+Y)*Z = X*Z + Y*Z

Только коммутативности умножения тут нет из обычных аксиом. Но это в тексте написано.

Видимо да, стоило написать, что это имеется в виду.

Zenitchik Oct 24 at 11:23

каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором?

Про кватернионы слышали?

master_program Oct 20 at 09:35

Бивектор - это упорядоченная пара векторов, а не число. В геометрической алгебре скаляры складываются с векторами и упорядоченными множествами векторов.

Здесь же начало статьи как раз и вводит все базовые операции с нуля. Там все правила, по которым действуют в геометрической алгебре, как раз написаны, как и то, что бивектор не является ни числом, ни вектором, а ориентированной площадкой.

master_program Oct 20 at 09:37

Я дал к тому же матричную расшифровку через матрицы Паули в этой статье.

Если чистая алгебра из начала статьи кажется непонятной (хотя тех определений достаточно), можно просто попробовать на матрицах это увидеть всё.

master_program Oct 21 at 07:33

На основе Ваших комментариев вписал в статью вот это введение, которое должно покрыть все вопросы, которые Вы задали.

master_program Oct 21 at 10:35

Написал еще отдельную статью https://habr.com/ru/articles/958666/ , чтобы ответить на вопросы в комментариях здесь.

VAF34 Oct 20 at 08:50

Производит впечатление некой формы записи известного явления, для осуществления которой пришлось вводить не совсем очевидные определения. А есть ли примеры задачи, которая была решена, благодаря использованию новой формы уравнений?

master_program Oct 20 at 09:56

Во-первых, приблизительно таким образом были созданы сами уравнения Максвелла. Правда, Максвелл записал их в виде "комплексных кватернионов", но такая запись более-менее эквивалентна тому, что написана здесь. Кватернионы - тоже элементы алгебры Клиффорда (они соответствуют сумме скаляра и бивектора), и его запись получается из этой умножением на тривектор или мнимую единицу (у Максвелла электрическое поле вещественная часть кватерниона, магнитное - мнимая, а это собственно означает, что он электрическое поле определил как бивектор, а магнитное как вектор, а здесь всё сделано ровно наоборот - и способ, сделанный здесь, более правильный).

Почитать об этом можно в работе самого Максвелла J.C. Maxwell. A treatise on electrisity and magnetism. v.2 p. 257(618) "Quaternion expressions for electromagnetic equations", а также тут On the Notation of Maxwell's Field Equations .

Во-вторых, можно применять в численных методах. Очень популярным является алгоритм FDTD Метод конечных разностей во временной области — Википедия .

Этот алгоритм придуман без геометрической алгебры, но является частным случаем ее реализации. Геометрическая алгебра позволяет писать координатно-независимые вычислительные схемы на произвольных сетках, в которой скаляры соответствуют вершинам, векторы ребрам, а бивекторы - граням. FDTD можно вывести как частный случай реализации такого подхода ГА к моделированию, примененного к обычной декартовой сетке в 3D (в схеме Йи как раз векторы напряженности поля соответствуют ребрам кубиков, а векторы магнитного поля - их граням).

В-третьих, есть вопрос педагогический. То, что здесь в статье описано, гораздо понятнее, чем то изложение уравнений Максвелла, которое обычно используется в учебниках.

Pshir Oct 20 at 23:22

у Максвелла электрическое поле вещественная часть кватерниона, магнитное - мнимая

Это как так? У Максвелла вещественная часть кватерниона - скаляр. А электрическое поле у Максвелла явно не является скаляром.

а это собственно означает, что он электрическое поле определил как бивектор

А можно пояснить?

В-третьих, есть вопрос педагогический. То, что здесь в статье описано, гораздо понятнее, чем то изложение уравнений Максвелла, которое обычно используется в учебниках.

Вы это сейчас серьёзно? Этот способ математически более изящный, но полностью отбрасывает физический смысл происходящего.

master_program Oct 21 at 06:02

У Максвелла электромагнитное поле - это комплексный векторный кватернион. Имеется в виду, что его вещественная часть - это векторный кватернион (бивектор) и мнимая тоже векторный кватернион (бивектор). Никакого скаляра там нет.

Кватернион - это сумма скаляр + бивектор.

Векторный кватернион - это без скаляра, просто бивектор.

Pshir Oct 21 at 14:20

Имеется в виду, что его вещественная часть - это векторный кватернион (бивектор) и мнимая тоже векторный кватернион (бивектор).

В приведённых вами же ссылках написано не это. Точнее, написано не так, как вы это описываете.

master_program Oct 21 at 06:18

Напишу развернутый ответ на основе relworld_08.pdf .

В кватернионной форме вся система уравнений Максвелла выглядит вот так

$\overline{\mathbb{D}} \mathbb{F}=4 \pi \overline{\mathbb{J}} .$

Компоненты кватерниона тока $\mathbb{J}$ являются плотностями заряда $\rho$ и тока $\mathbf{j}$ :

$\mathbb{J}=\rho+\mathbf{j} \boldsymbol{\sigma}, \quad \overline{\mathbb{J}}=\rho-\mathbf{j} \boldsymbol{\sigma},$

где черта над кватернионом - это его сопряжение (смена знака в векторной части). Аналогично определяется кватернион производной:

$\mathbb{D}=\partial_0-\boldsymbol{\sigma} \nabla, \quad \overline{\mathbb{D}}=\partial_0+\boldsymbol{\sigma} \nabla .$

4 -вектор производной с верхним индексом имеет компоненты $\partial^\nu=\partial / \partial x_\nu=\left\{\partial_0,-\nabla\right\}$ .

Так как с любым 4-вектором $A^\nu=\left\{A^0, \mathbf{A}\right\}$ мы связываем кватернион $\mathbb{A}=A^0+\mathbf{A} \boldsymbol{\sigma}$ , а пространственные компоненты 4 -вектора $\partial^\nu$ содержат знак минус, он появляется и в векторной части кватерниона производной. Норма кватерниона производной равна оператору Д'Аламбера:

$\mathbb{D} \overline{\mathbb{D}}=\mathbb{I} \partial^2=\mathbb{I}\left(\partial_0^2-\Delta\right) .$

Наконец, третья величина является кватернионом напряженности электромагнитного поля:

$\mathbb{F}=\mathrm{f} \sigma .$

Он не имеет скалярной части, а его векторная часть комплексна:

$\mathbf{f}=\mathbf{E}+\imath \mathbf{B},$

master_program Oct 21 at 06:23

Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор, а уравнения Максвелла - это обычное волновое уравнение для мультивектора.

Все известные со школьного курса законы электромагнетизма - это уравнения на разные отдельные части мультивектора.

Pshir Oct 21 at 14:26

Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор

Привязка к конкретной математической структуре - это не физический смысл. Физический смысл - это связи между измеримыми величинами. И он никак не зависит от конкретного вида математического описания.

dyanishev Oct 20 at 11:30

А что-то такое же красивое для Навье-Стокса можно соорудить?

master_program Oct 20 at 11:57

Я уже соорудил как раз вчера, и именно из-за этого тут решил написать аналогично тему гораздо попроще. Но там не настолько красивое вышло, и очень странное (очень сильно напоминает квантовую механику).

Надо там повозиться ещё. Я думаю в ноябре дать это повозиться студентам в ВШЭ на мероприятии под названием "математический воркшоп". Оно будет ориентировочно 15 ноября, участвовать могут не только студенты ВШЭ.

Здесь размещу в ноябре объявление, в хаб "я парюсь", наверное. С рассказом о прошлом воркшопе.

Jeshua Oct 22 at 04:10

И для Шрёдингера тоже сделайте, пожалуйста. Вот красивое про Навье-Стокса и Шрёдингера: https://habr.com/ru/articles/949498/

А может получится все три в одном совместить)

master_program Oct 22 at 08:51

Хорошо, попробую. Спасибо за статью!

grozin Oct 20 at 13:27

Ну не знаю. Мне больше нравится запись уравнений Максвелла, когда их Лоренц-инварианьность очевидна: \partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu, \partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0. Время и пространственные координаты должны быть на равных основаниях, мы живём в 4-мерном пространстве-времени. Электрическое и магнитное поле, конечно, должны быть компонентами единого объекта - тензора поля F^{\mu\nu}, тогда их свойства при преобразованиях Лоренца очевидны. А если когда-нибудь откроют магнитные монополи, добавим 4-вектор магнитного тока в правую часть второго уравнения. А Ваша форма записи какая-то кривая с точки зрения пространства Минковского.

master_program Oct 20 at 13:44

В мою форму записи сразу встроена метрика Минковского. Преимущество над тензорной в том, что тензорная на координаты завязана, а моя форма является независимой от выбранной системы координат (то есть геометрические величины я сразу могу при необходимости определять в любой версии координат, форма уравнений от этого не меняется).

Кватернионная форма Максвелла, хотя эквивалентна моей, ближе к современным формам записи, чем моя, потому что кватернион и 4-вектор тут - это одно и то же.

Чтобы в моей записи получить Лоренц-инвариантность, нужно расписать применение ротора

$F^{\prime}=R(\mathbf{E}+i \mathbf{B}) R^{-1}$

Но похоже да, вариант, который Максвелл нашел изначально, всё же лучше с точки зрения того, чтобы описывать это все сразу в пространстве Минковского.

У него же там

(оператор-вектор)(поле-бивектор) = (источник-вектор)

У бивектора квадрат, собственно, такой же как в пространстве Минковского.

Надо написать отдельную статью про это.

Pshir Oct 21 at 00:00

В мою форму записи сразу встроена метрика Минковского.

Метрика Минковского встроена в уравнения Максвелла, а не в вашу форму записи. А вот что действительно встроено в вашу форму записи - это чисто эмпирический факт отсутствия магнитных монополей. И это, мягко говоря, странно. Потому что, либо магнитные монополи действительно физически невозможны, и ваша форма записи имеет место быть. Либо они таки существовать могут, и ваша форма записи превращается в тыкву. То есть, на самом деле, вы делаете очень сильное необоснованное заявление о невозможности магнитных монополей.

master_program Oct 21 at 06:26

В мою форму записи не встроено отсутствие монополей.

В правой части уравнения есть скаляр заряда и вектор тока.

Монополи сюда можно ввести как тривектор в правой части.

Кроме того, там еще может быть бивектор - видимо, это монопольный ток (аналогичный току движения зарядов).

Так что никакого запрета на монополи самого по себе тут нет.

master_program Oct 20 at 14:01

Тут ведь вся суть во введенном градиенте пространства-времени, смысл его в том, что мультивектор электромагнитного поля подчиняется волновому уравнению, а скорость света - предельная скорость распространения волны.

Но тогда в такой интерпретации нет фундаментально никакого пространства Минковского. Я всё строил в евклидовом 3-мерном пространстве, никакого 4-мерного пространства-времени не вводил, а Лоренц-инвариантность тут возникает из-за волнового уравнения.

Pshir Oct 20 at 23:44

а Лоренц-инвариантность тут возникает из-за волнового уравнения

Во-первых, вы его даже не написали. Во-вторых, даже если бы написали, то из релятивистской инвариантности волнового уравнения не следует релятивистская инвариантность уравнений Максвелла. В третьих, неужели релятивистская инвариантность волнового уравнения становится более очевидной в предложенной вами форме записи, с учётом того, что уже в традиционной форме записи там всё максимально прозрачно?

master_program Oct 21 at 06:04

Вот это и есть волновое уравнение

$\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \cdot I_2+N a b l a\right) F_{m a t}=\frac{1}{\epsilon_0 c} J_{s o u r c e}$

Градиент пространства-времени, написанный слева, как раз и описывает лоренц-инвариантность. Ну в уравнениях Максвелла самих он не столь очевиден, это надо еще его выводить, ротор от ротора вычислять, одни уравнения в другие подставлять.

Да, в этой записи лоренц-инвариантность намного очевиднее.

Вы пишите

"из релятивистской инвариантности волнового уравнения не следует релятивистская инвариантность уравнений Максвелла"

Так в том то и дело, что в этой форме записи через геометрическую алгебру все 4 уравнения Максвелла превращаются в одно волновое уравнение на мультивектор.

А в записи, принятой в современных учебниках, связь между волновым уравнением и уравнениями Максвелла совершенно не очевидна.

Pshir Oct 20 at 23:14

Можно, пожалуйста, прояснить, каким образом в данной форме записи становится очевидна релятивистская инвариантность?

Crd1 Oct 21 at 05:50

Спасибо автору. теперь я не хочу в физмат

khdavid Oct 21 at 10:54

Спасибо за статью. Бивектор Фарадея очень напоминает Тензор электромагнитного поля:

Для которого уравнения Максвелла тоже очень просто записываются:

Первая пара уравнений

Мой вопрос к автору: можно ли провести четкую связь между бивектором фарадея, описанным в статье, и с тензором электромагнитного поля? На глубинном уровне, это, грубо говоря, не одно и то же?

master_program Oct 21 at 11:11

В этой моей статье описан оригинальный способ построения уравнений Максвелла через геометрическую алгебру. По крайней мере, я своего способа нигде не видел раньше и найти не удается, придумал сам. У самого Максвелла строилось через кватернионы.
Кватернионный способ построения ГА соответствует тому, как мы бы строили электродинамику через пространство Минковского. Мой способ - строим просто мультивектор в 3D, никакого времени как дополнительного измерения, а затем пишем на него волновое уравнение. Вся лоренц-инвариантность и тому подобное - это просто свойства волнового уравнения.

Теперь в контексте этого ответ на ваш вопрос. Тензор энергии-импульса строится уже сразу в 4-мерном пространстве-времени Минковского. Эти 4-векторы в нем являются кватернионами в алгебре Клиффорда в 4-мерном пространстве времени. А у меня тут 3D пространство и время как отдельный параметр, который появляется только в момент написания волнового уравнения (градиента пространства-времени).

Можно провести глубинную связь с кватернионной записью ГА. А еще можно мою запись превратить в кватернионную, показать изоморфизм между ними. Это тема отдельной статьи.

master_program Oct 21 at 13:36

На фэйсбуке знакомый нам обоим физик-теоретик из США написал интересную вещь.

"Кватернионная форма уравнений Максвелла заточена под 3 пространственных измерения. В этом случае электрическое и магнитное поля имеют одинаковое количество компонент. В других измерениях это не так: число компонент магнитного поля определяется числом пространственных плоскостей. "

Так тензор электромагнитного поля тоже имеют эту проблему.

А моя форма записи этих проблем не имеет. Моя мультивекторная запись электромагнитного поля позволяет единым образом описать электродинамику в любом количестве измерений, там одно и то же волновое уравнение на мультивектор.

khdavid Oct 21 at 14:19

Интересно, спасибо. А во многих измерениях, разве есть понимание, как уравнения Максвелла будут выглядеть? Другими словами, есть ли какая-нибудь разумная процедура, по-типу минимизации действия? Или, по-другому выражаясь, есть ли разумный лангранжиан для многих измерений?

master_program Oct 21 at 15:42

Насколько я понимаю, этот вопрос решен у теоретиков через многомерную дифференциальную геометрию. Тут я строю альтернативный подход - и, судя по комментариям на фэйсбуке от физиков-теоретиков, которые этим профессионально занимаются, он дает те же самые теории, но иным способом и в иной формулировке.

khdavid Oct 21 at 17:49

Спасибо! А для трехмерного случая, изложенного вами, получится написать что-то наподобие лагранжиана? Ведь физики очень любят принцип минимального действия, и все фундаментальные законы получают из него.

Pshir Oct 21 at 15:09

Моя мультивекторная запись электромагнитного поля позволяет единым образом описать электродинамику в любом количестве измерений, там одно и то же волновое уравнение на мультивектор.

Правильно ли я понимаю, что для обобщения на любое количество измерений в вашем представлении, электромагнитное поле должно быть не суммой вектора (E) и бивектора (B), а уже суммой вектора (E), бивектора (B), тривектора (который теперь уже не является псевдоскаляром), квадривектора, ну и так далее, в зависимости от количества пространственных измерений? Тогда было бы полезно описать, что является результатом действия оператора набла на бивектор, тривектор и так далее в пространстве более высокой размерности.

master_program Oct 21 at 15:40

Да, правильно понимаете. Действие оператора набла полностью аналогично расписывается в символьной записи. Просто у вас базисные вектора теперь не e1, e2, e3, а e1, e2, .... , en. А вот матричные представления алгебры Клиффорда будут куда сложнее обычных матриц Паули.

Да, я в этой статье не расписал подробно про оператор набла в алгебре Клиффорда. И почему матричное представление именно такое, как написано. Надо отдельную статью про это написать и тогда сюда в эту статью вставлю ссылку.

master_program Oct 21 at 16:49

Ну формулы то в общем такие же

$\nabla=\sum_{i=1}^n e_i \frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^n e_i \partial_i$

$\nabla M=\nabla \cdot M+\nabla \wedge M$ $\nabla \cdot M=\langle\nabla M\rangle_{k-1}=\sum_{i=1}^n e_i \cdot\left(\partial_i M\right)$

Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга

Но самое красивое то, что уравнения Максвелла являются в итоге волновым уравнением на мультивектор, которое выглядит абсолютно одинаково в любой размерности пространства и в любой системе отсчета.

Pshir Oct 21 at 17:44

Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга

Да, вот это интересно было бы увидеть. Даже не столько формулу, сколько геометрический смысл.

master_program Oct 21 at 21:23

На фэйсбуке один знакомый физик-теоретик из США, который как раз занимается теорией поля и магнетизмом, написал, что скептически относится к этой затее с мультивекторами, потому что то же самое делают дифференциальные формы.

Ну то же самое может быть, однако формализм другой. Он прислал https://gemini.google.com/share/943fc676cffd

Написал он мне.

"Ваше скалярное уравнение (закон Гаусса) получается если взять 1-форму электрического поля, получить дуальную ей 2-форму с помощью оператора Ходжа, чья внешняя производная равна 3-форме плотности заряда. Применяем ещё раз оператор Ходжа и получаем 0-форму (то есть скаляр).

Те же действия производим с векторным уравнением (закон Ампера). Магнитное поле переделываем оператором Ходжа из 2-формы в 1-форму, чья внешняя производная есть 2-форма. Аналогично преобразуем эл. поле из 1-формы в 2-форму; её производная по времени есть 2-форма. Плотность тока с точки зрения 3-мерного пространства тоже есть 2-форма. Таким образом, закон Ампера есть уравнение для 2-форм. Применив к нему оператор Ходжа, получаем уравнение для 1-форм (то есть векторов)."

Еще он посоветовал книгу изучить, в которой через дифференциальные формы физика переписана

https://ia601409.us.archive.org/11/items/in.ernet.dli.2015.134154/2015.134154.Applied-Differential-Geometry.pdf

celen Oct 24 at 08:53

За вступительное объяснение спасибо, но есть еще неясные моменты.

Обозначим комбинацию для 2d случая так:

Чему равны скалярное, внешнее и геометрическое произведения комбинаций и?

Понимаю, что для вас это очевидная база, но из ваших определений мне никак не удается получить однозначный ответ на этот вопрос.

master_program Oct 24 at 11:31

Спасибо за вопрос! Я сейчас добавлю это в соседнюю статью, про сложение и умножение.

Для этого нужно перемножить каждый из 4 -х членов на каждый из 4-х членов и сгруппировать результат по базисным элементам $\left\{1, e_1, e_2, e_1 e_2\right\}$ .

После выполнения всех 16 умножений и группировки получаем:

где коэффициенты равны:

Скалярная часть (ранг 0), S:

Векторная часть (ранг 1), :

$\begin{aligned}& V_1=a_1 b_2+b_1 a_2+c_1 d_2-d_1 c_2 \\& V_2=a_1 c_2+c_1 a_2-b_1 d_2+d_1 b_2\end{aligned}$

Бивекторная часть (ранг 2), :

Скалярное произведение тут равно скалярной части

$\left\langle M_1 M_2\right\rangle_0=a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2-d_1 d_2$

Внутреннее произведение также равно скалярному произведению, так как эти два мультивектора имеют одинаковый ранг, а значит наименьший ранг слагаемого в геометрическом произведении равен 0.

Внешнее произведение - это тут самое сложное и неочевидное, наверное. Чтобы его посчитать, нужно раскрыть скобки и каждое из 16 внешних произведений посчитать отдельно, а потом всё сложить, и сгруппировать. Получается

Скалярная часть (ранг 0):

$a_1 \wedge a_2=a_1 a_2$

Векторная часть (ранг 1):

$a_1 \wedge\left(b_2 e_1+c_2 e_2\right)+\left(b_1 e_1+c_1 e_2\right) \wedge a_2=\left(a_1 b_2+a_2 b_1\right) e_1+\left(a_1 c_2+a_2 c_1\right) e_2$

Бивекторная часть (ранг 2):

$\begin{aligned}& a_1 \wedge\left(d_2 e_1 e_2\right)+\left(d_1 e_1 e_2\right) \wedge a_2+\left(b_1 e_1+c_1 e_2\right) \wedge\left(b_2 e_1+c_2 e_2\right) \\& =\left(a_1 d_2+a_2 d_1+b_1 c_2-c_1 b_2\right) e_1 e_2\end{aligned}$

Если записывать в той нотации, что у вас, то выходит

$M_1 \wedge M_2=\left(a_1 a_2, a_1 b_2+a_2 b_1, a_1 c_2+a_2 c_1, a_1 d_2+d_1 a_2+b_1 c_2-c_1 b_2\right)$

Отдельный очень важный момент, который не был указан в статье - внешнее произведение скаляров просто равно произведению этих скаляров.

Обратите внимание на то, что написанные формулы выше можно еще переписать через обычные скалярные и векторные произведения векторов. Тут их получается очень много.

Zenitchik Oct 24 at 11:41

$\left\{1,e_1,e_2,e_1e_2\right\}$

Это ж кватернион. Только произведению e_1*e_2 явного буквенного обозначения не присвоено.

А с тремя e получится октанион. И так далее.

Становится понятнее.

master_program Oct 24 at 11:44

Кватернион получается из мультивекторов, которые являются суммой скаляра и бивектора в трехмерном пространстве. В алгебре Клиффорда такие комбинации называются роторами.

Мультивектор в общем виде - более сложная конструкция, чем кватернион.

Насчет октонионов не думал, но они там точно тоже где-то есть.

Есть матричные представления алгебр Клиффорда, и оказывается, что они эквивалентны всяким комбинациям пространств вещественных чисел, комплексных и кватернионов. Октонионы там не нужны, но в АК точно есть подпространства, которые им соответствуют.

Вот скриншот из курса лекций Широкова по алгебрам Клиффорда.

Zenitchik Oct 24 at 11:56

Ну, смотрите, если абстрагироваться от того, как мы интерпретируем базисные элементы, то такая структура аналогична кватерниону.

Вот кватернион:

$\left\{1,i,j,ij\right\}$

Я специально расписал k как произведение, чтобы было понятнее.

Вот как вводится кватернион:

Ничего не напоминает? Добавляя один базисный элемент, мы получаем (предыдущий*2)-нион.

А вот что у Вас:

$\left\{1,e_1,e_2,e_1e_2\right\}$

А с тремя будет:

$\left\{1,e_1,e_2,e_3,e_1e_2,e_2e_3,e_1e_3,e_2e_3,e_1e_2e_3\right\}$

И так далее. Нутром чую, что всё, что больше октаниона, окажется практически бесполезным.

master_program Oct 24 at 12:01

Правила умножения другие. Практически полезно пока что всё, что работает либо с 3D, либо с пространством Минковского (1+3). Но этот матаппарат может описывать геометрию и физику в пространстве любой размерности (и с любой сигнатурой).

Также он может описывать движение по поверхностям квадратичных форм в пространстве любой размерности (например, легко складывать дуги на сфере).

Еще у него есть использования в проективной геометрии и конформной геометрии. Проективная геометрия позволяет моделировать разные преобразования пространства, сохраняющие длины (отражения от произвольных прямых и плоскостей, например, повороты). Конформная геометрия с помощью геометрической алгебры позволяет моделировать кучу графических примитивов.

При этом для проективной геометрии нужно повышать размерность на 1 (вводить дополнительный базисный вектор), а для конформной - на 2.

Вот тут это реализовано BiVector.net : Geometric Algebra Resources в коде.

Насчет отличия. У кватерниона все три новых элемента в квадрате дают минус единицу. У меня тут базисные векторы в квадрате дают плюс единицу, а бивекторы в квадрате дают минус единицу. Отсюда и различия в формулах.