Comments 20
Черновик лучше скрыть, пока не напихали в панамку... Или это не черновик?
Другими словами, на бесконечной числовой прямой все рациональные числа займут всего одну единицу длины.
Не больше единицы (отрезки могут перекрываться).
Заполним бесконечную плоскость бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек однородно таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными. Например, (1; 2), (1/3; 3/8) и т.д. Плоскость будет заполнена точками с бесконечной плотностью.
Нет, в общем случае не будет. Контрпример: набор точек вида (n, m). Он бесконечный, точки не совпадают, их координаты рациональны. "Плотность точек", однако, при любом разумном определении будет конечной.
Что значит "однородно" - не совсем понятно: обычно под однородностью имеется в виду что-то вроде "группа симметрий множества включает в себя все параллельные переносы", но для счётного множества точек на плоскости это недостижимо.
Поставим точку в свободной области и проведем через нее прямую вида y = kx + c, где k – иррациональное число. Данная прямая не коснется ни одну из заданных точек
Кто такая свободная область? Если множество точек таки всюду плотно, то свободных областей у меня нет.
Поставил точку с координатами (√2, √2+2). Провёл через неё прямую y = √2x + √2. Прямая прошла через точку ( -1, 0). Что я сделал не так?
Спасибо за критические замечания! Не учел требования к коэффициенту c.
Касательно бесконечной плотности. Если в любой сколь угодно малой области будет бесконечное количество точек, плотность нельзя назвать бесконечной. Это недостаточное условие?
а значение c такое, что x и y одновременно не принимают рациональных значений в одной точке.
Неконструктивное описание. Получается: "если взять такие параметры, что прямая не проходит ни через одну рациональную точку, то она не проходит ни через одну рациональную точку". Что, э... верно, но не очень интересно (в частности, из такого определения не очевидно что c вообще существует).
Если в любой сколь угодно малой области будет бесконечное количество точек, плотность нельзя назвать бесконечной. Это недостаточное условие?
а) если это так, то у нас нет "точки в свободной области", потому что всякая область не является свободной от выбранных точек.
б) из условия " бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек однородно таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными " не следует что во всякой области будет бесконечно много точек, я привёл контрпример.
Неконструктивное описание. Получается: "если взять такие параметры, что прямая не проходит ни через одну рациональную точку, то она не проходит ни через одну рациональную точку". Что, э... верно, но не очень интересно (в частности, из такого определения не очевидно что c вообще существует).
Как бы Вы порекомендовали переформулировать? Изначально я хотел привести в качестве демонстрации бесконечности таких прямых просто множество прямых, параллельных одной из осей с иррациональным значением. Но как красиво сформулировать для случая "в любой свободной точке и с вращением вокруг нее"?
У меня довольно плохо с чувством "красиво" для таких рукомахательных объяснений, если что. Может получиться перегружено. Но, например:
Возьмём теперь точку (x₀, y₀) и проведём через неё прямую, её уравнение есть k(x-x₀) + (y-y₀) = 0 (исключим из рассмотрения вертикальные прямые).
Если x₀ и y₀ рациональны, то при любом иррациональном k это уравнение не имеет иных рациональных решений (рациональное решение (x₁, y₁) позволило бы записать k = -(y₁-y₀)/(x₁-x₀)) - прямая с таким наклоном не пересекает вообще никаких иных рациональных точек.
Если же x₀ (y₀) иррационально, то мы всегда можем провести вертикальную (соответственно горизонтальную) прямую через эту точку: x=x₀ (y=y₀), которая, очевидно, не имеет рациональных точек.
Если хочется провести именно "наклонную" прямую, то можно поступить хитрее: взять a=x₀+y₀, b=2x₀+y₀. Поскольку x₀ = b-a, y₀= 2a-b, то по крайней мере одно из a, b иррационально. Пусть, для примера, это будет a. Возьмём k = 1 (соответственно 2 для иррационального b). Имеем kx+y = a, во всех рациональных точках левая часть рациональна, тогда как правая иррациональна.
Данная прямая не коснется ни одну из заданных точек, так как хотя бы одна координата каждой ее точки будет иррациональной.
А доказать-то это сможете? Почему так? Почему прямая y=kx+c при иррациональном k, проходящая через иррациональную точку (x,y) не может пройти через какую-то рациональную точку?
А если мы избавимся от коэффициента с, сместив ноль в выбранную точку? Тогда любая прямая вида y = kx подойдет (при иррациональном k)?
А всегда ли можно провести прямую с иррациональным k? (sqrt(2), sqrt(2)) дает k = 1.
Но даже при иррациональном k прямая пройдет через 0 - рациональную точку. Хотя, да, это будет единственная рациональная точка на ней.
Но даже при иррациональном k прямая пройдет через 0 - рациональную точку. Хотя, да, это будет единственная рациональная точка на ней.
Вот я и говорю, сместить ноль в выбранную точку
Ну как идея для доказательства годиться. Надо только формализовать.
Так не работает. Потому что при смещении плоскости на ирациональное число Ваши рациональные точки станут ирациональными.
Более того, можно легко показать, что для любой точки (x0, y0) с ирациональными координатами, можно провести прямую с ирациональным k, такую что, она будет проходить через любую заданию точку (x1, y1) с рациональными координатами.
Поэтому не всё так просто. Я не до конца понял, что Вы там хотели показать, но если Вы о том, что через любую ирациональную точку можно провести прямую, которая не проходит вообще ни через одну рациональную точку, то нужно будет постараться посильнее.
Например, Вы можете доказать существование алгебраически независмого k. Или можете доказать, что алгебраически независимых вещественных чисел бесконечно много. Или можете доказать более простое утверждение, что существует n, такое что набор {1, x0, sqrt(n)x0, y0, sqrt(n)} линейнонезависим над Q.
Но суть в том, что выбор k критически важен в этом доказательстве
Не вкурил. А что мешает нумеровать каждое иррациональное число? Допустим жто какая-то прогрессия, так вот каждый порядковый член этой прогрессии и есть порядковый номер каждого иррационального числа.
Так можно пронумеровать некоторые иррациональные числа (например: 2, √2, ³√2, ⁴√2, ...). Но у вас не получится составить последовательность, которая включила бы в себя все иррациональные числа (обычно доказывается через т.н. "диагональный аргумент" Кантора).
Я, пожалуй, погорячился.
Покажем, что через любую точку, свободную от заданных, можно провести прямую, которая не коснется ни одну из заданных.
Поставим точку в свободной области и проведем через нее прямую вида y = kx + c, где k – иррациональное число, а значение c такое, что x и y одновременно не принимают рациональных значений в одной точке.
Если убрать лишние слова, то ваше теорема: Если мы зададим прямую, которая не касается рациональных точек, то эта прямая не будет касаться рациональных точек.
Даже не поспоришь, ибо утверждение тождественно верное. :))
Не ну по моему тут ерунда какая-то написана. Какие Алеф нуль? У тебя множество натуральных чисел. Не целых а натуральных. Ты же сам говоришь. А рациональные числа выходят не то что за натуральные, они выходят за целые. Ибо рациональное число суть - дробь из двух целых чисел (в учебниках пишут что из одного, но это некорректная формулировка).
Получается что ты не можешь пронумеровать рациональные числа натуральными, потому что у тебя мощность множества больше грубо говоря в квадрат раз. Как ты его пронумеруешь? Рациональных чисел на одной и той же плоскости будет бесконечно много, в то время как даже в целой - будет конечное число.
А ты выходишь ещё на один уровень, к операции степени (иррациональным числам). Грубо говоря степень это третье целое число в представлении. То есть это три целых числа, то есть мощность множества это z^3.
Это тоже бесконечное, разумеется ещё более бесконечное множество чем рациональные числа. Таким нехитрым образом обывателю становится ясно, что вопрос о счётности решается через вычисление мощности множества.
Впервые (нет) на арене: нумерую все рациональные числа. Беру рациональное число p/q, записываю p и q в восьмеричной системе счисления, объединяю через 8. Например: 355/113 -> 0543 / 0161 -> 5438161. Всё, все рациональные числа получили по натуральному номеру и ещё прорва натуральных номеров осталась.
Немного про счетные и несчетные множества