Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры / Habr

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье, в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет:

«Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из $R \times R^3$ в какое-то другое пространство. Но в какое?»

Этот вопрос абсолютно закономерен и бьет в самую суть. Путаница возникает из-за того, что новые идеи часто подаются без явного описания той математической структуры, на которой они живут. Давайте построим ее с нуля.

Часть 1. Что такое операция? Замкнутость — это ключ

Начнем с самого простого. Что такое сложение чисел? Это не какая-то произвольная функция. Это бинарная операция, определенная на множестве, например, действительных чисел $\mathbb{R}$ . Формально, это функция вида:

$+ : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Она берет два элемента из множества $\mathbb{R}$ и возвращает третий элемент, который гарантированно принадлежит тому же самому множеству $\mathbb{R}$ .

Это свойство называется замкнутостью.

Мы настолько к этому привыкли, что не замечаем его важности. Сумма двух чисел — снова число. Произведение двух чисел — снова число. Мы никогда не выходим за пределы нашего «мира чисел». Часто при объяснении умножения вещественных чисел его интерпретируют как площадь. Но умножение — это не площадь. Это число.

Читатель интуитивно чувствует подвох, когда операция начинает порождать объекты другой природы (например, умножение длин дает площадь). Это фундаментальное заблуждение, которое мешает двигаться дальше.

Давайте представим числа не абстрактно, а как длины отрезков.

Сложение отрезков: взять два отрезка и , приложить их друг к другу. Получится новый отрезок . Операция замкнута: отрезок + отрезок = отрезок.
Умножение отрезков: как перемножить два отрезка и и получить третий отрезок? Очень просто, с помощью подобных треугольников.

Нужно взять единичный отрезок 1. Тогда из подобия треугольников следует, что , откуда . Мы взяли два отрезка (длины) и получили третий отрезок (длину). Операция умножения на множестве длин — замкнута.

Когда мы говорим, что 3 м 5 м = 15 м², мы совершаем подмену понятий. Математическая операция: $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ всегда возвращает число. А вот уже физическая интерпретация этого числа может быть разной: площадь, работа, энергия. Но сама операция живет внутри одного поля чисел.

Вывод №1:

Любая алгебраическая операция (сложение, умножение) определяется на некотором множестве и должна быть замкнута. Она не выводит нас в «другие пространства».

Часть 2. Строим новое пространство: геометрическую алгебру

Теперь ключевой момент. Как же тогда мы можем складывать скаляр и вектор? Ответ: мы не можем. По крайней мере, не в привычных нам пространствах $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^n$ .

Геометрическая алгебра — это не набор операций над старыми пространствами. Это построение нового, единого и более богатого пространства, внутри которого эти операции становятся естественными и, что самое главное, замкнутыми.

Давайте его построим.

У нас есть обычное векторное пространство $\mathbb{R}^n$ над полем скаляров $\mathbb{R}$ . В нем живут векторы. Это наши исходные материалы. На них мы будем строить.

Мы хотим ввести новую операцию — геометрическое произведение, обозначаемое просто написанием рядом (например, ). Мы не знаем, что это такое, но мы хотим, чтобы оно подчинялось нескольким простым и разумным аксиомам:
- Ассоциативность:
- Дистрибутивность:
- Связь с метрикой (самая важная аксиома!): для любого вектора его квадрат должен быть равен скаляру — квадрату его длины: $v^2 = v \cdot v = |v|^2$ .
Наше новое пространство, которое мы назовем Геометрической Алгеброй $\mathcal{G}_n$ , — это множество всех возможных объектов, которые можно построить из наших векторов с помощью сложения и нового геометрического произведения, не нарушая аксиом.

Что же это за объекты?

Скаляры (числа) уже там, так как — это скаляр.
Векторы там по определению.
Произведения двух векторов, например . Это новый объект!
Произведения трех векторов, например . И это новый!
И, что самое главное, их суммы.

Элемент нашего нового пространства $\mathcal{G}_n$ — это мультивектор. В общем виде в 3D он выглядит так:

$M = \underbrace{\alpha}_{\text{скаляр}} + \underbrace{(v_1 e_1 + v_2 e_2 + v_3 e_3)}_{\text{вектор}} + \underbrace{(b_1 e_2 e_3 + b_2 e_3 e_1 + b_3 e_1 e_2)}_{\text{бивектор}} + \underbrace{\beta (e_1 e_2 e_3)}_{\text{тривектор}}$

Это один-единственный элемент нашего нового пространства $\mathcal{G}_3$ .

Теперь можно ответить на главный вопрос читателя.

«Каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором?»

Ответ:

Оператор «плюс» в выражении $a \cdot b + a \wedge b$ — это операция сложения в пространстве $\mathcal{G}_n$ . Она берет два мультивектора и возвращает третий. Скаляр $s = a \cdot b$ — это просто частный случай мультивектора, у которого все компоненты, кроме скалярной, равны нулю. Бивектор $B = a \wedge b$ — это другой частный случай мультивектора. Их сумма — это новый мультивектор, у которого не равны нулю и скалярная, и бивекторная компоненты.

Это абсолютно аналогично тому, как мы складываем действительное и мнимое число. Мы не можем сложить 3 и 4i и получить действительное число. Но мы можем рассмотреть их как элементы нового, более богатого пространства комплексных чисел $\mathbb{C}$ , и их сумма будет полноценным элементом этого пространства.

Вывод №2:

Геометрическая алгебра — это не набор операций, которые выводят нас из $\mathbb{R}^n$ в «другие пространства». Это новое, единое пространство $\mathcal{G}_n$ , построенное из векторов, в котором все операции (сложение и геометрическое произведение) замкнуты.

Часть 3. Ответы на оставшиеся вопросы

Теперь, когда у нас есть прочный фундамент, остальные вопросы проясняются сами собой.

Что такое $a \wedge b$ ?
Это не какая-то «хтонь неведомая». Это просто антисимметричная часть геометрического произведения двух векторов, определяемая через него:

$a \wedge b = \frac{1}{2}(ab - ba)$

А скалярное произведение — это симметричная часть: $a \cdot b = \frac{1}{2}(ab + ba)$ .

Отсюда и рождается знаменитая формула $ab = a \cdot b + a \wedge b$ .

Объект $a \wedge b$ называется бивектором.

Геометрически он представляет ориентированную плоскость.

Что такое псевдоскаляр ?

Это просто результат последовательного геометрического умножения трех ортогональных базисных векторов. Благодаря аксиоме ассоциативности, это вполне корректная операция:

— это бивектор (плоскость XY).
Умножая его на (вектор, перпендикулярный этой плоскости), мы получаем новый объект высшего ранга в 3D — тривектор.

Почему «псевдоскаляр»?

Потому что в 3D пространстве есть только один базисный тривектор (), и любой другой тривектор ему пропорционален (например, $\beta (e_1 e_2 e_3)$ ). То есть он ведет себя почти как скаляр (описывается одним числом $\beta$ ), но с одним отличием: он меняет знак при смене ориентации пространства (например, при переходе от правой тройки векторов к левой). Отсюда приставка «псевдо». Кроме того, квадрат единичного тривектора равен минус единице, что также отличает его от скаляра.

Часть 4. Определяем операции в общем случае мультивектора

В общем случае геометрическое произведение объекта ранга $\boldsymbol{r}$ и объекта ранга $\boldsymbol{s}$ является мультивектором, содержащим части с рангами от до с шагом 2 .

$A_r B_s=\left\langle A_r B_s\right\rangle_{|r-s|}+\left\langle A_r B_s\right\rangle_{|r-s|+2}+\ldots+\left\langle A_r B_s\right\rangle_{r+s}$

Теперь мы можем дать общее определение внутреннего и внешнего произведений.

Внутреннее произведение:

Это самая низкоранговая часть геометрического произведения.

$A_r \cdot B_s=\left\langle A_r B_s\right\rangle_{|r-s|}$

Это операция "свертки" или "проекции".

Внешнее произведение:
Это самая высокоранговая часть геометрического произведения.

$A_r \wedge B_s=\left\langle A_r B_s\right\rangle_{r+s}$

Это операция "объединения" или "создания нового объема".

Помимо этого, существуют скалярное произведение мультивекторов, которое совпадает с внутренним лишь в некоторых частных случаях

$\langle A, B\rangle=\sum_k\left\langle\langle A\rangle_k\langle B\rangle_k\right\rangle_0$

Видно, что совпадение наблюдается тогда и только тогда, когда внутреннее произведение мультивекторов дает число, а не вектор.

Вводят еще антивнешнее произведение, или регрессивное. Оно называется так, потому что геометрический смысл внешнего произведение в объединении подпространств, а противоположной этому будет операция их пересечения. Определяется формулой

$A \vee B=\left(A^* \wedge B^*\right)^*$

Здесь - дуальная версия $A \cdot I$ - псевдоскаляр (произведение всех базисных векторов).

Часть 5. Рассмотрим на примере 2D.

Здесь рассмотрим самый простой случай - двумерный. В пространствах более высокой размерности формулы получаются куда более громоздкие, но вывод полностью аналогичен.

Обозначим комбинацию для 2d случая так:

Для этого нужно перемножить каждый из 4 -х членов на каждый из 4-х членов и сгруппировать результат по базисным элементам $\left\{1, e_1, e_2, e_1 e_2\right\}$ .

После выполнения всех 16 умножений и группировки получаем:

где коэффициенты равны:

Скалярная часть (ранг 0), S:

Векторная часть (ранг 1), :

$\begin{aligned}& V_1=a_1 b_2+b_1 a_2+c_1 d_2-d_1 c_2 \\& V_2=a_1 c_2+c_1 a_2-b_1 d_2+d_1 b_2\end{aligned}$

Бивекторная часть (ранг 2), :

Скалярное произведение тут равно скалярной части

$\left\langle M_1 M_2\right\rangle_0=a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2-d_1 d_2$

Внутреннее произведение также равно скалярному произведению, так как эти два мультивектора имеют одинаковый ранг, а значит наименьший ранг слагаемого в геометрическом произведении равен 0.

Внешнее произведение - это тут самое сложное и неочевидное, наверное. Чтобы его посчитать, нужно раскрыть скобки и каждое из 16 внешних произведений посчитать отдельно, а потом всё сложить, и сгруппировать. Получается

Скалярная часть (ранг 0):

$a_1 \wedge a_2=a_1 a_2$

Векторная часть (ранг 1):

$a_1 \wedge\left(b_2 e_1+c_2 e_2\right)+\left(b_1 e_1+c_1 e_2\right) \wedge a_2=\left(a_1 b_2+a_2 b_1\right) e_1+\left(a_1 c_2+a_2 c_1\right) e_2$

Бивекторная часть (ранг 2):

$\begin{aligned}& a_1 \wedge\left(d_2 e_1 e_2\right)+\left(d_1 e_1 e_2\right) \wedge a_2+\left(b_1 e_1+c_1 e_2\right) \wedge\left(b_2 e_1+c_2 e_2\right) \\& =\left(a_1 d_2+a_2 d_1+b_1 c_2-c_1 b_2\right) e_1 e_2\end{aligned}$

В результате выходит

$M_1 \wedge M_2=\left(a_1 a_2, a_1 b_2+a_2 b_1, a_1 c_2+a_2 c_1, a_1 d_2+d_1 a_2+b_1 c_2-c_1 b_2\right)$

Отдельный очень важный момент, который не был указан ранее - внешнее произведение скаляров просто равно произведению этих скаляров.

Обратите внимание на то, что написанные формулы выше можно еще переписать через обычные скалярные и векторные произведения. Тут их получается очень много.