В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в 3D, даже не пользуясь никаким пространством Минковского, исключительно в евклидовом пространстве. И они естественным образом в той же форме писались в многомерном евклидовом пространстве. Также рекомендую прочесть соседнюю статью для введения в тему.

Любопытно, что их можно ввести аналогично в пространстве Минковского и они будут эквивалентны моим. Также им эквивалентна кватернионная форма, но она является не более чем искусственной подгонкой векторов поля под кватернионы.

Покажу теперь естественную формулировку в пространстве Минковского, которая не требует кватернионов. Надо сказать, ее не так просто найти. В литературе мне это не удалось найти именно в такой форме, LLM все время пытались выдавать кватернионную формулировку и отказывались делать что-то другое, гуглить было бесполезно, а глубокий поиск с ИИ ничего такого не нашел. Но я в итоге провел вычисления вручную, загрузил это в LLM и тот смог написать то, что нужно, на основе моих выкладок. Перепроверил - всё это действительно эквивалентно обычным уравнениям Максвелла. Но получилось намного красивее. А главное - очень логично с точки зрения физического смысла.

1. Базовые определения.

Используется алгебра Клиффорда (1,n) - это обозначение означает, что квадрат первого базисного вектора, который соответствует оси времени, равен единице, а квадрат всех остальных n пространственных - равен минус единице.

Здесь далее гаммой обозначается базисный вектор в алгебре Клиффорда.

Итак, вводим определения.

  • Пространство-время:

    (\mathrm{n}+1) измерений. Один временной базисный вектор \gamma_0 с \left(\gamma_0\right)^2=1 и n пространственных векторов \gamma_k с \left(\gamma_k\right)^2=-1.

  • Электромагнитное поле F :

    это бивектор. Он распадается на:

    электрическое поле Е: n-мерный вектор, связанный со временем ( \sum E_k \gamma_k \gamma_0 ).

    магнитное поле В: n-мерный бивектор, чисто пространственный ( \sum B_{i j} \gamma_i \gamma_j ). У него C(n, 2) компонент.

  • Источник J :

    это ( \mathbf{n} \mathbf{+ 1} )-мерный вектор плотности тока. Он распадается на:

    Плотность заряда \rho : временная компонента ( c \rho \gamma_0 ).

    Плотность пространственного тока j: n-мерный пространственный вектор.

  • Оператор производной \nabla (градиент пространства-времени):

    это (\mathbf{n + 1})-мерный векторный оператор \left(\sum \gamma^\mu \partial_\mu\right).

Далее самое сложное - понять, что здесь уравнения Максвелла. Оказывается, их тут будет два. Одно из них является динамическим, а другое описывает внутреннюю геометрию поля. Это совпадает с общепринятой у теоретиков тензорной формулировкой уравнений Максвелла, в которой тоже два аналогичных уравнения. Четкое разделение уравнений на динамические и чисто геометрические - это преимущество нового подхода.

2. Новые уравнения Максвелла.

Динамическое уравнение является внутренним произведением наблы на поле

\nabla \cdot F=\frac{1}{\epsilon_0 c} J

Геометрическое уравнение является внешним произведением наблы на поле

\nabla \wedge F=0

Формулы для выражения этих двух произведений через геометрическое, которые были даны в прошлом статьи, работали только для векторов первого ранга. Но они также работают для мультивекторов, состоящих из одной компоненты одного ранга. В данном случае и электрическое поле бивектор, и магнитное поле бивектор, и он снова работает:

\underbrace{\nabla \cdot F}_{\text {Рант } 1 \text { (Вектор) }}+\underbrace{\nabla \wedge F}_{\text {Рант } 3 \text { (Тривектор) }}=\underbrace{\frac{1}{\epsilon_0 c} J}_{\text {Ранг } 1 \text { (Вектор) }}\underbrace{\nabla F}_{\text {Мультивектор (ранги 1 и 3) }}=\underbrace{\frac{1}{\epsilon_0 c} J}_{\text {Bектор (ранг 1) }}

Равенство нулю тривекторной части означает отсутствие магнитных монополей. Ввести уравнение с магнитными монополями возможно, если их добавить справа как тривектор.

3. Дополнение - подробнее про виды произведений.

Теперь обобщим. Пусть у нас есть два мультивектора А и в. Каждый из них является суммой объектов разных рангов (скаляров, векторов, бивекторов и т.д.).

\begin{aligned}& A=\langle A\rangle_0+\langle A\rangle_1+\langle A\rangle_2+\ldots \\& B=\langle B\rangle_0+\langle B\rangle_1+\langle B\rangle_2+\ldots\end{aligned}

(Здесь \langle\ldots\rangle k - это оператор, который "выделяет" из мультивектора часть ранга k ).

Их геометрическое произведение АВ вычисляется по правилу дистрибутивности, то есть мы перемножаем каждую часть А на каждую часть в B. Основным строительным блоком является произведение объекта ранга r на объект ранга s, A_r B_s .

Основное правило:

Геометрическое произведение объекта ранга r и объекта ранга s является мультивектором, содержащим части с рангами от |r-s| до r+s с шагом 2 .

A_r B_s=\left\langle A_r B_s\right\rangle_{|r-s|}+\left\langle A_r B_s\right\rangle_{|r-s|+2}+\ldots+\left\langle A_r B_s\right\rangle_{r+s}

Теперь мы можем дать общее определение внутреннего и внешнего произведений.

  • Внутреннее произведение:

    Это самая низкоранговая часть геометрического произведения.

A_r \cdot B_s=\left\langle A_r B_s\right\rangle_{|r-s|}

Это операция "свертки" или "проекции".

  • Внешнее произведение:

    ]Это самая высокоранговая часть геометрического произведения.

A_r \wedge B_s=\left\langle A_r B_s\right\rangle_{r+s}

Это операция "объединения" или "создания нового объема".

Помимо этого, существуют скалярное произведение мультивекторов, которое совпадает с внутренним лишь в некоторых частных случаях

\langle A, B\rangle=\sum_k\left\langle\langle A\rangle_k\langle B\rangle_k\right\rangle_0

Видно, что совпадение наблюдается тогда и только тогда, когда внутреннее произведение мультивекторов дает число, а не вектор. Этот случай работает для нашего нового мультивектора электромагнитного поля.

Вводят еще антивнешнее произведение, или регрессивное. Оно называется так, потому что геометрический смысл внешнего произведение в объединении подпространств, а противоположной этому будет операция их пересечения. Определяется формулой

A \vee B=\left(A^* \wedge B^*\right)^*

Здесь A^*=A / I - дуальная версия A. I - псевдоскаляр (произведение всех базовых векторов). Интересно, что в алгебре Клиффорда с положительным квадратом всех базовых векторов псевдоскаляр в квадрате дает минус единицу при размерностях пространства, которые при делении на 4 дают остатки 2 и 3, а в алгебре Клиффорда вида (1, n) получается ровно наоборот.

4. Об отличии электродинамики в пространстве Минковского от электродинамики в евклидовом пространстве.

Я написал выше, что уравнения получаются эквивалентными. Но есть один важный нюанс.

Дело в том, уравнения Максвелла в пространстве Минковского в написанном мною виде предусматривают только компоненты первого ранга и третьего ранга. Благодаря этому они могут описывать магнитные монополи.

Но уравнения Максвелла в евклидовом пространстве оказываются более общими в случае, если речь идет об обобщении на большее количество измерений. Потому что они позволяют в правую часть добавить более сложные геометрические объекты, чем магнитные монополи.

Однако у уравнений Максвелла, записанных в алгебре Клиффорда, построенной над евклидовым пространством, есть один важный недостаток - так как они не содержат пространства Минковского, их не получится объединить с Общей теорией относительности. Чтобы вводить кривизну пространства-времени, время должно быть отдельным измерением единого пространства-времени, а не просто скалярной величиной, числом.

С другой стороны, думаю, можно продолжить это обобщение. Взять уравнения Максвелла, полученные для мультивектора в н N-мерном евклидовом пространстве, расписать по компонентам высших рангов (больше третьего), затем сопоставить с новыми уравнениями Максвелла на основе геометрической алгебры в пространстве Минковского, и добавить в них более сложные компоненты, чем электрическое и магнитное поле. Всё должно получиться.

5. Дополнение - научная статья 1978-го года про кватернионную форму уравнений Максвелла и их матричное представление.

О кватернионной форме уравнений Максвелла можно еще почитать тут Maxwell’s eight equations as one quaternion equation | American Journal of Physics | AIP Publishing

Но, в отличие от моих заметок, там вот совсем ничего нового по сравнению с тем, что Максвелл делал, за исключением записи кватернионов матрицами.