Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 51
Я ненастоящий сварщик, но физические уравнения обычно выводятся через физические соображения, как например для случая уравнений 4-тензора электромагнитного поля (что у вас называется уравнениями Максвелла) делалось во втором томе учебника Ландау-Лифшица, а переписывание известных уравнений в других обозначениях должно называться как-то по-другому. Иначе есть риск начать исследовать свою математическую модель, а не окружающий мир, который она должна описывать.
Традиционный подход основан на использовании множества частных законов, установленных экспериментально. Эти законы просто постулируются, а потом обобщаются до общей формулировки, из которой следуют они все.
В Ландау-Лифшице сделано немного иначе - аксиоматически. Сразу постулируется действие в нужной форме, непонятно почему так написанное, дальше используется принцип наименьшего действия и из него получаются уже известные законы. Сложность его подхода в том, что он слишком абстрактный. Сразу же пишется векторный потенциал в действии:
При этом, вообще-то, векторный потенциал - штука физически не измеримая, в отличие от электрического и магнитного полей, которые измерить можно. Просто Ландау постулирует, что есть такое некое векторное принципиально физически неизмеримое поле, на него пишем действие вот в такой простейшей форме, дальше минимизируем, долго анализируем, смотрим что получилось и начинаем отождествлять с уже известной физикой.
Мой же тут подход геометрический. Пишу простейший бивекторный объект в пространстве-времени Минковского, беру от него градиент и приравниваю к источникам поля. Таким образом, основания вывода тут такие: электромагнетизм рассматривается как простейшая теория поля с бивекторами, которую можно в этом пространстве написать. Эти бивекторные объекты являются напрямую измеримыми величиными, неизмеримых они не содержат и в них не нуждаются (а у Ландау без физически неизмеримого 4-векторного потенциала совсем никуда, и очень многие технические сложности в его томе связаны именно с тем, чтобы потом отделять эти неизмеримые величины от измеримых, отсюда всякие калибровочные преобразования и тому подобное - мне же из этого вообще ничего не нужно для получения физических уравнений). Проще говоря, в моем подходе проблема калибровки, связанная с тем, что сначала ввели величины, которые физически не являются измеримыми, на них построили всю физику, а потом пытаются сложным образом из полученного вывести только то, что измерить можно, полностью отсутствует, так как никаких неизмеримых величин у меня тут нет.
В предыдущей статье я опирался на евклидовое пространство, там я брал просто мультивектор поля в самом общем виде и брал от него градиент.
В обоих случаях цель - написать простейшее из возможных геометрическое уравнение поля.
Если сравнивать с подходом у Ландау, то у него там сначала рассматривается действие от некоторой абстрактной функции, оно расписывается, минимизируется, затем полученные результаты отождествляются с 4-векторами. В моем случае вывод более естественный. Кроме того, вывод Ландау слишком сложный и привязан к конкретным координатам. У меня же вывод очень короткий, от размерности пространства и от выбора системы координат уравнения не зависят. Вот что там было в Ландау
И получает тензор
При этом от ввода действия до вывода этого тензора там тоже очень много непростых соображений и выкладок, тоже тесно привязанных к конкретным координатам.
Можно сказать, что мой вывод примерно в 100 раз короче, чем это сделано у Ландау.
Ну, принципу наименьшего действия лет больше чем вам, Ландау, Лифшицу и мне вместе взятым - это вообще-то это одна из основ современной физики, насколько мне известно. Вывод Ландау красив и обоснован, и вопрос здесь не в его длине.
Здесь вывод очень естественный. А через принцип наименьшего действия притянут за уши, потому что каждый раз действие нужно угадать из уравнений, которые уже открыты экспериментально. В моем подходе ничего угадывать не надо. Я просто пишу геометрические соотношения от простых к сложным, и обнаруживаю, что это всё в физике уже есть.
То есть фундаментальная физика оказывается не более чем геометрией.
По ОТО сейчас дописал Вывод ОТО в геометрической алгебре / Хабр . Через геометрическую алгебру ее вывод совершенно элементарный и становится прозрачным геометрический смысл - это простейшая бивекторная теория динамической геометрии, в которой при переходе от одной точки к другой базис в пространстве Минковского плавно поворачивается. При этом новая формулировка оказывается во много раз проще тензорной, хотя и эквивалентна ей.
Сравните с тем, насколько сложно ОТО выводится у Ландау.
Теперь нужно понять, что скрывается за геометрией. За физикой всегда стоит модель мира, которую можно измерить - поля, частицы, та же волновая функция. Что стоит за геометрией? Если просто пространство - тогда кто/что его меняет и является источниками изменений геометрии, и как их определить/измерить/предсказать? Если это распространение каких-то физических величин/объектов/полей - тогда что является причиной из возникновения?
Ну самая простая модель такая. Есть пространство-время, в нем в каждой точке "живет" мультивектор. Динамика и взаимодействие мультивекторов описываются дифференциальными уравнениями самого простого вида, который только можно написать. ОТО сюда добавляет, что пространство не плоское, а определяется похожим полем, в каждой точке которого "живет" мультивектор кривизны.
В принципе, ведь все современные теории поля так и строятся, просто там вместо мультивекторов тензоры и квантовые операторы (которые получаются квантованием этих самых тензоров).
Тут просто парадигма немного сдвигается, тензоры заменяем мультивекторами.
Частицы же появляются с привлечением квантовой теории, проквантованный тензор в каждой точке становится оператором, который описывает некие "колебания". Частицы соответствуют модам этих "колебаний".
В принципе, теория струн вот примерно точно также устроена, просто колеблется там не абстрактная точка с мультивектором, а одномерная струна.
Это как раз понятно, спасибо, про струны мне тоже подумалось. А смысл какой у этих мультивекторов - измерять мы что будем? Для квантовой механики это может и хорошо, там описываются какие-то взаимодействия и отлично, а для классической вполне себе непонятно - здесь энергию-импульс подавай, лагранжианы-гамильтонианы, интегралы разные да координаты всякие нехорошие. Если ваш подход универсален, это значит там все эти ньютоновы-эйнштейновы фенечки сами должны возникать, без желания интерпретатора - мы завели только пространство с кривизной, а у нас уже куры с яйцами на выходе и мировой свет в придачу.
Как раз физически наблюдаемыми являются все компоненты мультивекторов. Ну тут наоборот, традиционный принятый подход вводит кучу ненаблюдаемых величин, а у меня их тут нет.
Это происходит потому, что традиционный подход исходит из энергии, а как только мы рассуждаем про потенциальную энергию - возникает неопределенность, связанная с тем, что физический смысл имеет только разность энергий. С электродинамикой еще хуже - там целый векторный 4-потенциал, который никто никогда не может наблюдать, а дальше там - теория калибровочных полей, которых никто никогда не видел.
Здесь же подход противоположный - силовой. Поэтому в геометрической алгебре для физики используются только наблюдаемые величины.
Например, один и тот же мультивектор описывает энергию, импульс и момент импульса одновременно. Потому что энергия скаляр, импульс вектор, а момент импульса является бивектором. Это наблюдаемые величины.
Вводятся они в модель как? В классике мы имеем либо какой-то интеграл, из которого мы определяем законы, либо законы, из которых мы получаем интегралы. В любом случае у нас появляются какие-то параметры, которые мы обзываем из экспериментальных соображений: кого - массой, кого - скоростью света, кого - коэффициентом упругости. Но на входе - либо интеграл, либо закон. У вас откуда возникают параметры и как привязываются к конкретному эксперименту и задаче? Как у вас модель завязана на окружающий мир? Куда подсоединять аккумулятор, а куда вольтметр? Как понять, что она была построена для путешествия машины из точки А в точку B, а не для электрона с теми-же начальной и конечной точкой?
Параметры из геометрии появляются. Есть ориентированное твердое тело, оно описывается мультивектором обобщенного импульса. Его производная равна динаме - динама есть сила + момент силы.
Если же нужно проинтегрировать, можно интегрировать с винтом - это тоже мультивектор, сумма поступательного и вращательного перемещения.
В классической механике куча теорем и законов выводятся нетривиальным образом из законов Ньютона, нужно очень много чего придумать, чтобы их вывести. А тут можно записать одно уравнение и сразу получить 8 разных теорем из механики. Потому что все эти теоремы имеют чисто геометрическое происхождение, что не видно в классическом курсе.
Абсолютно твердое тело - это как раз и есть объект, естественно описываемый мультивектором. А идеальная жидкость, например - естественно описывается потоком мультивектора.
На входе у нас - законы Ньютона, + геометрическая модель объекта (абсолютно твердое тело. материальная точка или непрерывная жидкость).
То-есть вы берете условный обобщенный импульс из механики и пишете на него уравнение. Откуда вы знаете, что это механика, а не квантовая механика? Как условия эксперимента задаются и откуда вы знаете, какую физическую величину выбрать в качестве входа? Если применяете уже известные из механики понятия - тогда откуда вы знаете что они реально соответствуют реальному окружающему миру, а не являются флогистоном, для которого тоже можно такое уравнение написать? Как обеспечить связь вашего уравнения с реальным экспериментом и реально измеряемыми параметрами? Не получится-ли сказать, что дифференциальные уравнения - это новая модель мира, поскольку для каждой физической величины можно написать какое-то дифференциальное уравнение, часто линейное и первого порядка ?
Я второй закон Ньютона просто постулирую. А всё остальное - это геометрия абсолютно твердого тела, которая описывает мультивектором (или материальной точки, там чуть проще).
В развитии же классической механики было не так, сначала экспериментально находили кучу законов, а потом уже выводили их из второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона вообще явился таким вот обобщением, из которого выводится все..
Отдельная история была с работой силы, это понятие появилось сильно позже законов Ньютона.
Спасибо, докопались таки до корней. То-есть вы используете в качестве аксиомы некие законы, которые экспериментально открыли много сот лет назад и которые работают не всегда, делаете дополнительное предположение что у вас тела абсолютно твердые и строите на этой основе всю механику. Забавный результат. Спасибо. Значит физические аксиомы все-таки были.
Побуду адвокатом ТС ;)
А почему вы все те же претензии не адресуете современной физике - она кругом оперирует постулатами, аксиомами, аппроксимациями и т.п. Это вас не смущает?
Ну и сам формат даже не научной статьи, а околонаучного эссе "на поразмышлять" как бы не предполагает статуса "убийцы ОТО и КМ"... А вы вцепились в автора как будто рецензент из нобелевского комитета))
Меня ничего не смущает, мне просто интересно разобраться и послушать человека, хорошо разбирающегося в области, в которой я откровенно слаб.
Тут нет никакого убийства ОТО и КМ. Я просто заменяю тензорный матаппарат на мультивекторный. Впрочем, даже не я, первым это начал делать Хестенес.
Одно из преимуществ - для вывода уравнений не нужен принцип наименьшего действия, без него всё получается.
"Как обеспечить связь вашего уравнения с реальным экспериментом и реально измеряемыми параметрами? "
Все параметры мультивектора реально измеряемые. Этой проблемы нет. А в обычной формулировке в теормехе она была, там потенциальная энергия неизмеряемая.
С флогистоном скорее имеет смысл сравнить потенциальную энергию. У меня же тут в геометрическом подходе нет подобных величин, которые я не могу непосредственно измерить.
Что стоит за геометрией?
Эмм... Модель мира? И почему геометрию нельзя измерить? Это топология уже какая-то получается...
К тому же за геометрией может ничего не стоять... Как вам "теория всего" на основе геометрического принципа, вытекающего из размерности нашего пространства?
Ну, принципу наименьшего действия лет больше чем вам, Ландау, Лифшицу и мне вместе взятым - это вообще-то это одна из основ современной физики, насколько мне известно.
Закону всемирного тяготения лет ещё больше и да, это тоже одна из основ современной физики. Но есть нюанс ;)
P.S. На всякий случай - я знаю годы жизни Ньютона и Ферма
это вообще-то это одна из основ современной физики
Поправка: одна из основ теоретической физики, а не физики - это, вообще-то, разные науки. В физике принцип наименьшего действия является обобщением эмпирически полученных физических законов - это очень удобный и гибкий инструмент для решения задач. А в теоретической физике, так уж вышло, он является одной из аксиом - и это ещё нормально. Но аксиомами там также являются совершенно произвольные функционалы действия. И в этом смысле к теоретической физике как нельзя сильнее относится ваша претензия про исследование математических моделей. Теоретическая физика не изучает окружающий мир, она изучает постулированные внутри неё функционалы действия.
Поправка: одна из основ теоретической физики, а не физики - это, вообще-то, разные науки.
Чееего?))
Теоретическая физика не изучает окружающий мир, она изучает постулированные внутри неё функционалы действия.
А если действия нет?
Чееего?))
Ну а что? Исходные посылки разные, изучаемые объекты разные.
А если действия нет?
Значит, есть гамильтониан. Ещё не видел ни одну теоретическую книжку или статью, в которой не было бы действия, или гамильтониана, или их обоих :)
Вы сейчас серьёзно пытаетесь переоткрыть деление физики на теоретическую и экспериментальную? Только экспериментальную почему-то называете "настоящей физикой")) Ну вот второй закон Ньютона - это какая физика?
Значит, есть гамильтониан. Ещё не видел ни одну теоретическую книжку или статью, в которой не было бы действия, или гамильтониана, или их обоих :)
Учебник по термодинамике откройте ;)
Только экспериментальную почему-то называете "настоящей физикой"))
Не «настоящей», а просто «физикой» - наукой о природных закономерностях. Теоретическая физика, начиная с некоторого момента, изучает не совсем это.
Учебник по термодинамике откройте ;)
Открыл 5 том Ландафщица. Встретил гамильтониан на 24 странице ;) если честно, я сам уже подумал, что мне придётся вспоминать про свободную энергию и другие термодинамические потенциалы, но отцы-основатели спасли меня.
А почему вы не хотите открыть более ранние параграфы Ландау? Зачем прыгаете вперёд? Если открыть параграф, где впервые вводилось в действии электромагнитное поле, то действие строилось таким образом, чтобы удовлетворить несколько требований. Одним из требований было то, что действие это скаляр, поэтому если интегрирование ведётся по dx^i, то индекс i должен свернуться с другим индексом i в другой величине. Пусть она будет A_i. Вроде всё логично. Дальше вводились константы e и c и добавлялся знак -. Отсюда (из вида самого действия) сразу говорилось, что по видимому величина A_i не совсем физическая, так как удовлетворяет калибровочной симметрии (хотя, как мы можем узнать из последующих томов или других книг, сама симметрия может нарушаться). А то, что пишите вы в виде действия это домножение на dt/dt, чтобы выделить лагранжиан. Вклад же с массой это релятивистское действие свободной частицы. Всё абсолютно понятно и просто.
Было бы интересно, как не основываясь на переходе от лагранжевой к гамильтоновой (и подходе из ото с варьированием действия по метрике) механики вы выведите тензор энергии-импульса. Есть подходы с выводом пространственной части данного тензора, но они тоже не столь коротки, вроде.
То есть я построил просто простейшую бивекторную теорию поля из всех возможных в пространстве Минковского и она совпала с электромагнетизмом.
Отдельный вопрос - почему бивекторную.
Если написать скалярный аналог, то будет ньютоновская гравитация просто. А если написать векторную, то будет та же самая электродинамика 4-векторного потенциала, из которой Ландау выводит электромагнетизм. И проблема с этой динамикой в том, что 4-векторный потенциал является ненаблюдаемой величиной. Зачем писать уравнения на то. что наблюдать невозможно?
Кстати говоря, можно сделать элементарный вывод моей бивекторной теории из векторной. Если скалярно умножить вектор поля на набла, то получатся калибровочные уравнения. Если векторное - то получится та бивекторная теория, что я тут изложил.
То есть рассмотрение векторной теории отдельно сразу даст за 3 строчки содержимое еще нескольких параграфов из Ландау-Лифшица. Но она не нужна, так как векторный потенциал при моем подходе вообще нигде не нужен для описания наблюдаемых величин.
Простота моего подхода по сравнению с Ландау достигается за счет трех вещей
1) я вообще не использую принцип наименьшего действия
2) я не использую никаких калибровочных полей, мне не нужен векторный потенциал (да и скалярный тоже), все используемые в уравнениях величины физически наблюдаемые
3) у меня нет привязки к конкретной системе координат, это упрощает
За вопрос в общем спасибо, он позволяет обратить внимание на важные вещи.
Простота моего подхода по сравнению с Ландау достигается за счет трех вещей
1) я вообще не использую принцип наименьшего действия
Это как бы не "упрощение" получается, а фундаментальный переворот всей физики - вариационный принцип получается всего лишь строгим математическим следствием, а не изначальным постулатом...
Как это соотносится с теоремой Нётер?
На вариационный принцип можно смотреть как на эквивалентность дифференциальных уравнений и задач минимизации специально подобранных функционалов. Если я сразу получаю верные диффуры, зачем мне функционалы?
Тем более что все эти функционалы Ландау подбирает путем угадывания по принципу - давайте угадаем такой функционал, чтобы вывести из него известное.
Смотреть на вариационный принцип как на следствие, а не на изначальный постулат - ну ничего революционного тут нет. Это скорее Ландау и Фейнман (со свои интегралом по путям) сделали революцию, когда стали всё сводить к принципу наименьшего действия. Я же тут просто вернулся к более простому классическому подходу.
С теоремой Нетер тут пока никак не соотносится, чтобы ее применять - нужно переписать мои уравнения через лагранжианы, что сделать можно. Только тогда будут лагранжианы с мультивекторами - не пробовал писать, но в принципе это получится всё совершенно аналогично тому, как используется в теореме Нетер у Ландау.
вариационный принцип получается всего лишь строгим математическим следствием, а не изначальным постулатом...
А почему бы и нет? Вариационный принцип - это обобщение эмпирически найденных законов с помощью подбора нужного функционала действия в каждом конкретном случае. Он удобен тем, что одним выстрелом убивается много зайцев. Но если этих же зайцев можно убить другим выстрелом, то это ничем не хуже.
Ну тут еще речь о том, что есть разного рода философия вокруг вариационного принципа, что он имеет фундаментальных смысл, а не технический, тот же интеграл по путям Фейнмана рассматривают как основу интерпретаций квантовой механики.
есть разного рода философия вокруг вариационного принципа, что он имеет фундаментальных смысл, а не технический
Проблема в том, что надёжно доказать это или опровергнуть можно лишь одним способом: найти Создателя (если он есть) и спросить его. А до тех пор, любые системы аксиом, приводящие к одному и тому же результату, должны считаться равноправными.
Иначе есть риск начать исследовать свою математическую модель, а не окружающий мир, который она должна описывать.
А что в этом плохого? Преобразования Лоренца тоже вывели не из наблюдений за окружающим миром, а из математического аппарата теории относительности...
Возможно, как раз исследование какой-то неочевидной математический модели поможет объяснить открытые физические проблемы...
P.S. К тому же, лично мне кажется это интуитивно правильным путём - в физике уже давно назрела потребность в "новой математике". А то старая так и продолжает долбиться об КЭД своими перенормировками...
Ну это не новая математика - четверть века назад Хестенес всё доработал до полноценного матаппарата всей матфизики (на рисунке общая схема всей математики, которую он описал через геометрическую алгебру и соединил в один единственный математический аппарат), а то, что я тут использую, было сделано еще Клиффордом в 19-м веке (только уравнения теории поля он не получал). Но я тут занимаюсь переписыванием известных вещей.
А Хестенес сам занимался много попытками получать что-то новое. Например, он построил собственную интерпретацию квантовой механики, которая сейчас набирает популярность. На русском материалов практически нет, гуглить zbw interpretation.
Вообще претензию автора вопроса можно к самому Ландау адресовать. Ведь он делает ровно то же самое - переписывает уже известные уравнения в других обозначениях.
До Ландау (и во многих западных курсах того времени) физику преподавали как набор разрозненных дисциплин: механика со своими законами Ньютона, электродинамика с уравнениями Максвелла, термодинамика со своими началами. Каждый раздел начинался как бы "с нуля", со своих собственных постулатов.
А у меня другая концепция - хочу всё переписать геометрической алгеброй.
Разница пока что в том, что мой способ проще и гораздо короче. Кроме того, у Ландау не получилось сделать так, чтобы его принцип объединял физику. Потому что физика определяется не принципом, а самой формой действия. Подставляешь туда разные действия - получаешь совершенно разные разделы физики, мало общего.
В моем случае единства больше, любой раздел физики - это динамика мультивекторов.
У Ландау получалось, что там в разных разделах разная математика нужна. А я опираюсь на Хестенеса, который объединил все эти разделы математики в один единственный.
На самом деле моим подходом можно всю стандартную модель физики элементарных частиц получить очень коротким путем. Есть изоспиновое пространство и цветовое. Если я просто тем же самым способом напишу такое же простейшее уравнение поля в них, записав изоспиновый мультивектор и цветной, то получу формулы для слабого взаимодействия и сильного. Но пока туда не суюсь, эти вещи знаю очень поверхностно.
Еще в настоящее время бурно развивающаяся научная область - это метод геометрической алгебры в термодинамике. Нашел вот такую таблицу
Но я в это пока не лезу. Еще вроде как в обычной термодинамике пользы мало от ГА.
Ну, как раз преобразования Лоренца выводили для объяснения экспериментальных наблюдений того как магнитное поле переходит в электрическое. А теорию относительности делали намного позже. Поэтому даже нобелевскую премию за такую замечательную теорию относительности не дали. Так-что ваше утверждение несколько ложно - потребности в новой математике там не было, были необъясненные экспериментальные факты и понятные физические соображения об инвариантности и законах сохранения, которые стоит учитывать. Вроде так я слышал в очереди за хлебом.
Я не хронологию научных открытий перечислял, а давал аналогию - вы контекст считывайте, а не уводите беседу в бравирование матчастью ;)
Нобелевку не дали - за теоретический характер модели, а не утилитарный.
На момент формулировки - лоренцово сокращение экспериментально не было обнаружено. Как раз наоборот - математические предсказания были потом подтверждены экспериментально.
Интересно, что в алгебре Клиффорда с положительным квадратом всех базовых векторов псевдоскаляр в квадрате дает минус единицу при любой размерности пространства
Ну это просто неправда. В 
псевдоскаляр в квадрате очевидно положительный, в 
тоже. Там паттерн +,+,-,- (считая от размерности 0) повторяющийся с периодом 4.
А, точно! Спасибо за это уточнение, это правда так. Я тогда подчищу сейчас в статье.
Подправил на это
"Интересно, что в алгебре Клиффорда с положительным квадратом всех базовых векторов псевдоскаляр в квадрате дает минус единицу при размерностях пространства, которые при делении на 4 дают остатки 2 и 3, а в алгебре Клиффорда вида 
получается ровно наоборот. "
Так вроде верно.
У меня вообще вызывает когнитивный диссонанс привязка к линейным векторам в "криволинейных геометриях" - это как будто когнитивная надстройка, чтобы облегчить понимание человеком криволинейности пространства. Но Вселенная ведь не нуждается (антропный принцип пока оставим) в подобных "когнитивных читах"...
Почему у нас в криволинейных геометриях постоянно всплывают евклидовы плоскости?
Тут есть 2 причины.
1. Это действительно когнитивная надстройка.
2. Когда рассматривают криволинейные геометрии, то обычно рассматривают дифференцируемые функции. Это означает, что в каждой точке касательную гиперплоскость можно провести. Отсюда естественность использования евклидовых плоскостей.
В МГУ, например, есть один математик, который всю жизнь занимается степенной геометрией - обобщением математического анализа, в котором вместо дифференцируемых функций степенные (например, квадратный корень из х не дифференцируемый в точке 0).
Вот его сайт Биография (Русский) — Bruno Alexander Dmitrievich
Но этот подход тоже сильно отсылает к евклидовым плоскостям.
Динамическое уравнение является внутренним произведением наблы на поле
Внутреннее произведение вообще плохо определено для произвольных мультивекторов. Есть множество разных определений, и ваше мне нравится пожалуй меньше всех.
Лучше уж определять через коммутатор и антикоммутатор:
![[\nabla, F] = \frac{1}{\varepsilon_0 c} J; \quad \{\nabla, F\} = 0](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/6/69/690/690e3c20848c0626256ca9a7be871f36.svg)
А дальше их сумма очевидно дает просто 
.
Интересно. Но тогда, если вместо F писать что-то более сложное, чем бивектор, то эти уравнения будут давать что-то иное.
Я тут про те обобщения, про которые написал в самом конце статьи. Пара коммутатор + антикоммутатор выглядит интереснее, так как это полная система из двух уравнений.
А какие другие определения внутреннего произведения вы видели?
Насколько я понимаю, никаких других не эквивалентных этому нет.
Насчет "плохо определено" - мое определение дает возможность правильно и единственным образом посчитать в любом случае, оно максимально общее.
и 
как минимум (надеюсь что я правильно проставил направление этого значка).
Причем первая здесь явно подойдет, как калька с дифференциальных форм. Но в общем случае, это все не эквивалентно друг другу.
И ни с одним из этих определений в общем случае не выполняется чтобы геометрическое произведение было равно сумме внутреннего и внешнего.
Сам Хестенес использует внутреннее и внешнее произведение вместо коммутаторов для таких случаев. Хотя это эквивалентно.
Я написал сейчас статью по элементарному выводу общей теории относительности.
Вывод ОТО в геометрической алгебре / Хабр
Это эквивалентно тому, что в статье у Хестенеса есть, но намного проще, так как я не стал опираться на обозначения Эйнштейна и тензоры в дифференциальной геометрии.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Об уравнениях Максвелла в пространстве Минковского