Comments 7
Секунду. Прежде чем мы пойдем дальше, начнем с того что ZFC неконструктивна. С в ней означает AC, аксиому выбора, а из аксиомы выбора выводится принцип исключённого третьего. Да и вы сами знаете сколько реконструктивных объектов с лёгкостью строятся с помощью АС, та же теорема Банаха Тарского
Что касается ординалов, то самым большим предикативных ординалов, совместимым с интуиниционисткой математикой, это Feferman Shutte ordinal
Ради интереса спросил ChatGPT по поводу вашей статьи. По крайней мере про один пункт давно хотел сказать, остальное тоже интересно
Замечания по корректности и строгости (главные проблемы)
Непрояснённость операции «max» и множества, по которому берётся максимум. В тексте Φ определяется как «max { V ∈ U | V — конструктивное усиление U, не ведущее к парадоксам }». В математике такого «максимума» может не существовать: множество усилений обычно не имеет наибольшего элемента (есть супремум в порядке роста, но он может быть не реализуемым как конструктивная функция). Нужно чётко различать существование наибольшего элемента, супремума в порядке доминирования функций и понятие предела последовательности.
Тезис о том, что АКП — «конечное число» требует уточнения. Автор пишет, что AKP(Formal) → ℕ и утверждает конечность. Понятия из иерархий быстрого роста дают для конечного аргумента конечные значения, но супремум по всем конструктивным процедурам/итерациям обычно даёт либо очень большие конечные числа (для каждого фиксированного входа) либо ординал/функцию как объект. Формулировка «AKP — конечное число» нуждается в точном математическом смысле: конечно-ли для фиксированного n значение — да; но сам объект «предел всех таких процессов» естественнее интерпретировать как либо класс ординалов/функций, либо как формальную величину (не как конкретное натуральное число без уточнения n). Нужна чёткая демаркация между «функцией/ординалом» и «числовым значением при входе 1».
Юридические применения теорем о фиксации и порядковые решётки — некорректные переносы. В тексте используется аргумент «Φ — монотонный оператор на полной решётке ординалов; по теореме Клини (Knaster–Tarski) существует единственная фикс-точка». Но ординалы при стандартном порядке не образуют полной решётки (нет супремума для произвольных множества внутри класса всех ординалов в том смысле, который нужен для Knaster–Tarski) — а для применения теоремы Клини/Knaster–Tarski нужно работать в действительно полной решётке и обеспечить монотонность оператора на ней. Требуется либо (а) чёткая конструкция подходящего полукольца/решётки (набор представимых нотаций ординалов), либо (б) замена аргумента на леммы о монотонных последовательностях в конкретной системе нотаций ординалов. В текущей формулировке это вызывает формальную неточность.
Ссылки на конкретные ординалы и оценочные равенства нуждаются в библиографической опоре. В тексте фигурируют обозначения вроде и утверждение, что это «верхняя граница для CZF». Это имеет смысл — Bachmann–Howard и связанные ψ-функции действительно связаны с силой CZF/подобных теорий — но такие утверждения нужно подкреплять ссылками на классические работы (Rathjen, Buchholz и др.), и аккуратно формализовать, что именно означает «верхняя граница» (proof-theoretic ordinal, или другая мера силы). Утверждение в тексте этого рода должно сопровождаться ссылками и точными формулировками теорем.
Философские заявления (например, «все пути максимизации сходятся к АКП») требуют доказательной опоры. Такое свойство — сильное универсальное утверждение — не тривиально; нужно либо строить соответствующую теорему в рамках формальной нотации ординалов, либо ограничить диапазон операций, среди которых берут «максимизацию». В текущем виде остаётся много неоднозначностей о том, какие расширения допускаются и почему все они «сходятся».
это рассуждение применимо лишь к числам, но не к ординалам, описывающим скорость роста функций
Не затруднит ли вас привести формальное определение "ординала, описывающего скорость роста функций"?
Таким образом, даже если "конечное число" в обычном смысле не имеет последнего представителя, предельный конструктивный ординал существует. Он выражает не конкретную величину, а структурную границу самой математики, отделяющую область конечного осмысленного от неконструктивного и парадоксального.
В этом смысле F_ψ₀(ε_{Ω1}) — не просто символическое выражение, а универсальная абстракция предела математической мысли, представляющая собой конечное и внутренне обоснованное завершение всей конструктивной иерархии возможных числовых и функциональных структур.
Перекликается с представлениями из трансцендентальной философии познания Канта с ее указаниями пределов возможного познания, границ разума проявляющихся в виде антиномий, паралогизмов, и др. логических и математических парадоксов. Его считают одним из основоположников эпистемологического конструктивизма - 1, 2, 3. По Канту познание реальности "вещей в себе" возможно только в виде явлений, тогда как их скрытая сущность остается неизвестной.
Впрочем не могу ничего сказать о корректности формальной стороны приведенных в статье рассуждений. Если приводить легкую математическую аналогию, то познание по Канту напоминает приближение с каждой итерацией сходящейся последовательности к неизвестному пределу подчиняющейся критерию сходимости вроде критерия Коши. В методологии научного познания известен принцип соответствия (подробнее), который выполняет подобную роль для смены поколений проверенных практикой научных теорий. Этот принцип на основе представлений Канта ввел Н.Бор для обоснования применимости КМ, наряду с принципом дополнительности - 1, 2, именно как выражения конструктивного характера развития познания, которые со временем приобрели статус общенаучных методологических. Они, кстати, со своей спецификой, также выполняются и для математических теорий. В целом историческая динамика развития науки, особенно физики, подчиняется закономерностям, которые вытекают из теории Канта.
Абсолютный конструктивный предел: ординальный анализ границы формализуемых числовых структур