В середине XIX века Бернхард Риман предложил новый подход к математическим пространствам, заложив основу для современной геометрии и физики.

Стоя посреди поля, мы легко забываем, что живём на круглой планете. Мы настолько малы по сравнению с Землёй, что с нашей точки зрения она кажется плоской.

Мир полон форм, которые кажутся плоскими для живущих на них муравьёв, хотя в целом они могут иметь более сложную структуру. Математики называют эти формы многообразиями. Введённые Бернхардом Риманом в середине XIX века, многообразия изменили представление математиков о пространстве. Оно перестало быть просто физической средой для других математических объектов, а стало абстрактным, чётко определённым объектом, заслуживающим самостоятельного изучения.

Эта новая перспектива позволила математикам тщательно исследовать пространства более высоких измерений, что привело к зарождению современной топологии — области, посвящённой изучению математических пространств, таких как многообразия. Многообразия также стали играть центральную роль в таких областях, как геометрия, динамические системы, анализ данных и физика.

Сегодня они дают математикам общий словарный запас для решения всевозможных задач. Они так же важны для математики, как алфавит для языка. «Если я знаю кириллицу, значит ли это, что я знаю русский язык? — говорит Фабрицио Бьянки, математик из Университета Пизы в Италии. — Нет. Но попробуйте выучить русский язык, не зная кириллицы».

Так что же такое многообразия и какой словарный запас они предоставляют?

Идеи, обретающие форму

На протяжении тысячелетий геометрия изучала объекты в евклидовом пространстве — плоском пространстве, которое мы видим вокруг себя. «До 1800-х годов „пространство“ означало „физическое пространство“», — говорит Хосе Феррейрос, философ науки из Университета Севильи в Испании, — аналог линии в одном измерении или плоской плоскости в двух измерениях.

В евклидовом пространстве всё ведёт себя так, как нам кажется интуитивно: кратчайшее расстояние между любыми двумя точками — это прямая линия. Углы треугольника в сумме дают 180 градусов. Инструменты исчисления надёжны и чётко определены.

Но к началу XIX века некоторые математики начали исследовать другие виды геометрических пространств — не плоские, а изогнутые, как сфера или седло. В этих пространствах параллельные линии могут в конечном итоге пересекаться. Углы треугольника могут в сумме составлять больше или меньше 180 градусов. И вычисления могут стать гораздо менее простыми.

Математическое сообщество с трудом принимало (и даже понимало) этот сдвиг в геометрическом мышлении.

Но некоторые математики хотели развить эти идеи ещё дальше. Одним из них был Бернхард Риман, застенчивый молодой человек, который изначально планировал изучать теологию — его отец был пастором — но затем увлёкся математикой. В 1849 году он решил получить докторскую степень под руководством Карла Фридриха Гаусса, который изучал внутренние свойства кривых и поверхностей, независимые от окружающего их пространства.

Бернхард Риман широко считается одним из величайших математиков в истории. Его работы произвели революцию в геометрии, топологии, теории чисел и других областях.

Общественное достояние

В 1854 году Риману нужно было прочитать лекцию, чтобы получить должность преподавателя в Гёттингенском университете. Ему была задана тема: «Основы геометрии». 10 июня, несмотря на боязнь публичных выступлений, он изложил новую теорию, в которой обобщил идеи Гаусса о геометрии поверхностей на произвольное количество измерений (и даже на бесконечное количество измерений).

Гаусс был сразу же впечатлён лекцией, которая касалась не только математики, но и философии и физики. Однако большинство математиков сочли идеи Римана слишком расплывчатыми и абстрактными, чтобы быть полезными. «Многие учёные и философы говорили: "Это нонсенс"», — сказал Феррейрос. И так, на протяжении десятилетий, эта работа в основном игнорировалась. Лекция Римана была напечатана только в 1868 году, через два года после его смерти.

Но к концу XIX века такие великие математики, как Анри Пуанкаре, признали важность идей Римана. А в 1915 году Альберт Эйнштейн использовал их в своей общей теории относительности, выведя их из области философской абстракции в реальный мир. К середине XX века они стали основным элементом математики.

Риман ввёл концепцию, которая могла охватить все возможные геометрии в любом количестве измерений. Концепцию, которая изменила бы представление математиков о пространстве.

Многообразие.

Исследованная территория

Термин «многообразие» происходит от немецкого слова Mannigfaltigkeit, которое означает «разнообразие» или «множественность».

Многообразие — это пространство, которое выглядит евклидовым, если увеличить любую его точку. Например, круг — это одномерное многообразие. Увеличьте любую его точку, и она будет выглядеть как прямая линия. Муравей, живущий на круге, никогда не узнает, что он на самом деле круглый. Но увеличьте фигуру восьмёрки в точке, где она пересекается сама с собой, и она никогда не будет выглядеть как прямая линия. Муравей, находящийся в этой точке пересечения, поймёт, что он не находится в евклидовом пространстве. Поэтому восьмёрка не является многообразием.

Точно так же в двух измерениях поверхность Земли является многообразием; если увеличить любую её точку достаточно сильно, она будет выглядеть как двумерная плоскость. Но поверхность двойного конуса — фигуры, состоящей из двух конусов, соединённых вершинами — не является многообразием.

Многообразие – это пространство, которое выглядит Евклидовым при увеличении одной из точек. Вверху – одномерные случаи. Если увеличить точку круга, она покажется прямой линией. Но восьмёрка уже не будет многообразием. Внизу – двумерные случаи. Если увеличить точку на сфере, она покажется плоскостью. Но если увеличить точку, где встречаются две «луковицы», она уже не будет похожа на плоскость.

Многообразия решают проблему, с которой в противном случае пришлось бы сталкиваться математикам: свойства фигуры могут меняться в зависимости от природы и размерности пространства, в котором она находится (и от того, как она расположена в этом пространстве). Например, положите кусок верёвки на стол и соедините её концы, не поднимая её. Вы получите простую петлю. Теперь поднимите нить в воздух и свяжите её концы. Рассматривая нить в трёх измерениях, вы можете пропустить её над и под собой, прежде чем соединить концы, создавая всевозможные узлы, выходящие за рамки простого узла. Все они представляют одно и то же одномерное многообразие — завязанную нить — но имеют разные свойства, если рассматривать их в двух или трёх измерениях.

Математики избегают таких неоднозначностей, сосредоточиваясь на внутренних свойствах многообразия. Определяющее свойство многообразий — то, что в любой точке они выглядят евклидовыми — чрезвычайно полезно в этом плане. Поскольку можно рассматривать любой небольшой участок многообразия с точки зрения евклидова пространства, математики могут использовать традиционные методы исчисления, чтобы, например, вычислить его площадь или объём, или описать движение на нём.

Для этого математики делят данное многообразие на несколько перекрывающихся участков и представляют каждый из них с помощью «карты» — набора координат (равного размерности многообразия), которые показывают, где вы находитесь на многообразии. Важно также записать правила, описывающие, как координаты перекрывающихся карт соотносятся друг с другом. Совокупность всех этих карт называется атласом.

Затем вы можете использовать этот атлас — карты которого переводят небольшие области вашего потенциально сложного многообразия в знакомое евклидово пространство — для измерения и исследования многообразия по одному участку за раз. Если вы хотите понять, как функция ведёт себя на многообразии, или получить представление о его глобальной структуре, вы можете разбить задачу на части, решить каждую часть на отдельной карте в евклидовом пространстве, а затем соединить результаты всех карт в атласе, чтобы получить полный ответ, который вы ищете.

Сегодня этот подход повсеместно используется в математике и физике.

Использование многообразий

Многообразия имеют решающее значение для нашего понимания Вселенной. В своей общей теории относительности Эйнштейн описал пространство-время как четырёхмерное многообразие, а гравитацию — как кривизну этого многообразия. И трёхмерное пространство, которое мы видим вокруг себя, также является многообразием — таким, которое, как и все многообразия, кажется евклидовым тем из нас, кто живёт в нём, хотя мы всё ещё пытаемся понять его глобальную форму.

Даже в тех случаях, когда многообразия, казалось бы, отсутствуют, математики и физики пытаются переформулировать свои задачи на языке многообразий, чтобы воспользоваться их полезными свойствами. «Большая часть физики сводится к пониманию геометрии, — говорит Джонатан Сорс, теоретический физик из Принстонского университета. — И часто это происходит самым удивительным образом».

Рассмотрим двойной маятник, состоящий из одного маятника, подвешенного на конце другого. Незначительные изменения в начальных условиях двойного маятника приводят к тому, что он описывает очень разные траектории в пространстве, что затрудняет предсказание и понимание его поведения. Но если представить конфигурацию маятника с помощью всего двух углов (один из которых описывает положение каждого из его плеч), то пространство всех возможных конфигураций будет выглядеть как кольцо или тор — многообразие. Каждая точка на этом торе представляет одно из возможных состояний маятника; пути на торе представляют траектории, по которым маятник может двигаться в пространстве. Это позволяет исследователям переводить свои физические вопросы о маятнике в геометрические, делая их более интуитивными и лёгкими для решения. Так же они изучают движения жидкостей, роботов, квантовых частиц и многое другое.

Аналогичным образом, математики часто рассматривают решения сложных алгебраических уравнений как многообразие, чтобы лучше понять их свойства. И они анализируют высокоразмерные наборы данных — например, активность тысяч нейронов в мозге — глядя на то, как эти точки данных могут располагаться на многообразии более низкой размерности.

Спросить, как учёные используют многообразия, всё равно что спросить, как они используют числа, сказал Сорс. «Они лежат в основе всего».

Что такое топологическое многообразие?