@master_program Nov 23 at 18:21

Математика равновесия: как уравнение Ляпунова держит весь мир в узде

Medium

28 min

37K

Mathematics * Popular sciencePhysicsLifehacks for geeksRobotics

Tutorial

+149

Comments 84

@Daddy_Cool Nov 23 at 18:43

Это всё очень интересно, но пропущены основы, у вас подход математика, а хочется вначале всё же физики.
1. Что такое вообще устойчивость? Как это выражается физически и математически?
2. Откуда взялось само уравнение Ляпунова? Нужны примеры физических систем, где там что за что отвечает и как возникает это уравнение.
3. "Представим, что мы хотим проверить устойчивость системы $\dot{x} = Ax.$ " Почему такой? Что это за система?
"Согласно методу Ляпунова, система устойчива, если её «энергия» со временем убывает."
Что такое "энергия" в кавычках? Ну так и почему так-то? Почему энергия должна убывать? На каком интервале времени?

@master_program Nov 23 at 19:04

Устойчивость означает, что при малом возмущении начальных условий траектория меняется слабо.
Здесь в статье проделан вывод уравнения Ляпунова, соответственно дан ответ на вопрос, откуда оно взялось
Потому что это система линейных диффуров, в окрестности равновесия любая механическая система так описывается приближенно (вдали от окрестности уже нелинейная становится). Если у нас система нелинейная - надо ее линеаризовать, т.е. разложить в ряд Тейлора в окрестности равновесия. И тогда получить такую систему из нелинейной, и дальше по алгоритму
$\dot{x}=A x .$
Энергия в кавычках, потому что можно брать не только кинетическую энергию, а в принципе любую подходящую квадратичную функцию. Обычно берут кинетическую энергию, но в некоторых случаях удобнее что-то еще.

Материал про линеаризацию тогда чуть позже ночью добавлю и вставлю в статью.

@Arastas Nov 23 at 20:04

Устойчивость означает, что при малом возмущении начальных условий траектория меняется слабо.

Что значит слабо?

@NightlyRevenger Nov 24 at 07:48

На вики есть строгое определение

@Arastas Nov 24 at 08:00

Я знаю, какое строгое определение, и оно мне кажется не совпадающим с текстом в комментарии выше. По крайне мере, не в том смысле как я его читаю. Потому я и прошу уточнить, что автор хочет сказать.

Для меня «малое отклонение начального условия ведет к слабому изменению траектории» подразумевает некоторую непрерывность, которой нет в строгом определении. Для вас не так?

@beardiengineer Nov 24 at 14:49

Не обязательно. Можно сравнить ровно две траектории, отличающиеся на эпсилон в начальной точке.

@Arastas Nov 24 at 16:02

Я, к сожалению, не понимаю, как это относится к моему вопросу.

Хорошо, я взял номинальную траекторию из номинальной начальной точки. Сдвинул начальную точку на единицу и построил новую траекторию. Её максимально отклонение от базовой пять единиц. Сдвинул начальную точку на единицу в другую сторону. Что дальше?

@beardiengineer Nov 24 at 16:54

У вас получилось эпсилон равное 5.

@Arastas Nov 24 at 17:14

Нет, так как в другой точке на расстоянии в единицу от номинальной может получиться отклонение в шесть единиц. Но это мы про квантор for all, это уводит нас в сторону от устойчивости.

@beardiengineer Nov 24 at 21:25

Понял мысль. По-моему автор сформулировал п.1 больше с точки зрения практики, а не чисто математического непроверяемого определения.

@Arastas Nov 24 at 21:32

Да даже практически это спорная формулировка. Несложно придумать вполне физически осмысленную систему, когда мы сдвигаемся от начального положения на эпсилон и получаем дельту. А сдвигаемся на эпсилон плюс ещё чуточку, и нас уносит очень далеко. Но ограничено, так что система будет устойчивой по Ляпунову.

@beardiengineer Nov 25 at 11:18

И это будет практически полезная система?

@beardiengineer Nov 25 at 11:19

Согласен, математически нужно было бы сказать "ограничено" вместо "слабо", но на практике обычно стараются делать "слабо".

@Arastas Nov 25 at 11:42

Стараются сделать асимптотический устойчивую, сходящуюся, а не устойчивую по Ляпунову.

@Arastas Nov 23 at 20:11

Если у нас система нелинейная - надо ее линеаризовать, т.е. разложить в ряд Тейлора в окрестности равновесия. И тогда получить такую систему из нелинейной, и дальше по алгоритму.

Вот бы все было так просто. А если линеаризация не валидна?

@master_program Nov 23 at 21:39

Для этого нужно функцию V считать по полной системе, беря ее на основе квадратичной формы, построенной на основе линеаризованной.

Я сейчас составляю вводный кусок с физикой, там покажу тогда этот пример сразу.

@Arastas Nov 23 at 22:18

По полной системе это да, но на основе квадратичной это если сильно повезет.

@malkovsky Nov 24 at 09:13

Предположу, что исходный список вопросов вам задали не для того, чтобы вы ответили на них в комментарии, а для того, чтобы дать вам понять, что этого явно не хватает в статье.

ИМХО. У вас хорошая техническая статья, но не понятно о чем она и для кого. Вроде как статья про метод Ляпунова, но 2 трети статьи -- это вы пошли в случайном направлении и начали в подробностях разбирать вещи, которые вполне живут самостоятельной жизнью. Например фундамент математической оптимизации тоже выражается через анализ Ляпунова, но подробный рассказ о том как это выражается -- это не детальное погружение в тематику, а плохая струтурированность и отличный способ окончательно запутать читателя.

@master_program Nov 24 at 09:25

Статья написана по типичному плану лекции по теме "уравнение Ляпунова". Зачем нужно, откуда взялось, 2 случая (дискретный и непрерывный) и как его решать.

В английской Википедии то же самое, но без объяснений и слишком не подробно

https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation

Материал английской страницы написан так, что его очень сложно понять, если уже не знаешь, что это такое, так как слишком кратко. Я же здесь сделал подробно, также добавил примеров и много иллюстраций с кодом.

Я сейчас учусь в Aimasters, у нас было 3-часовое занятие на тему уравнения Ляпунова, например, на курсе робототехники, там в точности такой же план изложения.

@malkovsky Nov 24 at 11:22

В английской Википедии то же самое, но без объяснений и слишком не подробно

В английской википедии есть следующие статьи

https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability
https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_function
https://en.wikipedia.org/wiki/QR_decomposition
https://en.wikipedia.org/wiki/QR_algorithm
https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_decomposition
https://en.wikipedia.org/wiki/Proportional–integral–derivative_controller
https://en.wikipedia.org/wiki/Bartels–Stewart_algorithm

Так что я бы не сказал, что она не подробная. Опять же, подозреваю, что статья писалась не для такого как я, кто итак знает. Отдельно отмечу, что как показалось странным при такой подробности полное отсутствие упоминания о linear matrix inequalities.

@Daddy_Cool Nov 24 at 11:36

Это нормально если лекция в ряду других лекций. А если это самодостаточная статья на популярном ресурсе где люди с разным образованием (даже разным физмат), то надо больше базы и примеров. Кто знает это всё - тому статья не нужна, кто не знает - тот не поймет. И смысл? Мне вот надо разбираться, почему такая система - производная на... матрицу с вектором? В моей работе у меня сплошная среда и урматфиз, хотя вроде близко).https://dzen.ru/a/aOVRUVX5zBt0naTT

@master_program Nov 24 at 11:42

Мне вот надо разбираться, почему такая система - производная на... матрицу с вектором?

Так написано почему, в самом начале. Так описывается абсолютно любая динамическая система в механике Ньютона.

@Daddy_Cool Nov 24 at 12:38

Ага, теперь ясно. Теории управления у меня не было. А способ понижения порядка в гидродинамике тоже используется.

@beardiengineer Nov 24 at 21:13

По п.3 не совсем так. Физически система описывается всё-таки в форме вход-выход, а форма Коши введена для удобства анализа, причём выбор х не является однозначным для одной и той же системы.

@el_mago Nov 23 at 19:38

С позиции физики - это в ТАУ в раздел нелинейных систем. Видимо предполагается, что читатель знаком со свойствами объекта управления (астатизм, устойчивость и т.д.).

@master_program Nov 23 at 19:59

Ну я думаю это излишне, а для понимания статьи устойчивость достаточно понимать приблизительно. Это скорее просто в тему систем линейных диффуров.

@el_mago Nov 23 at 19:38

Немного непривычно было читать определения (сравниваю с ТАУ). Обратил внимание, что во введении вы приводите применение метода первого приближения для исследования ПО (например, БПЛА), а в самой статье даны абстрактные примеры.

@master_program Nov 23 at 20:01

В начале тогда допишу, как получается система $\dot{x}=A x$ . из линеаризации конкретной физической системы.

@el_mago Nov 23 at 22:38

Интересно также про выбор функции Ляпунова. Сколько наблюдал, так все эвристически выбирали.

@master_program Nov 23 at 22:52

Так это в статье уже было. Функция V через матрицу P выбиралась.

@Arastas Nov 23 at 20:06

Скажите, а зачем искать матрицы P и Q? Ведь проверить устойчивость можно просто по собственным числам матрицы A?

@master_program Nov 23 at 20:15

Нужно спроектировать управление, оценить область притяжения (устойчивости) для нелинейной системы, оценить робастность - как минимум.

Кроме того. если матрица A зависит от времени, то метод собственных чисел вообще не является критерием. Например, Re(k) могут быть < 0 в любой момент времени, но при этом система может быть неустойчивой. А уравнение Ляпунова в этом случае работает.

@misha_erementchouk Nov 24 at 07:04

А можете привести пример для второго параграфа? Казалось бы все отображения получаются сжимающими, соответственно любые квадратичные функции должны исчезать, со всеми вытекающими.

@Arastas Nov 24 at 11:19

A = [-1, exp(2t); 0, -1]. У вас второе состояние автономно уходит в ноль, а певое к бесконечности. Есть примеры и с ограниченными элементами матрицы A, но они более громоздкие (могу картинку в личку отправить).
Есть примеры и неустойчивых переключающихся систем, у которых переключение происходит между двумя устойчивыми. Вроде функция Ляпунова всегда убывает, но меньше, чем растёт на переключениях.
В целом, как только ушли из мира LTI, собственные числа могут сильно обманывать.

@misha_erementchouk Nov 24 at 18:25

Пошлите картинку, если не тяжело. Спасибо!

@Arastas Nov 25 at 08:12

Скрытый текст

@vova_shv Nov 25 at 14:25

Откуда пример, можно ссылку?

@Arastas Nov 25 at 15:42

Из моих лекций по нелинейным системам. А откуда он там я сейчас и не вспомню.

@misha_erementchouk Nov 25 at 18:07

Здорово. Спасибо!

ЗЫ Как человек, который занимался и андерсоновской локализацией и всякими фотонными кристаллами, я должен был пример и сам сразу увидеть. А не увидел. Официально стал старым. Чертовски грустно.

@Arastas Nov 24 at 07:07

Вы можете привести пример проектирования управления для линейных стационарных систем через функцию Ляпунова? Или оценку робастности (по отношению к чему)?
К нелинейным или нестационарным системам вопросов нет.

@master_program Nov 23 at 20:17

Или, например, допустим собственные числа чисто мнимые, тогда метод собственных чисел для исходной нелинейной системы вообще ничего не гарантирует.

@SNORKMAN Nov 24 at 08:54

Как и не гарантирует метод, основанный на использовании матричного уравнения Ляпунова

@master_program Nov 23 at 20:18

Допишу это в статью тоже ночью сегодня.

@tsul Nov 23 at 20:19

Мне кажется научпоп не для Википедии. Принцип беспристрастного энциклопедичного изложения страдает. Научпоп это по определению собственное творчество, производное от рассматриваемой темы (в данном случае - уравнения Ляпунова). Я был бы против включения такой статьи в Википедию.

@bkar Nov 23 at 21:10

Согласен. Это конспект хорошей обзорной лекции, но не энциклопедическая статья.

Уверен, что 99% людей, которые зайдут на такую статью, чтобы в двух словах получить общее и простое представление, о чем же вообще речь, уйдут вовсе ничего не поняв.

А почему эта заготовка статьи без гиперссылок? Совершенно непонятно, что же будет в итоге. Может, многие темы можно в другие статьи раскидать? Или, там уже отдельные места разжёваны?

Удивительно, что в вике на русском до сих пор нет статьи об уравнении Ляпунова.

Игорь, спасибо большое! И за эту статью, и за ещё один кирпичек в наш общий банк знаний.

@master_program Nov 23 at 21:40

Гиперссылки внутри Википедии то набросаю. Пока нужно с контентом разобраться.

@Grigo52 Nov 24 at 15:19

Полностью согласен, статья хороша именно своим авторским стилем, аналогиями, кодом, а в Википедии все это вырежут, оставив сухой остаток из формул и определений, который будет мало чем отличаться от уже существующей (и плохой) англоязычной версии

@PereslavlFoto Nov 23 at 21:56

С точки зрения Википедии, у вашей статьи есть ключевой недостаток. Она не опирается вообще ни на какую литературу, то есть она не проверяемая.

@vilgeforce Nov 24 at 10:19

Поэтому ее вынесут на удаление и даже, может быть, снесут через недельку-другую

@koldyr Nov 24 at 05:13

Очень красиво. Спасибо большое за труд.

@BuddhaSugata Nov 24 at 06:38

Статья классная. Спасибо.
Предложения:
1. Структурно: разделите аналитическую часть (вывод уравнения) и численные методы (Китагава ет ол) - это две разные статьи.
2. По смыслу: дополните первую часть описанием локальной устойчивости. Обратный маятник - очень важный прикладной случай.
3. Добавьте оговорку, что в статье рассматриваются только время-инвариантные системы/характеристики.

@master_program Nov 24 at 08:00

Спасибо! Видимо, так и сделаю.

@SNORKMAN Nov 24 at 08:50

В статье не хватает нескольких важный вещей:

1) нет оценки М.Г. Крейна для решения уравнения y'=Ay:

\|y(t)\|\le (\|H\| \|H^{-1}\|)^(1/2) exp{t/\|H\|} \|y(0)\|,

Где H - решение HA+A^*H=-E

Эта оценка характеризует скорость стабилизации решений системы к положению равновесия, подобные оценки можно указать и для решений нелинейных систем, более того с помощью решения уравнения Ляпунова можно указать оценку на множество притяжения нулевого решения

2) Не сказано о проблеме численного нахождения собственных значений для неэрмитовых матриц.

3) В качестве метода нахождения решения матричного уравнения отсутствует алгоритм с гарантированной точностью, разработанный А.Я. Булгаковым и С.К. Годуновым

@master_program Nov 24 at 08:56

А можете дать ссылку на алгоритм Булгакова и Годунова? Загуглить такое не получается. В учебниках это тоже отсутствует.

@SNORKMAN Nov 24 at 09:00

Скину позже

@master_program Nov 24 at 08:57

"Не сказано о проблеме численного нахождения собственных значений для неэрмитовых матриц. "

Для алгоритма Шура разницы тут нет, эрмитовая она или нет.

Тут и написан общий случай, фактически (для эрмитовой разложение Шура дает диагональную матрицу, а не верхне-треугольную).

@SNORKMAN Nov 24 at 08:59

Попробуйте численно найти собственные значения данной матрицы. Это пример С.К. Годунова.

@master_program Nov 24 at 09:31

Я там дал ссылку на сайт своего курса https://toomanydigits.online/Block3/Sem2/1.html#id10 .

У меня там это описано

Эрмитова матрица частный случай нормальной матрицы (там важно то как раз, что при разложении Шура получается диагональная, а класс нормальных матриц в точности совпадает с классом матриц, для которых форма Шура диагональная), так что для нее псевдоспектр - это маленькие круги возле собственных значений. А в случае ненормальной матрицы да, может быть всё гораздо хуже, разумеется.

@Arastas Nov 24 at 09:39

Отличный пример. А есть такой же, но размерностью поменьше?

@master_program Nov 24 at 09:52

Ну, например

$A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\0 & 0\end{array}\right)$

Сделаем небольшое возмущение

$A_{\varepsilon}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\varepsilon & 0\end{array}\right)$

Тогда

$\begin{aligned}&\operatorname{det}\left(A_{\varepsilon}-\lambda I\right)=\lambda^2-\varepsilon=0\\&\lambda_{1,2}= \pm \sqrt{\varepsilon}\end{aligned}$

Если для нормальной матрицы псевдоспектр $\Lambda_{\varepsilon}(A)$ - это просто кружочки радиуса порядка $\varepsilon$ вокруг собственных чисел, то для нашей матрицы

$A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$

псевдоспектр уровня $\varepsilon$ - это круг радиуса $\sqrt{\varepsilon}$ .

Для $\varepsilon=10^{-4}$ радиус будет 0.01. Круг в 100 раз больше возмущения!

@Arastas Nov 24 at 09:46

нет оценки М.Г. Крейна для решения уравнения y'=Ay:
|y(t)|\le (|H| |H^{-1}|)^(1/2) exp{t/|H|} |y(0)|,
Где H - решение HA+A^*H=-E

Вы уверены, что у вас формула правильно написана? Вызывает сомнение |H| |H^{-1}|. Так же, у вас для устойчивой матрицы A будет положительно определённая матрица H, разве нет? Тогда будет расходящаяся экспонента.

@SNORKMAN Nov 24 at 10:14

Да, Вы безусловно правы. Привожу правильный вариант. Здесь под нормой матрицы понимается ее спектральная норма (т.к. H эрмитова и положительно определенная матрица, то норма от H - это максимальное собственное значение матрицы H)

@Arastas Nov 24 at 10:36

Ок, понятно. Под влиянием LMI, сегодня чаще предпочитают писать уравнение в форме PA+A^\top P + alpha P = 0 и искать максимальное альфа, при котором это возможно. Это даёт более явное представление о темпе сходимости функции Ляпунова : $\dot{V} = -\alpha V$

@Arastas Nov 24 at 10:46

До меня дошло, что запись |H| |H^{-1}| это число обусловленности матрицы, сначала не считал. :)

@Grigo52 Nov 24 at 15:10

Алгоритмы с гарантированной точностью это конечно хорошо, но часто они вычислительно дороже стандартных методов из LAPACK. Для большинства инженерных задач точности double и устойчивости алгоритма Бартелса-Стюарта более чем достаточно

@misha_erementchouk Nov 24 at 09:02

Труд, конечно, большой и статья информативная, но это не для Википедии. Возьмем случайного человека, например, меня, который знает, что такое функция Ляпунова (неотрицательная функция, невозрастающая на фазовых траекториях), но у которого представление об уравнении Ляпунова со студенческих времен проэволюционировало до "какой-то ~~артефакт~~ очень конкретный инструмент, с которым надо разбираться". Честно скажу, после прочтения статьи, понимания добавилось немного. Явный вывод был полезен, поскольку ответил на вопрос откуда берется структура, характерная для эволюционных уравнений (мог бы и сам догадаться, но глаз слишком привык видеть коммутаторы в таких ситуациях), но зачем решать уравнение Ляпунова непонятно. Для того, чтобы доказать существование решения путем его явного предъявления? Странно.

И если решать, зачем нужно решение для произвольного Q? Зачем "например Q = I", а не сразу Q = I? С точки зрения теоремы об устойчивости разницы, вроде, никакой (?), а увидеть, что вычислительная сложность сводится к эффективному получению (квази)треугольной формы А гораздо проще. Или это имеет какое-то отношению к примерам из последнего раздела (которые тоже непонятны, но по-своему)?

@Rostislav_R Nov 24 at 10:10

Очень хорошая статья! Спасибо!

@domix32 Nov 24 at 10:24

Это пре-релиз статьи для русской Википедии.

В таком виде статью точно ревертнут как оригинальное исследование. Ко всему непонятно к какой статье подразумевается всё это отнести, ибо из всей статьи можно достаточно просто ещё штуки три-четыре связанных статьи сделать.

Обычно импликацию на вики не используют (как в "Уравнение Ляпунова для скаляров:", например) и просто пишут каждый из шагов примера на отдельной линии.

Некоторые картинки так и просятся стать какой-нибудь анимацией. Может каким-нибудь manim стоит сделать? Buldge chasing тот же, например, или приземление на эллипс поменьше.

Сэндвич из матриц выглядит как сэндвич для смены базиса, это действительно оно?

Схемы-графики аналогично слабо объяснены - большая энергия, малая энергия это слабо похоже на объяснение, в том числе и концентрической формы.

@Javian Nov 24 at 10:33

в честь математика Ляпунова, который в 1892 году

За что вы его так ненавидите? 56 раз в статье упомянут "Ляпунов" и ни разу, даже в биографической справке, инициалов нет.

@master_program Nov 24 at 10:36

Ну можно дописать, да.

@Sqwair Nov 24 at 11:20

Мы не любим уравнения второго порядка, поэтому мы забубеним уравнения третьего порядка, а потом отгрохаем матрицу и определитель второго порядка!

@Arastas Nov 24 at 11:49

У вас статья состоит из двух частей. Основная, как мне кажется, это про решение стационарного уравнения Ляпунова и численные методы. Она прекрасна, и к ней никаких вопросов. Вторая же часть это мотивация для стационарного уравнения Ляпунова. Я рискну предположить, что проблемы систем управления не ваша основная область интересов, и вы больше пересказываете, чем делитесь опытом и собственным пониманием. Получается сумбурно и не очень точно.

Основаня загвоздка в том, что для линейных стационарных систем аппарат функций Ляпунова не очень то и нужен. Можно построить хороший курс, рассказать про управляемость и наблюдаемость, про канонические формы, про устойчивость, про наблюдатели, про оптимальное управление и модальный синтез (pole placement), про рабостность в Hinf смысле, и при этом вообще не говорить про функции Ляпунова. Можно даже поговорить про граммианы, редукцию моделей и минимальные реалиазции -- уравнение Ляпунова появится, а функия нет!

Конечно, если поговорить про функцию Ляпунова, то переход потом от линейных стационарных к нелинейным или нестационарным (или же к более продвинутым техникам синтеза на основе матричных неравенств) будет проще. Да и в тех областях без функции Ляпунова обойтись сложно. Но пока мы говорим о линейных стационарных, то перкрасно обходимся без функции Ляпунова.

Вы обновили пост, добавили про управление через функции Ляпунова. Вот только так, как вы написали, не делают. Если искать статический вектор обратной связи K, то это делают через pole placement и уравнение Сильвестра (опять же, оно появляется без функции Ляпунова) или через оптимальное управление LQR и уравнение Рикатти. Самое близкое, к тому что вы написали в разделе "Как этим рулить на практике?", это синтез через матричные неравенства. И он выглядит не так, как вы написали, а, например, через явное задание скорости сходимости в форме P A + A^top P < -alpha P.

@master_program Nov 24 at 12:23

Я сейчас изучаю курс "Симуляция и управление в робототехнике" дистанционный, от института ИИ МГУ (в рамках программы Aimasters, вот описание этого курса Симуляция и управление в робототехнике ). Мне пообещали зачесть вместо одной из домашек научпоп материал по уравнению Ляпунова. У нас на лекции было примерно так, как тут, только я гораздо подробнее раскрыл.

Ну а про разложение Шура и алгоритм QR - я сам эти вещи давно преподаю студентам.

@Arastas Nov 24 at 12:38

Я не занимаюсь робототехникой и не знаком с этим курсом. Судя по содержанию, там дальше будет MPC и адаптивное управление, так что функция Ляпунова потребуется, и есть основания ввести её пораньше.

Только не называйте то, что у вас в разделе "Как этим рулить на практике?" LQR - это не оно, так как под LQR обычно понимается квадратичное оптимальное управление.

@master_program Nov 24 at 12:47

Уже было всё месяц назад. GitHub - kefir8888/smrai2025 вот тут материалы курса (он еще не закончен, 10 недель учебных было, будет еще штуки 4).

LQR примерно так и вводили еще на третьей лекции smrai2025/lectures/03_lqr/notes_lqr.pdf at main · kefir8888/smrai2025 · GitHub

@wataru Nov 24 at 12:04

Замечание по логике статьи, вы в тексте упоминаете уравнение Ляпунова, расписываете, какое оно хорошее, а потом у вас пример задачи и там сразу идет "Подставляем нашу замкнутую систему ... в уравнение Ляпунова". Но при этом само уравнение Ляпунова к этому моменту нигде не приводится. Стоило бы где-то до подстановки в уравнение конкретного случая, само уравнение-то привести.

@master_program Nov 24 at 12:18

Это вступительная часть, до самой статьи. Меня тут просили такое сделать, и здесь в комментариях, и в телеграмме.

А для википедии надо как-то иначе переписать.

@wataru Nov 24 at 12:22

Тогда может быть стоит вставить перед этим один абзац, что мол: вот это самое уравнение, подробнее о нем в следующей секции.

@beardiengineer Nov 24 at 14:53

квадрокоптером, который прекрасно описывается линейными уравнениями

разве?

@Grigo52 Nov 24 at 15:03

Статья великолепна, но у меня есть одно но. Она заявлена как "пре-релиз для Википедии", а стиль-то совсем не википедийный - живой, авторский, с метафорами и кодом. Боюсь, в таком виде ее из Википедии выпилят за "оригинальное исследование" и "неэнциклопедичный стиль"

Возможно стоит разделить ее на несколько более сухих и формальных статей для Вики, а этот прекрасный лонгрид оставить здесь, на Хабре)

@master_program Nov 24 at 15:08

Я думаю так и сделаю в итоге.

@Wesha Nov 24 at 17:43

Точно выпилят. Это я как старый википедик говорю.

@The_Earth1 Nov 24 at 15:48

Спасибо за довольно подробное изложение. Всё довольно хорошо написано. Но мне кажется, что материал лучше разделить на две части с более простыми примерами/задачами или введением в первой части и более содержательными вопросами во второй. Или хотя бы сгруппировать по блокам, скрываемым в спойлеры.

Также, где вы рассматриваете одномерные (скалярные) случаи с уравнением вида:

$\dot{x} = a x,$

возможно, стоит получать общую формулу для параметра p через q и a, а затем подставить a=1 и a=-1. А ещё можно рядом показать, почему дискретный (d) и непрерывный (c) случаи отличаются в данном примере на единицу:

$x_{k+1} = p_{d} x_{k}$ $\dot{x} = p_{c} x$ $\dot{x} \approx \dfrac{ x_{k+1} - x_{k} }{ h }$

Подставляя приближенное значение производной в непрерывное уравнение, получим:

$p_{d} = 1 + h p_{c}$

Это у вас сделано в конце, но как будто это смотрелось бы лучше после примеров. Но решение всё равно за вами.

@master_program Nov 24 at 15:48

Да, хорошее замечание!