Если вы смотрели фильм «21», то скорее всего вспомните, как профессор объясняет студентам классическую задачу с тремя дверями. За одной дверью — машина, а двумя другими — самокаты. Игрок выбирает дверь, но пока не открывает её. Затем ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой точно находится самокат, и предлагает игроку поменять свой выбор.
Что же выбрать, чтобы открыть дверь с машиной - менять или нет?
Отрывок из фильма (задача с 1.11):
Интуиция нам подсказывает: вероятность, что за одной из оставшихся дверей будет машина — 1/2. Формально же оказывается, что:
если не менять дверь — шанс выиграть 1/3,
если менять — шанс выиграть 2/3.
Как так получилось и почему решение задачи кажется нелогичным? Разберем в статье:
где именно нас обманывает интуиция;
почему ведущий — главная "проблема" задачи;
смоделируем эксперимент кодом;
и посмотрим, как это выглядит в более привычных для мозга числах.
Где и почему ломается интуиция
Интуитивное 1/2 появляется из-за такой скрытой мысли:
Сейчас передо мной две двери. Я ничего о них не знаю. Значит, шансы равны.
Но это неправда, мы уже кое-что знаем. Во-первых, вы уже выбрали одну дверь. Во-вторых, ведущий открыл дверь не случайно - он знает где машина и специально выбирает дверь с самокатом. То есть изначальная ситуация «3 неизвестные двери» преврати��ась в более хитрую — «одна выбранная дверь + одна отфильтрованная ведущим».
Если мы выбрали Дверь №1, то шанс того, что машина будет за №2 ИЛИ №3 - 2/3. При этом после того, как ведущий откроет дверь с самокатом - вероятность 2/3 переходит на Дверь №2 (теперь мы воспринимаем две двери как одну). Поэтому нам стоит поменять дверь, ведь шансы выиграть там больше! Конечно, этот эффект более заметен при повторении игр множество раз.
Роль ведущего: почему без него парадокса нет
Попробуем убрать ведущего из задачи.
Вы выбираете Дверь №1 - там самокат.
Затем случайным образом выбирается одна из двух оставшихся дверей и открывается. Если там оказался самокат, вам снова предлагают поменять выбор. В этом варианте вероятности действительно будут по 1/2:
потому что открытая ведущим дверь могла оказаться машиной (игра просто закончится),
а если она не оказалась, то условная структура задачки другая.
Именно эти три условия делают ваши шансы при смене двери равными 2/3:
ведущий знает, где машина,
никогда не открывает дверь с машиной,
обязан открыть дверь с самокатом.
То есть условная структура такова, что мы считаем вероятность не просто «после открытия самоката», а «после того, как ведущий открыл дверь, и мы знаем, что игра не закончилась». Среди только тех партий, где игра дошла до момента "вам предложили сменить дверь", ваш первоначальный выбор оказывается удачным в половине случаев, а не в трети, как в классическом Монти Холле.
Поэтому если ведущий случаен — парадокс просто исчезает.
Смоделируем это на Python
Смоделируем классического Монти Холла в коде.
import random def play_once(switch: bool) -> bool: """ Играем одну партию в Монти Холла. param switch: если True — игрок всегда меняет дверь, если False — всегда остается при своем выборе. return: True, если игрок выиграл машину. """ doors = [0, 0, 0] # 0 — самокат, 1 — машина prize_door = random.randrange(3) doors[prize_door] = 1 # Игрок делает первый выбор first_choice = random.randrange(3) # Ведущий открывает одну из дверей (с самокатом), отличную от выбора игрока candidate_doors = [ i for i in range(3) if i != first_choice and doors[i] == 0 ] opened_by_host = random.choice(candidate_doors) if switch: # Игрок переходит на единственную оставшуюся закрытую дверь final_choice = [i for i in range(3) if i not in (first_choice, opened_by_host)][0] else: # Игрок оставляет свой исходный выбор final_choice = first_choice return doors[final_choice] == 1 def simulate(trials: int = 100_000) -> None: print(f"Кол-во игр: {trials}\n") for switch in (False, True): wins = sum(play_once(switch) for _ in range(trials)) p = wins / trials strategy = "не поменял дверь" if not switch else "поменял дверь" print( f"Стратегия: {strategy:15} -> " f"выигрышей: {wins:6} " f"({p:.3f}, то есть ~{p*100:.1f}%)" ) if __name__ == "__main__": simulate()
Кол-во игр: 100000 Стратегия: не поменял дверь -> выигрышей: 33309 (0.333, то есть ~33.3%) Стратегия: поменял дверь -> выигрышей: 66798 (0.668, то есть ~66.8%)
Что и подтверждает наши вычисленные вероятности) Видно, что стратегия "менять дверь" имеет примерно в два раза больше выигрышей.
Теперь смоделируем ситуацию со случайным ведущим!
import random def simulate_random_host(trials: int = 100_000) -> None: """ Вариант: ведущий не знает, где машина. Он случайно открывает одну из двух оставшихся дверей. Если там машина — игра сразу заканчивается. Если там самокат — он предлагает поменять дверь. """ reached = 0 # игр, где дошли до "предложили сменить" ended_early = 0 # игр, где ведущий случайно открыл машину stay_wins = 0 # выигрыши, если НЕ менять дверь (среди достигших предложения) switch_wins = 0 # выигрыши, если МЕНЯТЬ дверь (среди достигших предложения) for _ in range(trials): doors = [0, 0, 0] prize_door = random.randrange(3) doors[prize_door] = 1 first_choice = random.randrange(3) # Рандомный ведущий выбирает одну из двух оставшихся дверей candidate_doors = [i for i in range(3) if i != first_choice] opened_by_host = random.choice(candidate_doors) # Если он открыл машину - игра закончилась, до предложения не дошли if doors[opened_by_host] == 1: ended_early += 1 continue # Иначе он открыл козу и предлагает сменить дверь reached += 1 stay_choice = first_choice switch_choice = [i for i in range(3) if i not in (first_choice, opened_by_host)][0] if doors[stay_choice] == 1: stay_wins += 1 if doors[switch_choice] == 1: switch_wins += 1 print(f"Кол-во игр: {trials}") print(f"Игры дошли до предложения сменить дверь: {reached} (~{reached / trials:.3f})") print(f"Игра закончилась сразу (открыли машину): {ended_early} (~{ended_early / trials:.3f})") if reached > 0: print("Среди игр, где ведущий открыт самокат и предложил сменить дверь:") print(f" - если не менять дверь -> выигрыш ≈ {stay_wins / reached:.3f}") print(f" - если менять дверь -> выигрыш ≈ {switch_wins / reached:.3f}") if __name__ == "__main__": simulate_random_host()
Результат:
Кол-во игр: 100000 Игры дошли до предложения сменить дверь: 66579 (~0.666) Игра закончилась сразу (открыли машину): 33421 (~0.334) Среди игр, где ведущий открыт самокат и предложил сменить дверь: - если не менять дверь -> выигрыш ≈ 0.498 - если менять дверь -> выигрыш ≈ 0.502
А тут уже шансы выиграть примерно равны - 50/50. Но не забываем, что были игры, где игра закончилась сразу)
А если дверей много?
Три двери — скучно. Давайте возьмем, скажем, 100 дверей:
Вы выбираете одну дверь из 100. Шанс попасть в машину = 1/100.
Ведущий знает, где машина, и открывает 98 дверей с самокатами, оставляя закрытыми вашу дверь и еще одну, где возможно машина (а возможно — самокат).
Если вы останетесь при своем выборе, то шанс все тот же — 1/100. Если вы перейдете на другую закрытую дверь, ваш шанс — 99/100.
Почему? Потому что вероятность, что вы промахнулись в первый раз — 99/100.Но ведущий, зная расположение машины, аккуратно «вычищает» все промахи, оставляя их в одном варианте.
Здесь уже интуиция работает хорошо - не стоит держаться за один шанс из 100 (ваш первый случайный выбор).
Итоги
В классическом парадоксе Монти Холла стратегия «сменить дверь» даёт шанс выиграть 2/3, а «оставаться при своём» — лишь 1/3. Поэтому дверь нужно менять!
Парадокс возникает из-за ведущего — он ведёт себя не случайно и использует знание о расположении приза.
В задаче мы попадаем в ловушку условной вероятности, которую замечаем не сразу. Нас интересует не просто шанс «где машина», а шанс «где машина при условии, что ведущий открыл именно эту дверь с самокатом и действовал по заданным правилам».
Парадокс Монти Холла — хорошее напоминание, что в реальных задачах важно учитывать не только факт события, но и механизм, который к нему привёл. А это уже прямая зона ответственности условных вероятностей и байесовского мышления.